专题五 平方根与立方根【（挑战压轴题）导图知识卡片+十六大考点讲练+思维拓展训练 共47题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五 平方根与立方根 【思维导图+十六大考点讲练+思维拓展训练 共47题〔原卷版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 「压轴考向一 平方根的应用与相关计算」 【压轴考点01】求一个数的算术平方根 2 【压轴考点02】利用算术平方根的非负性解题 3 【压轴考点03】估计算术平方根的取值范围 4 【压轴考点04】与算术平方根有关的规律探索题 4 【压轴考点05】算术平方根的实际应用 5 【压轴考点06】平方根概念理解 6 【压轴考点07】求一个数的平方根 7 【压轴考点08】求代数式的平方根 8 【压轴考点09】已知一个数的平方根，求这个数 9 【压轴考点10】利用平方根解方程 9 「压轴考向二 立方根的应用与相关计算」 【压轴考点11】立方根概念理解 10 【压轴考点12】求一个数的立方根 11 【压轴考点13】已知一个数的立方根，求这个数 12 【压轴考点14】与立方根有关的规律探索 12 【压轴考点15】立方根的实际应用 13 【压轴考点16】算术平方根和立方根的综合应用 15 【压轴强化-优选真题 实战演练】 15 「压轴考向一 平方根的应用与相关计算」 【压轴考点01】求一个数的算术平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【对应练习】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2026步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则有6种不同的值；正确的个数是（  ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【压轴考点02】利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】若实数，同时满足，，则的值为__________． 【对应练习】（25-26八年级上·全国·阶段检测）【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【压轴考点03】估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【对应练习】（25-26七年级下·湖南永州·期末）物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式 ，其中 ，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【压轴考点04】与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【对应练习】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【压轴考点05】算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 【对应练习】（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 一、教材理解： (1)如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； (2)如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： (3)如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； (4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 【压轴考点06】平方根概念理解 【典例精讲】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【对应练习】（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 【压轴考点07】求一个数的平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【对应练习】（24-25八年级上·重庆·期末）有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为； ；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 【压轴考点08】求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【对应练习】（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【压轴考点09】已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【对应练习】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 【压轴考点10】利用平方根解方程 【典例精讲】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________； (2)若，，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，点M在边上，，在边上取一点Q，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【对应练习】（25-26七年级下·浙江台州·期末）设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 「压轴考向二 立方根的应用与相关计算」 【压轴考点11】立方根概念理解 【典例精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 37．（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：【对应练习】邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【压轴考点12】求一个数的立方根 【典例精讲】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）求下列各式中的x： (1) ； (2)． 【对应练习】（25-26八年级上·福建泉州·期末）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 【压轴考点13】已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【对应练习】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【压轴考点14】与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【对应练习】（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【压轴考点15】立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【对应练习】（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【压轴考点16】算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【对应练习】（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 1．