第3章 勾股定理 章末复习（重难点讲义）数学新教材苏科版八年级上册

第3章 勾股定理 章末复习 1.‌理解勾股定理的内容‌：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2=c2）； 2.‌探索定理的发现过程‌：通过观察几何图形或利用代数方法验证猜想，培养推理能力； 3.‌应用定理解决实际问题‌：能够运用勾股定理解决古典名题（如折竹问题、引葭赴岸等）及现代测量问题； 4.‌掌握逆定理的应用‌：理解勾股定理逆定理的条件，并能判断三角形是否为直角三角形； 5.勾股定理在解决实际问题中的建模能力、逻辑思维、创新思维能力和推理能力。 知识点01 勾股定理的探究 1.勾股定理： 文字语言：如图，直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 。 符号语言：如图，在中，，则： a2+b2=c2 。 注意：勾股定理的使用条件：必须是 直角三角形 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 斜边 。 2.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 拼图 法。 图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 3.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 割补 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 不会改变 ； ②根据同一种图形的面积 两种 不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理 。 4.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是 直角三角形 。 5.勾股数概念：如果三个 正整数 a，b，c满足关系： a2+b2=c2 ，则称a，b，c为勾股数。 注意： 1）a，b，c要成为勾股数必须同时满足两个条件：（1）满足a2+b2=c2；（2）a，b，c必须是正整数；这里最易被忽略的是条件（2），千万要注意！ 2）若a，b，c为勾股数，且k为正整数，则ka，kb，kc也为勾股数。 3）常用勾股数：如；；；等。 6. 用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）；2）（为正整数）； 3）（，为正整数）。 7.运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出 几何图形 ，建立数学模型； （2）确定所求的线段所在的 直角 三角形；若找不到就添加 辅助线 构造直角三角形； （3）确定三边，找准 直角 边和 斜 边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 8.勾股定理及其逆定理的主要应用： （1）勾股定理的常见实际应用问题：梯子滑动问题、轮船航行问题、信号站（中转站）选择问题、台风（噪音）、爆破问题、超速问题、风吹莲动问题、折竹抵地问题等； （2）解决与勾股定理有关的面积计算。 题型01 勾股定理的相关运算 【典例1】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为 ． 【变式1】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 【变式4】（24-25八年级上·成都·期末）如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 题型02 勾股定理逆定理的相关运算 【典例1】（25-26八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的周长． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【变式2】（24-25八年级下·湖北·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，．(1)求证：；(2)求三角形花园的面积． 【变式3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长； (2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点 【变式4】（24-25八年级下·广东·期末）如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 题型03 图形面积与勾股树相关问题 【典例1】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型04 以弦图为背景的相关计算问题 【典例1】（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【变式1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【变式3】（25-26八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 题型05 勾股定理中的分类讨论和方程思想 【典例1】（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段练习）定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，于点，且，则的长为__________． 【变式2】（25-26八年级上·广东·周测）在三角形纸片中，，，．将沿过点A的直线剪开，使其变成两个三角形，且其中一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 【变式3】（25-26八年级上·湖北·随堂练习）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长． 【变式4】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 题型06 勾股定理的证明方法 【典例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】(1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】(2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期中）综合实践 【问题背景】勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． (1)【探索求证】请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． (2)【深入实践】同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． (3)【拓展迁移】如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________． 题型07 勾股定理逆定理的实际应用1（古典名题） 【典例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【变式3】（24-25八年级下·山西·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺．    题型08 勾股定理逆定理的实际应用2（现代测量等） 【典例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长；(2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数．(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【变式3】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米．(1)求旗杆的高度；(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【变式4】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【变式5】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，A市北偏东方向上有一旅游景点M，在A市北偏东方向的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西的方向上，则景点M到公路的距离为 米．