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 2．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 3．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 4．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 5．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，，则___________． 7．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 8．（26-27八年级上·江苏·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是_________． 9．（26-27八年级上·湖南·期中）计算：． 10．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空：________，________； (2)已知，则________． (3)已知，，求的值； (4)[说理]记，，．试说明：； 11．（26-27八年级上·河南开封·开学考试）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ．，． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)设a，b满足等式，求的值． 12．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 13．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别为．若，求图中阴影部分的面积． 【独立思考】（1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】（2）希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若图中正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的边长分别是，求正方形Ⅲ的边长． 【问题解决】（3）智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角变为图3的四边形，其中，设图中面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，若，求代数式 的值． 14．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． 15．（25-26七年级下·广西玉林·期末）新定义：二元一次方程（其中，是常数，，是未知数），若，则称这个方程为“完美”方程，规定，此时称为“完美值”．例如：是“完美”方程，，是“完美”方程，，此时“完美值”．若，则称这个方程为“团结”方程，规定，此时称为“团结值”．例如：是“团结”方程，，即，，方程是“团结”方程，，此时“团结值”． 试解决下列问题： (1)判断 是“团结”方程吗？并说明理由； (2)若，满足方程组，判断二元一次方程是“完美”方程还是“团结”方程？求出对应的的平方根； (3)老师让同学们举出“团结”方程的例子，同学在回答的时候，小明没听完整，只记住“团结”方程的相关特征：①，②是负整数．请你帮小明求出符合条件的值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五 平方根与立方根 【思维导图+十六大考点讲练+思维拓展训练 共47题〔解析版〕】 目 录 【思维导图-知识梳理 技巧点拨】 2 【考点讲练-重点难点 举一反三】 2 「压轴考向一 平方根的应用与相关计算」 【压轴考点01】求一个数的算术平方根 2 【压轴考点02】利用算术平方根的非负性解题 4 【压轴考点03】估计算术平方根的取值范围 6 【压轴考点04】与算术平方根有关的规律探索题 7 【压轴考点05】算术平方根的实际应用 8 【压轴考点06】平方根概念理解 11 【压轴考点07】求一个数的平方根 13 【压轴考点08】求代数式的平方根 15 【压轴考点09】已知一个数的平方根，求这个数 17 【压轴考点10】利用平方根解方程 18 「压轴考向二 立方根的应用与相关计算」 【压轴考点11】立方根概念理解 22 【压轴考点12】求一个数的立方根 23 【压轴考点13】已知一个数的立方根，求这个数 25 【压轴考点14】与立方根有关的规律探索 26 【压轴考点15】立方根的实际应用 28 【压轴考点16】算术平方根和立方根的综合应用 31 【压轴强化-优选真题 实战演练】 33 「压轴考向一 平方根的应用与相关计算」 【压轴考点01】求一个数的算术平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【思路引导】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 【对应练习】（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能． ①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数； ③：将屏幕显示的数变成它的平方． 输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2026步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则有6种不同的值；正确的个数是（  ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【思路引导】先梳理三步按键的变换规律，找出操作循环周期，再分别验证①②③是否正确；设输入数为，推导一轮三步后的变换结果，确定循环周期． 【规范解答】解：设当前数为： 第1步（平方）：， 第2步（倒数）：， 第3步（算术平方根）：， 第4步（平方）：， 第5步（倒数）：， 第6步(算术平方根)：， 即每6步操作完成一次完整循环，循环周期； 输入，第5步结果是，说法①正确； 周期，计算2026的余数：，余数为4，即第2026步等价于第4步，第4步结果为，不是，说法②错误； 设最终某一步得到16，分6种步数位置逆向： 若16是第1步结果：； 若16是第2步结果：； 若16是第3步结果：； 若16是第4步结果：（重复值）； 若16是第5步结果：（重复值）； 若16是第6步结果：， 汇总所有不重复的：，仅4个不同值，不是6个，说法③错误， 综上，正确的个数是1． 【压轴考点02】利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】若实数，同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【思路引导】根据二次根式的性质可得，再根据绝对值的性质，分和两种情况讨论，消去绝对值符号后求解方程组，舍去不符合题意的解，得到，的值后代入计算即可. 