（结果保留根号） 题型09 直角三角形的判定与勾股数的探究 【典例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期中）右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【变式3】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 【变式4】（25-26八年级上·成都·课后作业）推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 题型10 勾股定理逆定理的综合证明 【典例1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．(1)求的度数．(2)求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求：(1)的度数．(2)连接，求的长． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 【变式3】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．(1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．    题型11 勾股定理与折叠问题 【典例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【变式1】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式3】（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 题型12 勾股定理与最短路径问题 【典例1】（24-25八年级下·山东阶段练习）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·成都·阶段练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期末）一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 题型13 在网格中判断直角三角形（或构造直角三角形） 【典例1】（25-26八年级上·江苏·期中）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答： 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)求图1中的面积；(2)图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为的格点； ②的面积是_________．(3)如图3，已知，以为边向外作正方形，连结．若，求六边形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【变式2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）图、图、图均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图中，是面积为的等腰三角形；(2)在图中，是面积为的直角三角形； (3)在图中，是面积为的等腰直角三角形． 题型14 用勾股定理构造图形解决问题（几何法解代数问题） 【典例1】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【变式3】（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 题型15 利用勾股定理证明线段的关系（含平方、根号） 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，． (1)如图1，求的长；(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：；(2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如下图，在四边形中，，连接交于点．(1)若，试说明：．(2)若，，，求的面积． 【变式3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）（1）在中，，为边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到． ①如图1，线段、、之间的数量关系为______； ②如图2，于点，延长至点，使，以为底边作等腰，连接，请判断、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图3，，连接，求的值． 【变式4】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）【问题探究】（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图，四边形中，，，，，，求的值． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·浙江·三模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 6．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 7．（25-26八年级下·山东·期末）如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 8.（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 9.（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 10.（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 11.（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂E建在距A点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论． 【强化训练】 1.（25-26八年级下·海南·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 2．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 4．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 5.（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．(3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 7.（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数．(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 8.（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ；（4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长；(3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 10．（24-25八年级下·湖北·期末）如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 　　；线段，，之间的数量关系是 　　； (2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 章末复习 1.‌理解勾股定理的内容‌：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（a2+b2=c2）； 2.‌探索定理的发现过程‌：通过观察几何图形或利用代数方法验证猜想，培养推理能力； 3.‌应用定理解决实际问题‌：能够运用勾股定理解决古典名题（如折竹问题、引葭赴岸等）及现代测量问题； 4.‌掌握逆定理的应用‌：理解勾股定理逆定理的条件，并能判断三角形是否为直角三角形； 5.勾股定理在解决实际问题中的建模能力、逻辑思维、创新思维能力和推理能力。 知识点01 勾股定理的探究 1.勾股定理： 文字语言：如图，直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 。 符号语言：如图，在中，，则： a2+b2=c2 。 注意：勾股定理的使用条件：必须是 直角三角形 ，其他三角形不能使用！且要确定好哪条边是 斜边 。 2.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是 拼图 法。 图1：赵爽弦图证法；图2：毕达哥拉斯证法；图3：总统证法；图4：其他面积证法； 图1 图2 图3 图4 3.