【规范解答】解：由二次根式的性质得， ， 原方程组可化为： ， ①当时，， 将化为， 移项得， 将代入， 可得：， 整理得：， 若， 则原式化为，即，不成立，舍去； 若，则原式化为， 解得：，符合， 将代入， 可得：，符合， 此时； ②当时，， 将化为， 移项得：， 将代入， 可得：， 整理得：， 若，则原式化为， 解得：，不符合，舍去； 若，则原式化为，即，不成立，舍去； 故时无解； 综上，的值为. 【对应练习】（25-26八年级上·全国·阶段检测）【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【思路引导】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法． （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【规范解答】（1）解：，则的取值范围是； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 【压轴考点03】估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 【规范解答】解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 【对应练习】（25-26七年级下·湖南永州·期末）物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式 ，其中 ，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【思路引导】将已知的下落高度和重力加速度代入公式，得到的值，再通过比较被开方数大小估算无理数的范围，即可得到结果． 【规范解答】将，，代入得，， ∵，即 ， ∴下落时间介于和之间． 【压轴考点04】与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【思路引导】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【规范解答】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 【对应练习】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【规范解答】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【压轴考点05】算术平方根的实际应用 【典例精讲】（25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：纸定义为面积为1，长与宽之比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得到两张纸…，依次类推，得到、、等纸张．裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数__________． 【答案】16 【思路引导】根据图形得出纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的，从而得出纸的面积为纸面积的，即可得出答案． 【规范解答】解：∵由图得，纸张的宽为纸宽的，纸张的长为纸长的， 纸的面积为纸面积的， ∴裁剪一张规格纸最多可得到规格纸的张数是16张， 【对应练习】（25-26七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 一、教材理解： (1)如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到如图2一个面积为2的大正方形 ，它的边长为________．据此我们得到一种在数轴上表示无理数的方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半轴交点表示的数为________； 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位长度是1）中得到如图5剪拼方式； (2)如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以_________为圆心，以_________为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是_________； 三、动手操作： (3)如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形； (4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为_______，并请你在图9中画出找到点过程中使用的那条半径． 【答案】(1)； (2)点；； (3)， (4)； 【思路引导】（1）利用正方形面积公式运算求解即可； （2）利用正方形面积公式求出正方形的边长，再根据图6的信息解答即可： （3）在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形，利用这个原理划分三角形即可； （4）利用正方形面积公式求出正方形的边长，作图解答即可． 【规范解答】（1）解：∵图2大正方形的面积为：， ∴图2大正方形的边长为：； ∵图3以单位长度为边长画一个正方形， ∴图3正方形面积 利用两个图3正方形进行如图所示拼接： 则此时图形的面积为图3正方形面积的两倍：， 此时图形的边长为：， 即图3正方形的对角线长度为：； （2）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为：， ∴图正方形的边长为：， ∴小红根据图剪拼结果利用该网格，在数轴上以为圆心，以为半径画弧，则与正半轴交点表示的数是； （3）∵在拼接的过程中，需要用到个一样的直角三角形， ∴如图所示裁剪即可： 拼接完成后的大正方形： （4）解：∵图中一共有个正方形， ∴图正方形面积为： ∴图正方形的边长为： ∴由题意作图可得： ∴圆弧与数轴负半轴交点所表示的数为：． 【压轴考点06】平方根概念理解 【典例精讲】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【答案】(1) ， (2) 【思路引导】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 【对应练习】（25-26八年级上·全国·单元测试）数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数． 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为，平方根为， 所以或， ①当时，解得， 所以，所以这个数为16； ②当时，解得， 所以，所以这个数为． 综上所述，这个数为16或． 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程． 【答案】 解：∵一个数的算术平方根为，平方根为， ∴或． ①当时，解得， ∴． ∵算术平方根为非负数， ∴不符合题意； ②当时，解得， ∴， ∴这个数为． 综上所述，这个数为． 【思路引导】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据平方根及算术平方根的定义进行判断并改正即可． 【规范解答】略 【压轴考点07】求一个数的平方根 【典例精讲】（25-26七年级下·江西南昌·期末）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【规范解答】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 【对应练习】（24-25八年级上·重庆·期末）有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为； ；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查整式运算、求一个数的平方根、数字规律探究，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意探索出，的规律所在，然后根据规律逐一验证即可解答． 【规范解答】解：由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当， 即， 解得：或，故错误； ，故正确； ，故正确； ， 为整数，且值为整数， 的值为，，，，，，，， 的取值为，，，，，，，， 整数的取值为，，，，的取值个数为个，故正确； 综上，正确的有，共个， 故选：B． 【压轴考点08】求代数式的平方根 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【思路引导】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【规范解答】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【考点剖析】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【对应练习】（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①2；② 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，也涉及平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． （1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）①根据可得，再根据（1）中的结论计算即可；②设，则，，根据，得出，求出，再根据平方根定义即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵图②是边长为的正方形， ∴， ∵图②可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：①∵， ∴， 即， 又∵， ∴； ②设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴． 【压轴考点09】已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【思路引导】根据平方根、算术平方根的概念列式求解得到，再代入计算，最后算出平方根即可． 【规范解答】解：根据题意，，， 解得， ∴， ∴的平方根是． 【对应练习】（25-26七年级下·湖北孝感·期末）在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 【答案】 【思路引导】根据正数的两个平方根互为相反数，列出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【规范解答】解：正数的两个平方根分别对应数轴上点和点表示的数和， ， 解得：． 【压轴考点10】利用平方根解方程 【典例精讲】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________； (2)若，，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，点M在边上，，在边上取一点Q，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)79 【思路引导】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）根据完全平方公式可得，然后利用整体思想求出结果即可； （4）根据题意得，设，则，进而可得，结合三角形面积公式可得；令，易得，然后利用整体思想求出结果即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （4）设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 令， ∴， ∴正方形和正方形的面积和 ． 【对应练习】（25-26七年级下·浙江台州·期末）设多项式，，其中，，，为常数，和表示取某数时对应多项式的值，如：．已知两个多项式恒满足：，则称为对称积对． (1)根据对称积对定义，写出，，，之间的关系式________． (2)已知为对称积对，，，，为整数． ①若，证明：． ②当，，求的值． ③若，当，时，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明：由（1）可得 当时， ∵，则 ∴； ②； ③ 【思路引导】（1）分别计算，，，的值，代入条件，即可求解； （2）①，将代入第一问得到的关系式，因为，所以可以对等式进行变形推导，得到和的关系。 ②，先利用和联立方程求解的值，再利用得到的关系式，结合第一问的参数关系式，联立求解，最后计算； 对于③，先由得到的一个等式，结合第一问的关系式，推导与的关系，再代入，得出，，进而求得关于的代数式，根据随的增大而减小，取得最小值，即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，， ， ∵ ∴ ∴ 即， ∴； （2）①略； ②由，得：，则 由，得，则 联立，解得： 由，得 ∴ 代入得， 解得： ∴ ∴； ③∵ ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴， 代入得， ∴ ∵，即，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 代入得 ∴ 即 ∴ ∵， ∴， 又∵为整数，则 ∵ ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为 「压轴考向二 立方根的应用与相关计算」 【压轴考点11】立方根概念理解 【典例精讲】（25-26七年级下·山东临沂·期末）下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【规范解答】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 37．（25-26八年级上·福建三明·阶段检测）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：【对应练习】邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你能确定是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ (4)已知17576，103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【答案】(1)两位数 (2)9 (3)3 (4)26；47 【思路引导】本题主要考查了立方根以及数的立方，正确理解题意是解题的关键． （1）根据59319大于1000而小于1000000，即可确定59319的立方根是两位数； （2）根据一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数，据此即可确定； （3）根据数的立方的计算方法即可确定； （4）根据（1）（2）（3）即可得到答案． 