用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形经过 割补 拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积 不会改变 ； ②根据同一种图形的面积 两种 不同的表示方法，列出等式，推导出 勾股定理 。 4.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是 直角三角形 。 5.勾股数概念：如果三个 正整数 a，b，c满足关系： a2+b2=c2 ，则称a，b，c为勾股数。 注意： 1）a，b，c要成为勾股数必须同时满足两个条件：（1）满足a2+b2=c2；（2）a，b，c必须是正整数；这里最易被忽略的是条件（2），千万要注意！ 2）若a，b，c为勾股数，且k为正整数，则ka，kb，kc也为勾股数。 3）常用勾股数：如；；；等。 6. 用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）；2）（为正整数）； 3）（，为正整数）。 7.运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出 几何图形 ，建立数学模型； （2）确定所求的线段所在的 直角 三角形；若找不到就添加 辅助线 构造直角三角形； （3）确定三边，找准 直角 边和 斜 边：①若已知两边，则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边，则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 8.勾股定理及其逆定理的主要应用： （1）勾股定理的常见实际应用问题：梯子滑动问题、轮船航行问题、信号站（中转站）选择问题、台风（噪音）、爆破问题、超速问题、风吹莲动问题、折竹抵地问题等； （2）解决与勾股定理有关的面积计算。 题型01 勾股定理的相关运算 【典例1】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在中，为斜边上的中线，，， ，，在中，，故答案为：． 【变式1】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：延长到E使，连接，∵是的中线，∴ ， 又∵，∴ ，∴ ， ∵，∴，∵，∴， 又∵，，∴， ∴，∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在四边形中，对角线，与相交于点O，若，则 ． 【答案】34 【详解】解：∵，∴， 在中，由勾股定理得：， 同理：，，， ∴，故答案为：34． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，，，D为的中点，过点D作交于点E，求的长． 【答案】． 【详解】解：连接，∵D为的中点，，∴垂直平分，∴， ∵，，，∴， 设，则，在中，， 即，解得：，即． 【变式4】（24-25八年级上·成都·期末）如图，在中，，，D是线段上的动点（不含端点B，C），则满足线段的长为正整数的点D的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：过作， ，，， ∵是线段上的动点（不含端点、）．，或4， ∵线段长为正整数，∴可以有三条，长为4，3，4，∴点的个数共有 3 个，故选：C． 题型02 勾股定理逆定理的相关运算 【典例1】（25-26八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析.(2) 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵，∴是直角三角形，且，∴； （2）解：∵，∴是直角三角形， ∵，，∴，∴， 在中，，即，解得， ∴的周长． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，；记的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】66 【详解】解：∵，∴，∵，，∴， ∵，，，∴，∴是直角三角形，∴， ∵，，∴，， ∴， ∵，， ∴，故答案为：66． 【变式2】（24-25八年级下·湖北·期中）如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现，，是腰上一点，且，．(1)求证：；(2)求三角形花园的面积． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）解：∵ ∴，∴， ∴是直角三角形，且，∴； （2）解：设，则，∵，∴， ∴，解得：，即的长为，∴， ∴三角形花园的面积为． 【变式3】（24-25八年级下·山东临沂·期中）定义：如图①，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三段，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． 请解决下列问题： (1)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM.若AM＝2，MN＝3，求BN的长； (2)如图②，若点F，M，N，G分别是AB，AD，AE，AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3， ∴BN2=MN2+AM2=9+4=13，∴BN=； （2）解：∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点， ∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG． ∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD， ∴EC2=DE2+DB2，∴4NG2=4MN2+4FM2，∴NG2=MN2+FM2，∴点M，N是线段FG的勾股分割点． 【变式4】（24-25八年级下·广东·期末）如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，，∴， ∴为直角三角形，，如下图，过点作于点， ∵，∴，解得， 根据题意，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形， 连接，如图，则，∵，∴， ∴，∴当时，的长取最小值， 此时，∴四边形为矩形， ∴，∴长的最小值为．故答案为：． 题型03 图形面积与勾股树相关问题 【典例1】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得，且，，， 根据勾股定理，得，故圆的面积为， 根据题意，得是半圆的面积，故； 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，设，，， ∵，由勾股定理可得，则， 则 ，， ∴，，即，则， ∴，则，即，∴． 【变式2】（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（   ）． A．36 B．42 C．48 D．52 【答案】C 【详解】解：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y， ∴正方形A的面积为，正方形B的面积为． 由题意得：正方形C的边长为2，并且是直角三角形的斜边．则正方形C的面积为4． 根据勾股定理可得：．∴正方形A的面积、正方形B的面积和为4； ∴图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形E的面积+正方形F的面积=正方形A的面积，正方形G的面积+正方形H的面积=正方形B的面积，∴正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积+正方形H的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=4．∴图2中所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 即一次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加4为12． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． ∴2次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加． 同理：3次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加； 4次操作后所有正方形的面积和=图1中所有正方形的面积和加；…… ∴每增加一次操作，面积就增加4，∴n次操作后，图中所有正方形的面积和为 当时，图中所有正方形的面积和为．故选C． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）正方形的边长为1，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在图中标上字母E，如图所示． ∵正方形的边长为1，为等腰直角三角形，∴，，∴． 观察，发现规律：，，，，∴． 当时，，故选：C． 题型04 以弦图为背景的相关计算问题 【典例1】（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【答案】B 【详解】解：由图可知，中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 ， 即①， ，②，得 ，， 大正方形的边长为直角三角形的斜边，大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即， 【变式1】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ，，， ∴在正方形中，，在直角三角形中，． 【变式2】（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用，表示直角三角形的两条直角边长（），下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②④ C．③④ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：根据题意，由勾股定理得，，， ∴选项②错误，不符合题意，选项④正确，符合题意； 由得，，整理得，∴， ∴选项③正确，符合题意（或由图形面积来证明）； 由③得，；∴， ∴，∴选项①错误，不符合题意；故选：C． 【变式3】（25-26八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示：根据题意，得，， ∵，∴，即，∴，∴， ∴这个风车的外围周长是．故答案为：． 【变式4】（25-26八年级上·江苏·期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】10 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，∴， ∵朱入与朱出的三角形全等，∴，∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，∴， ∴，∴阴影部分面积为 ， ∵，，∴，即阴影部分的面积为10． 题型05 勾股定理中的分类讨论和方程思想 【典例1】（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段练习）定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长． 【答案】(1)是．理由见解析(2)的长为或 【详解】（1）解：是，理由如下：∵，，， ∴，，∴， ∴以，，为边的三角形是直角三角形，∴点M，N是线段的勾股分割点； （2）解：设，∵，，∴， ①当为斜边时，依题意，得，即，解得； ②当为斜边时，依题意，得，即，解得； 综上所述，的长为或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，于点，且，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， 在中，，，由勾股定理可知，，， 同理，在中，由勾股定理可知，， ，代入得， ，解得，，故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·广东·周测）在三角形纸片中，，，．将沿过点A的直线剪开，使其变成两个三角形，且其中一个三角形是等腰三角形，则剪出的等腰三角形的面积是 【答案】或 【详解】解：若是等腰三角形，则，，； 若是等腰三角形，则，设，则， ，，，解得，， ；故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·湖北·随堂练习）如图，在中，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，，∴ ∴∴是直角三角形； （2）解：连接，∵是的垂直平分线，∴，∴设，则， ∵在中，，∴，∴，∴． 【变式4】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】3或 【详解】解：∵点落在边的三等分点处，，∴或， 由折叠可知：，∴， 当时，在中，由勾股定理得：，∴，∴； 当时，在中，由勾股定理得：， ∴，∴；综上所述：的长为3或；故答案为：3或． 题型06 勾股定理的证明方法 【典例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1，， ，； 或选图2 ，， ，； 或选图3 ，， ，，． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】(1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】(2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴，， ∴，∴， ∴，，，， 观察图形可知：，∴，∴； （2）解：∵是边上的高，∴， ∵，，，设，∴， 在中，， 在中，，∴，∴，即的值为． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期中）综合实践 【问题背景】勾股定理作为数学历史长河中古老的定理之一，被称为人类数学文明中的一枚璀璨瑰宝．其内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．据说其证明方法有400余种．现有三种可用来证明勾股定理的图形： 图①，图②都是由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形； 图③是由2个全等的直角三角形及1个等腰直角三角形拼成梯形； 这三个图形中全等的直角三角形的两条直角边长均为，斜边长为． (1)【探索求证】请从图1，图2，图3任选一个图形证明勾股定理． (2)【深入实践】同学们在研究勾股定理的证明时发现直角三角形的三边之间除了满足，还有其他的关系，如：若，则，请证明这个结论． (3)【拓展迁移】如图4，分别是以的三边为一边的等边三角形．若的面积为的面积为，四边形的面积为，的面积为，试判断之间的数量关系，并说明理由．___________． 【答案】(1)解：选图1：大正方形边长为，因此大正方形面积， 大正方形由4个全等直角三角形和1个边长为的小正方形组成，因此总面积也可表示为：，因此，勾股定理得证． 选图2：大正方形边长，面积，整理得，勾股定理得证． 选图3：梯形面积，整理得，勾股定理得证． (2)证明：∵都是正数，要证，两边平方等价于证明，整理得， 结合勾股定理，代入得：，整理得， ∵，∴该式恒成立，因此原不等式​得证． (3)解：．理由：设中，， 过点分别作， ∵是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，∴， ∵​，，． 将前两式相加，代入，消去相同项后整理得：． 题型07 勾股定理逆定理的实际应用1（古典名题） 【典例1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺（）处时而绳索用尽．则木柱长为 尺． 【答案】/ 【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得：，则，解得：， 答：木柱长为尺．故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（   ） A．3米 B．4米 C．4.2米 D．5.8米 【答案】A 【详解】解：设折断处离地面的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得：，∴，解得：， 即折断处离地面的高度为3米．故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【详解】解：丈尺，设水深尺，则芦苇长尺， 根据勾股定理得：，解得，芦苇的长度为，故选D． 【变式3】（24-25八年级下·山西·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间 出现的十部古算书）中最重要的一种，共收有个数学问题，分为九章．在第九章“勾股”中有一题目：今有垣高一丈． 依木于垣，上与垣齐． 引木却行四尺，其木至地，问木长几何？意思是：一道墙高一丈（丈尺），一根木棒靠于墙上，木棒上端与墙头齐平，若木棒下端向后退，则木棒上端会随着往下滑，当木棒下端向后退了四尺时，木棒上端恰好落到地上，则木棒长 尺．    【答案】 【详解】解：如图，设木棒AB长为x尺，则木棒底端B离墙的距离即BC的长有（x-4）尺，    在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴102+（x-4）2=x2，解得，x=14.5,故答案为：14.5． 