【规范解答】（1）解：因为， 所以，所以是两位数； （2）解：只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，所以的个位数是9； （3）解：因为，所以，即， 所以的十位上的数是3． （4）解：通过同样的方法可得，17576的立方根是两位数，17576的立方根的个位数字是6，十位数字是2，故17576的立方根是26；同理可得，103823的立方根是47． 【压轴考点12】求一个数的立方根 【典例精讲】（26-27八年级上·重庆·阶段检测）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1)或． (2)． 【规范解答】（1）解：， ， 当时， ， ； 当时， ， ； （2）解：， ， ， ． 【对应练习】（25-26八年级上·福建泉州·期末）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫作a的n次方根．例如：，的四次方根是．则下列结论：①3是的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则S的三次方根是；④当时，整数a的二次方根有个．其中正确的是___________ （填序号）． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了对a的n次方根的定义的阅读理解能力，绝对值，平方差公式，掌握相关知识点是解题的关键． 根据n次方根的定义和性质，结合平方差公式和绝对值，判断各结论的正确性，即可求解． 【规范解答】解：， 是的四次方根，故结论①正确； 任何实数都有唯一的奇次方根，结论②正确； ， ， 的三次方根是，故结论③正确； ， ， 解得或， 无实数平方根，有两个平方根， 的二次方根有两个，故结论④错误； 综上所述，正确的结论为①②③． 故答案为：①②③． 【压轴考点13】已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西延安·期末）已知的平方根是，的立方根为． (1)求与的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】由题意列方程组，然后解方程组即可；　　 把，，代入得，然后通过算术平方根定义即可求解． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴， 解得； （2）解：由知，， ∴， ∵的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 【对应练习】（25-26八年级上·上海·期中）已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【思路引导】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【规范解答】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 【压轴考点14】与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（26-27八年级上·广西南宁·开学考试）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【思路引导】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【规范解答】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 【对应练习】（25-26八年级上·山西运城·期中）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【思路引导】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【规范解答】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解： ， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 或， 解得或1或3． 【压轴考点15】立方根的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】(1)2，2，22 (2)26 【思路引导】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． 【规范解答】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 【对应练习】（23-24七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【思路引导】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 【压轴考点16】算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【对应练习】（1）利用求平方根、立方根解方程： ①3x2=27 ②2（x﹣1）3+16=0． （2）观察下列计算过程，猜想立方根． 13=1，23=8 ，33=27 ，43=64 ，53=125 ， 63=216 ， 73=343 ，83=512 ，93=729 （ⅰ）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为　，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为　，验证得19683的立方根是　 （ⅱ）请你根据（ⅰ）中小明的方法，完成如下填空： ①=　； ②=　；③=　． 【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81． 【思路引导】（1）直接利用解方程的基本步骤求解； （2）分别根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据阅读知识求出个位数和十位数即可． 【规范解答】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3; ②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8， ∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1． （2）（ⅰ）先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由，猜想19683的立方根十位数为2，验证得19683的立方根是27 （ⅱ）①； ②；③． 故答案为：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81． 【考点剖析】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度． 1．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 【答案】C 【思路引导】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出，再得出答案即可． 