题型08 勾股定理逆定理的实际应用2（现代测量等） 【典例1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长；(2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)(2)这辆小汽车没有超速，理由见解析 【详解】（1）解：由题意可得：，，，∴； （2）解：结合（1）可得小汽车的速度为； ∵；∴这辆小汽车没有超速行驶．答：这辆小汽车没有超速． 【变式1】（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域． (1)求的度数．(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1)(2)学校C会受噪声影响，见解析 【详解】（1）解：， ，是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作于D，则： ，， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，，∴学校C会受噪声影响． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【详解】解：在中，米，米， ∴米，由题意得，∴米， 在中，米，米，∴米， 又∵米，∴米，∴墙的高度为3米． 【变式3】（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度；(2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1)12米(2)7米 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中，，， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米，米，答：珍珍应从A处向东走7米． 【变式4】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个引水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路，各少多少千米？ 【答案】新路比原路少千米，比原路少千米． 【详解】解：∵，∴， ∴（千米）， 设千米，则千米， ∵，∴，解得：，∴千米， ∴新路比原路少（千米），比原路少（千米）， 答：新路比原路少千米，比原路少千米． 【变式5】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，A市北偏东方向上有一旅游景点M，在A市北偏东方向的公路上向前行800米到C处，测得M位于C的北偏西的方向上，则景点M到公路的距离为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【详解】解：过点C作于点P，如图所示：则， 根据题意可知：米，，，，， ∴，∴，， ∴米，， ∴， ∴为等腰直角三角形，∴米， 根据勾股定理得：米，∴米， ∵，∴米． 故答案为：． 题型09 直角三角形的判定与勾股数的探究 【典例1】（24-25八年级下·广西南宁·期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴，∴是直角三角形，故A不符合题意； ∵，∴，∴∴是直角三角形，故B不符合题意； ∵，∴设， 又∵，，∴是直角三角形，故C不符合题意； ∵，∴，∴不是直角三角形，故D符合题意．故选D． 【变式1】（24-25八年级上·河北保定·期中）右面是数学交流群中的一个截图片段，则回答正确的是（    ） A．嘉嘉 B．琪琪 C．亮亮 D．明明 【答案】C 【详解】解：A、不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； B、，不属于勾股数，不符合题意； C、，属于勾股数，符合题意； D、不是正整数，不属于勾股数，不符合题意；故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)120(2)小安的猜想正确，理由见解析 【详解】（1）解：当时，，，，、 ，∴，以的值为三边长的三角形是直角三角形， 以的值为三边长的三角形面积为，故答案为：120； （2）解：小安的猜想正确， 理由：，，， ∵是大于1的整数，所以都是正整数， 当n取大于1的整数时，为勾股数，小安的猜想正确． 【变式3】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 【答案】(1)12，16，20；，， (2)9，40，41；，， (3)10，24，26；，， 【详解】（1）解：由题意可得：勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （2）解：由题意可得：勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （3）解：由题意可得： 勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：，，．（，且n为正整数） 【变式4】（25-26八年级上·成都·课后作业）推理能力  如图，在中，．若，如图①，根据勾股定理，得；若不是直角三角形，而是如图②、图③所示的锐角三角形和钝角三角形． (1)请你类比勾股定理，猜想与的关系：图②中，______；图③中，______． (2)说明你在（1）中猜想结论的正确性． (3)在图②中，若，请你求出的面积． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）解：图②中，；图③中，，故答案为：，； （2）解：如图①，作边上的高，垂足为． 设，则在和中，由勾股定理，得，整理，得．因为，所以． 如图②，作边上的高，垂足为．设，则在和中， 由勾股定理，得，整理，得．因为，所以． （3）解：如图①，设，则．同（2）可得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以的面积为． 题型10 勾股定理逆定理的综合证明 【典例1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，O是等边内一点，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段．(1)求的度数．(2)求的面积． 【答案】(1)(2)15 【详解】（1）解：∵等边，∴． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，∴是等边三角形．∴； ∵，∴． 在和中，，∴．∴， ∵，∴是直角三角形，． ∴． （2）作，交延长线于点H， ∵， ∴边上的高就是，∴． 【变式1】（24-25八年级下·四川广元·期中）如图，在四边形中，，，，．求：(1)的度数．(2)连接，求的长． 【答案】(1)的度数是(2)的长是 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，，∴， ∵在，，∴，解得：， ∵，，∴， ∴是直角三角形，， ∴，∴的度数是． （2）解：如图，作，交的延长线于点，连接， ∵由（1）得：，∴，∵，∴，， ∵在中，，∴，∵，∴， ∴在中，，∴的长是． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数 ． 【答案】 【详解】解：连接 ，如图， ∵ 绕点 逆时针旋转得到 ，，，， ∴ ，，，， 又∵ 是等边三角形，∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∵ 且 ，∴ 是等边三角形，∴ ，； 在 中，，，，∵ ，即 ， ∴ 是直角三角形，，∴ ， 又∵ ，∴ ．故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．(1)证明：线段能组成直角三角形； (2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．    【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴线段能组成直角三角形； （2）解：．理由：延长，使得，连接，    ∵是边上的中点，∴， 又∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，∴， ∴在中，， ∵，∴，∵，∴，即． 题型11 勾股定理与折叠问题 【典例1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【详解】解：（1）在长方形中， 为线段的中点，．由折叠的性质，得． 设，则．在中，由勾股定理得， ．解得．．故答案为： （2）连接，，当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ，在中，由勾股定理得． 设．由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得，．