【规范解答】解：由题意得， 解得， ， 这个数为． 2．（25-26七年级下·贵州安顺·期末）观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【规范解答】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 3．（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 4．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【规范解答】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 5．（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【规范解答】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 6．（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）已知，，，则___________． 【答案】 【思路引导】根据立方根与被开方数的关系：被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根也相应地向左或向右移动一位，选择即可． 【规范解答】解：， . 7．（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【答案】 【思路引导】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 【规范解答】解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 8．（26-27八年级上·江苏·期中）若一个正数的平方根是和，则这个正数是_________． 【答案】 【思路引导】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可． 【规范解答】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是． 9．（26-27八年级上·湖南·期中）计算：． 【答案】12 【规范解答】解： ． 10．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空：________，________； (2)已知，则________． (3)已知，，求的值； (4)[说理]记，，．试说明：； 【答案】(1)3，2 (2) (3)4 (4)解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【思路引导】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算法则及平方根求解； （3）先根据规定的运算法则求出a，b，进而可求； （4）根据规定的运算可得，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ，， ，； （2）解：， ， 解得 ； （3）解： ，， ，， 则，， ， ； （4）略 11．（26-27八年级上·河南开封·开学考试）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ．，． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)设a，b满足等式，求的值． 【答案】(1)的值为 (2)的值为 【思路引导】（1）观察等式左边为平方差结构，将两个括号中共有的视为整体换元，结合平方的非负性求解； （2）观察所求式子与等式中两个括号内式子的关系，将视为整体换元，利用平方差公式简化计算，结合非负性求解． 【规范解答】（1）解：设 ， 原方程变为， 整理得， ， ， ，， ，即， ， ； （2）解：设， 则，， 原等式变为 ， 整理得， ， ， ，， ， ，即， ， 即的值为． 12．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【思路引导】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【规范解答】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 13．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别为．若，求图中阴影部分的面积． 【独立思考】（1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】（2）希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若图中正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的边长分别是，求正方形Ⅲ的边长． 【问题解决】（3）智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角变为图3的四边形，其中，设图中面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d，若，求代数式 的值． 【答案】（1）阴影面积1；（2）正方形Ⅲ边长；（3）值为 【思路引导】本题主要考查了勾股定理、算术平方根、立方根等知识， （1）设，由勾股定理可得，且有，结合可解得，然后计算阴影面积即可； （2）根据题意，可得，结合勾股定理可得，，然后计算正方形Ⅲ的边长即可； （3）连接，在和中可得，结合，可解得，然后代入求值即可． 【规范解答】解：（1）如下图，设， ∵， ∴， 根据题意，可得， 又∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴阴影面积； （2）根据题意，可得， ∴， ∴， ∴正方形Ⅲ的边长为； （3）如下图，连接， ∵，且面积分别为的正方形的边长分别为a，b，c，d， ∴在和中，可有， 又∵， ∴， ∴，解得或（舍去）， ∴ ． 14．（25-26八年级上·上海·阶段检测）设，且，且，求的值． 【答案】． 【思路引导】本题考查了立方根条件求值问题，设，则可得，由，则，，，原等式变形为，再整理成即可求解，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题的关键． 【规范解答】解：设，则可得， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·广西玉林·期末）新定义：二元一次方程（其中，是常数，，是未知数），若，则称这个方程为“完美”方程，规定，此时称为“完美值”．例如：是“完美”方程，，是“完美”方程，，此时“完美值”．若，则称这个方程为“团结”方程，规定，此时称为“团结值”．例如：是“团结”方程，，即，，方程是“团结”方程，，此时“团结值”． 试解决下列问题： (1)判断 是“团结”方程吗？并说明理由； (2)若，满足方程组，判断二元一次方程是“完美”方程还是“团结”方程？求出对应的的平方根； (3)老师让同学们举出“团结”方程的例子，同学在回答的时候，小明没听完整，只记住“团结”方程的相关特征：①，②是负整数．请你帮小明求出符合条件的值． 