解得 线段的值最小时，的长度为．故答案为： 【变式1】（24-25八年级下·山东·阶段练习）如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：由折叠知，，∵D是的中点，，∴， 设，∵，则， 在中，，由勾股定理，得，解得，∴．故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）如图，在直角中，，，，按图中所示方法，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的面积为（ ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：，，，， 根据折叠的性质，，， 在中，设，则，根据勾股定理得解得， 的面积，故选：． 【变式3】（25-26八年级上·重庆·课后作业）如图，在中，．将沿翻折，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 设，，， 沿翻折，点A与点B重合，， 在中，，，，即， 解得．故选：B． 【变式4】（24-25八年级下·山东德州·期末）如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则 ． 【答案】 【详解】解：四边形是长方形，，，，， 由折叠的性质得：，，， 设，则，在中，由勾股定理得：， 即，解得：，故答案为：． 题型12 勾股定理与最短路径问题 【典例1】（24-25八年级下·山东阶段练习）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【详解】解：将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图，则，作A关于的对称点，连接，则此时线段即为蚂蚁走的最短路径， 过B作于点D，则， 在中，由勾股定理得：， 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为，∴圆柱的底面周长为，∴． ∵，．∴，在中，，即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是．故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·成都·阶段练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是 ． 【答案】15 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为，，所以，所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故答案为：15． 【变式3】（24-25八年级上·四川成都·期末）一个圆柱体礼盒高为，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在处，另一端绕礼盒侧面周后粘贴在处（为的中点），则彩带最短为 ． 【答案】30 【详解】解：展开后图形是：∵底面周长为12cm，高18cm，∴， ∴绕礼盒侧面2周后彩带最短为（），故答案为：30． 【变式4】（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 【答案】这只蚂蚁的最短行程是 【详解】解：如图，将墙面展开与地面处于同一平面内，过点P作于点G，连接． 由题意，得，∴由勾股定理，得． ∵，∴由勾股定理，得，∴． 故这只蚂蚁的最短行程是． 题型13 在网格中判断直角三角形（或构造直角三角形） 【典例1】（25-26八年级上·江苏·期中）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，求的面积． 小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答： 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)求图1中的面积；(2)图2是一个的正方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长分别为的格点； ②的面积是_________．(3)如图3，已知，以为边向外作正方形，连结．若，求六边形的面积． 【答案】(1)(2)①图见解析②8(3)31 【详解】（1）解：； （2）①如图，即为所求； 由图和勾股定理，得：，符合题意； ②； （3）由题意，将六边形放入由边长为1的小正方形组成的网格中，如图： ∴ ． 【变式1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 【变式2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得，边上的高为4， ，故，故； 【变式3】90．（25-26八年级上·吉林长春·期末）图、图、图均是的网格，其中每个小方格都是边长为的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图中，是面积为的等腰三角形；(2)在图中，是面积为的直角三角形； (3)在图中，是面积为的等腰直角三角形． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． (3)如图，即为所求． 【详解】（1）解：取格点、，使，找垂直平分线上的格点，使到的距离为， 连接、、，得到，则且． （2）解：取格点作为直角顶点，使，， 连接、、，得到，则且． （3）解：取格点，，使， 根据格点性质，找垂直平分线上的格点，使， 连接、、，得到，则且． 题型14 用勾股定理构造图形解决问题（几何法解代数问题） 【典例1】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是____________； (2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式的最小值； 【答案】(1)①，；②5(2) 【详解】（1）解：①在中，， 在中，，故答案为：，； ②连接，由①得，而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1， ∵，，则四边形为长方形，∴，， 在中，， ∴的最小值为5，即的最小值是5；故答案为：5； （2）解：如图，设，，，，则， 在中，， 在中，；∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，则四边形为长方形， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为， 即的最小值为．故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意得，，故答案为：、； （2）如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小，由题意得：，， 则，即的最小值为． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ；②据此写出的最小值是 ； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； (3)【感悟探索】①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值；②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】(1)①，；②5(2)20(3)①见解析，；② 【详解】（1）解：①在中，， 在中，，故答案为：，； ②连接，由①得，而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形，∴，， 在中，， ∴的最小值为5，即的最小值是5；故答案为：5； （2）解：如图，设，，，，则， 在中，，在中，； ∴，而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，，∴， 在中，，∴的最小值为20， 即的最小值为20．故答案为：20； （3）解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵，∴的最小值为，∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴，，， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵， ∴以，，为边的三角形的面积为，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度． 先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值； (3)若，求的值． 【答案】(1)5(2)10(3) 【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为5． （2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上）， 则，，∴可将问题转化为求线段的最小值， ∴的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点， 则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，所以代数式的最小值为10． （3）解：由题意，构造如下图形：其中，，，，于点， ∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，所以的值为． 题型15 利用勾股定理证明线段的关系（含平方、根号） 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，． (1)如图1，求的长；(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 【答案】(1)(2)；见解析(3)或 【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是，在中， ∵，∴，∴，∴，设， 在中，，， ∵，∴，∴，在中． （2）∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，同理，∴， 在中，，在中，，∴ （3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ∵，，∴， ∴，∴， ∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴，∴，即，∴； ②当点在的延长线上时，如图，则， ∵，∴，∴， 综上，当点到直线的距离等于时，或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：；(2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：∵，D是的中点，∴， ∵，∴，∴，由题意得：， ∴，∴，∴； （2）解：，理由如下：∵，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏·课后作业）如下图，在四边形中，，连接交于点．(1)若，试说明：．(2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：，． ，，． （2）（2）如图，过点A作，垂足为F． ，，． ，，， ，，． 【变式3】（24-25八年级下·福建漳州·期中）（1）在中，，为边上一点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到． ①如图1，线段、、之间的数量关系为______； ②如图2，于点，延长至点，使，以为底边作等腰，连接，请判断、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图3，，连接，求的值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2） 【详解】解：（1）①，理由如下：连接，如图所示： 由旋转得，，∴，即， ∵∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴；故答案为：； ②，理由如下：连接、． ∵   ∴ ∵由旋转得， 又∵   ∴ ∵在与中，∴≌   ∴ ∵，∴∴ ∵在与中，∴≌   ∴ ∵由①得，   ∴   ∴ （2）方法一：将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转得，   ∴ 又∵   ∴   ∴ ∴   ∴ 方法二：过点作于点，交的延长线于点，连接． ∵   ∴ ∵   ∴ ∴≌，∴    ∴   ∴∴   ∴． 【变式4】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）【问题探究】（1）如图1，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）如图，四边形中，，，，求的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算； 【变式思考】（3）如图，四边形中，，，，，，求的值． 【答案】（1），理由见解析；（2），见解析；（3）． 【详解】（1）解：，理由如下： ，，，， 在和中，，，； （2）解：如图所示，在的外部作，使，，连接、， ，，，， 在和中，，，，， ，，， ，，， ，，； （3）解：如图所示，，，是等边三角形， ，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，连接， 则，，是等边三角形，，， 由旋转得，，， ，，．故答案为：． 【巩固训练】 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明勾股定理的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，∴， 整理得，故①可以证明勾股定理； 在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴，整理得，故②可以证明勾股定理； 在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴，整理可得，故③可以证明勾股定理； 在图④中，连接，此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转，再向下平移得到．一方面，四边形的面积等于和的面积之和，另一方面，四边形的面积等于和的面积之和，所以，即， 整理：，，∴，故④可以证明勾股定理； ∴能证明勾股定理的是①②③④．故选：D． 2．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，，， 设的长为，则，， 在中，由勾股定理得，即，解得，∴绳索的长是． 3.（2025·浙江·三模）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：正方形，， 正方形，，，M是的中点，， 在和中，，，，， 由题意可知，，，，， ，，，，， ，，设，则，， 在中，，，解得：，故选：C． 4．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是（） A．18 B．19 C．26 D．34 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意，，，， 在中，，根据勾股定理有：，∴ 在中，，根据勾股定理有：∴ ∴ ∴ 5．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【详解】解：在中，，，由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 6．（2025·广西南宁·二模）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得表示的数是， 右侧最近的整数点为，表示的数是2，∴， ∵以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，∴，即表示的数是， ∵记右侧最近的整数点为，∴表示的数是3，∴，故答案为：． 7．（25-26八年级下·山东·期末）如图，在直线上依次摆着个正方形，已知倾斜放置的个正方形的面积分别为，，，水平放置的个正方形的面积分别是，，，．按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加，则_____________． 【答案】 【详解】解：如图， 图中的四边形为正方形，，，， ，，又∵， ，，，， ，，，，同理可得，，...，， ． 8.（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题： (1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由； (2)求观景台与观景台之间距离的长． 【答案】(1)是，见解析；(2)观景台与观景台之间距离的长为． 【详解】（1）在中，∵，， ；； ∴∴，即 根据垂线段最短，∴是露营区到湖边的最短路径； （2）∵∴ ∴在中，由勾股定理得解得： 答：观景台与观景台之间距离的长为． 9.（24-25八年级下·江西宜春·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度；(2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为(2)此时物体C升高了 【详解】（1）解：根据题意得． ，， 答：绳子的总长度为； （2）解：∵滑块B向左滑动了，即，， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为，， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 10.