【答案】(1)方程是“团结”方程，理由： 原方程变形为：， ，，， 是“团结”方程； (2)是“完美”方程，c的平方根是 (3)符合条件的负整数b为 【思路引导】（1）由题意可得，根据“团结”方程定义即可求解； （2）先求出，得到方程，进而根据定义判断并求出c即可； （3）根据方程若是 “团结”方程，列不等式组解决即可． 【规范解答】（1）略 （2）解：是“完美”方程 ， 得：， 解得：， 把代入①，得， ∴方程组的解是， 则二元一次方程为， ， ，，， ∴二元一次方程是“完美”方程， ， 则c的平方根是； （3）解：方程若是“团结”方程， 则由题意得：， 解得： 符合条件的负整数b为； 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五平方根与立方根 【思维导图+十六大考点讲练+思维拓展训练共47题〔原卷版〕】 目录 【思维导图-知识梳理技巧点拨】 【考点讲练-重点难点举一反三】 「压轴考向一平方根的应用与相关计算」 【压轴考点01】求一个数的算术平方根★★★ ……2 【压轴考点02】利用算术平方根的非负性解题★★★★ 3 【压轴考点03】估计算术平方根的取值范围★★★★ 二【乐轴考点O4】与算术平方根有关的规律探案题★★★女 …4 ,【压轴考点05】算术平方根的实际应用★★★★ 忐 【压轴考点06】平方根概念理解★★★ .......6 【压轴考点07】求一个数的平方根★★★食 。。。。。。。。。。。。 【压轴考点08】求代数式的平方根★★食★ 8 【压轴考点09】己知一个数的平方根，求这个数★★★★ ……9 【压轴考点10】利用平方根解方程★★★★ 「压轴考向二立方根的应用与相关计算」 【压轴考点11】立方根概念理解★★★ 10 【压轴考点12】求一个数的立方根★★★★ 。。。。。。。。。。 11 二【压箱考点13】已知一个数的立方根，求这个数★女女女 。。。。。。。。。。 12 二【压轴考点14】与立方根有关的规律深索★★女 …12 【压轴考点15】立方根的实际应用★★★★ ………13 第1页共20页 二【乐轴考点16】算术平方根和立方根的综合应用★女女女 15 【压轴强化-优选真题实战演练】 15 思维导图 知识梳理技巧点拨 一、平方根的概念 知识总结 一、立方根的概念 一般地，如果一个正数x的平方等于, ★平方根是“平方”的逆运算 一般地，如果r=a,那么x叫作a的立方根(bmot), 即x2=a,那么这个正数x叫作a的算术平方根 ★立方根是“立方”的逆运算： 也称为三次方根。a的立方根记作后，读作“三次根号a” (),a的算术平方根记作a ★平方根有两个（互为相反数】 开立方与立方互为逆运算 立方根只有一个： 实作“根号口”， 0的算术平方根是0即石=0 ★0的平方根和立方根都是0。 当楼长为1时，正方体体积1= 当棱长为x时，正方体体积x, 则x=T -2-10 1吃2 平方根 立方根 二、立方根的性质 二、平方根的性质 任意一个数a都有且只有一个立方根。 1如果a为正数，那么店有两个平方根土 正敬的立方根是正数：0的立方根是0：负数的立方根是负数 其中“+”表示可以取正、负两个值，正的平方根 挑战压轴题专题五 是算术平方根Va,负的平方根是一-Va, 三、立方根的运算（开立方） 2.一个正敬有两个平方根，这两个平方根互为相反数 平方根与立方根 0的平方根是0：负数没有平方根， 求一个数的立方根的运算叫作开立方(extraction of cubic root), 立方 开立方 三、平方根的运算（开平方） 求一个数的平方根的运算叫作开平方 四、与开平方相关的几何图形 2 square root). 0一张边长为a的正方形纸片（面积为) 开平方 平方 它的边长a=、a 27 平方 27 10 100 055 四、立方根的常见题型与技巧 625 ②如图，培而积为2的正方影纸片被在面积为 五、平方根与立方根的比较 的正方形纸片上，比较反与√厅的大小 ★求一个数的立方根： 0.09 ★已知立方根，求这个数（立方运算） 项目 平方根 立方根 ★判断立方根的符号： 0 0 2 定文x=a时，x叫作a的平方根=a时，x叫作a的立方根 ★与体积问题结合（几何意义）： 个数 正数有两个，0有一个。 ★开立方与立方互逆思想的应用， 五、平方根的常见题型与技巧 负数没有 任何实数都有一个 解题技巧■ 符号 一对互为相反数 与原数符号相 解题技巧 ①先封断被开方数的符号《负数无平方根影 ②正确区分平方根与算术平方根： D任重实数都有唯一的立方根： 运算 开平方（逆平方） 开立方（透立方） ②先确定符号，再求绝对值的立方根 ①注意√a=lal: 与面积边长问题结合（几何义） ④利用几何形助理解和解题 。● 几何意义 正方形的边长 正方体的长 ②注意记=： 开平方与平方互逆思想的位用。 ④利用体职公式理解立方根的几何意义 考点讲练 重点难点举一反三 「压轴考向一平方根的应用与相关计算」 【压轴考点01】求一个数的算术平方根★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测)如果V2x一6与、√2+y互为相反数，那么x+y的 算术平方根是 【对应练习】(25-26七年级下·重庆铜梁·期中)某计算器中有√？、√x、x2三个按键，以下是这三个按 键的功能 第2页共20页 ①√：将屏幕显示的数变成它的算术平方根； ②：将屏幕显示的数变成它的倒数： ③x2:将屏幕显示的数变成它的平方. 输入x ①② ③ 输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键.例如：当输入5时，第1步 操作的结果是25，第2步操作的结果是务第3步操作的结果是号…下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4： ②若开始输入的数据为a(a>0),那么第2026步操作之后，显示的结果是 ③若开始输入一个数据a(a>0),经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值：正确的个 数是()· A.0 B.1 C.2 D.3 二【压轴考点2利用算术平方根的丰负性解题★★女女 【典例精讲】若实数x,y同时满足x一√y2=2,x-y=4,则x的值为 【对应练习】(25-26八年级上·全国·阶段检测)【课本再现】一般地，如果一个正数x的平方等于α， 即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为Va;0的算术平方根是0，即v6=0.∴.被开方数a为 非负数。 (1)【探究新知】若(Va)=a,则a的取值范围是_； (2)【知识应用】若|a+b+1|+Va-2b+4=0,求(a+b)2025的值： (3)【拓展应用】若2025-al+Va-2026=a,求a-20252的值. 第3页共20页 【压轴考点03】估计算术平方根的取值范围★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·云南昭通·期末)已知整数n满足：n<√2026<n+1,参考下表数 据，判断m的值为( 心 43 予 6 46 m2 1849 1936 2025 2116 A.46 B.45 C.44 D.43 【对应练习】 (25-26七年级下·湖南永州·期末)物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受 重力作用的下落运动（无空气阻力）·某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自 由下落的高度五（单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式t= 其中g≈10m/s2,若物体从 60m的高处自由下落，则