（24-25八年级上·陕西西安·期末）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图①所示，该零件内有两个小滑块A，B，由一根连杆连接，滑块A，B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．滑块大小忽略不计，将零件图抽象成几何图，如图②所示，开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．当滑块A向下滑13厘米至点处时，滑块B滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】的长为厘米 【详解】解： ， ∴在中，； ∵，， ∴在中，，． 11.（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，河岸上、两点相距，、为两村庄，，，垂足分别为、，已知，，现要在河岸上建一水厂向，两村输送自来水，当水厂E建在距A点多少千米处时，水厂到两村的距离相等？并证明你的结论． 【答案】站应建在离站处 【详解】解：水厂应建在离点处，即，理由如下： 设，则， 在中，，， 在中，，， ，，解得：， 故水厂应建在离点处，即． 【强化训练】 1.（25-26八年级下·海南·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【详解】解：∵一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形， ∴“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为；……；∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是；故选：B． 2．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵为等边三角形，∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，，∴为等边三角形，∴，， 在中，∵，，，∴， ∴为直角三角形，，∴． 3．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C．34 D．9 【答案】A 【详解】解：∵长方体盒子中，且，N是的中点 ∴，，分三种情况讨论， ①如下图，∵，∴； ②如下图，过点作于点，则， ∵，∴； ③如下图，∵，∴． ∵，∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10．故选：A． 4．（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：在中，，∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形，∴， ∴，， ∵，， ∴，∴，∴． 5.（24-25八年级上·江苏常州·期末）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”． 观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：________； (2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为________． 【答案】(1)11，60，61(2)和 【详解】（1）解：∵，∴下一组勾股数为：11、60、61；故答案为：11，60，61． （2）后两个数表示为和， ∵，，∴， 又∵，且为奇数，∴由n，，三个数组成的数是勾股数．故答案为：和． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长．(3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【详解】（1）解：作出的共边直角三角形如图1所示，即为所求作的三角形； （2）解：取的中点O，连接、， 由勾股定理得，， ∵，点O为的中点，∴，，∴， 又∵，∴，∵，， ∴，即，解得，，∴； （3）证明：分别延长、交于点F，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， 又∵，∴，又∵，∴平分． 7.（24-25八年级下·广西南宁·期中）五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动广播车在笔直的公路上，沿东西方向由向行驶．小丽的家在公路的一侧点处，且点与直线上的两点的距离分别为，又，假如移动广播车周边250米以内能听到广播宣传． (1)求的度数．(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？(3)若移动广播车在笔直的公路上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点时，小丽在家刚好听到广播，当移动广播车行驶到点时，小网在家刚好不再听到广播，即米，问小丽在家听到广播宣传的时长是多长？ 【答案】(1)(2)小丽在家能听到广播，计算见解析(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒 【详解】（1）解：， 又，，是直角三角形，即． （2）解：过点作，垂足为D， 直角三角形，，，解得， 小丽在家能听到广播； （3）解：依题意，，根据勾股定理，， ；移动广播车的速度为10米／秒，秒 答：小丽在家听到广播宣传的时间为14秒． 8.（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若，，则空白部分的面积为 ． （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是和，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ；（4）如图④，分别以的三条边为边向外作三个正方形和正方形，并将得到的图形放入矩形，点，，，，，都在矩形的边上，若矩形的面积为，，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）∵，， ∴∴ （2）∵，∴；∴；故答案为：． （3）如图3，由题意知，外延的部分全等，且，，， 这个风车的外围周长是，故答案为：； （4）如图，延长交于点，延长交于点，则四边形是正方形， 设，，，，， ，， 矩形的面积为， 解得：或，或，当时，，当时，， ．故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：把两个全等的直角三角形如图1放置（），，点在落在边上，此时，设中，，，，用、、分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可证明勾股定理． (1)请根据上述图形的面积关系，证明勾股定理； (2)如图2，某平原上有一条铁路l，在铁路的同侧有两个小镇C、D且相距千米，它们到铁路的距离分别是2千米和5千米，现要在铁路上修建一个站点P和站点到两镇的公路，为使总造价最低，请在图上确定P的位置，并求出两条公路的总长；(3)借助上面的思考过程，求代数式的最大值． 【答案】(1)见解析(2)见解析，25千米(3)5 【详解】（1）证明：如图， ∵∴，，，∴， ∴梯形的面积，四边形的面积，的面积， ∵梯形的面积四边形的面积的面积， ，化简得； （2）解：过作于，，，， 四边形是长方形，，，千米，千米，千米， 千米，（千米）， 作点关于直线的对称点，则，，∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为长，即连接交直线于点， 过作于，则四边形为长方形，则千米，千米， （千米），（千米）， 答：两条公路的总长为25千米； （3）解：如图3，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点，过作于，则四边形为长方形， 设，则∴，， ∴，∵， ∴当三点共线时，最小， ∵四边形为长方形，∴，， ∴，∴， ∴的最大值，最大值为． 10．（24-25八年级下·湖北·期末）如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： (1)的度数是 　　；线段，，之间的数量关系是 　　； (2)如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)，见解析 【详解】（1）解：由旋转可知，，． ，，是等边三角形，∴，， ∵，． 在和中，，，，， ，即．故答案为：，； （2）解：．∵，，∴， 由旋转可知，，，，． 在和中，，，， ， ∴，∴， ∵，，∴，∴． 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $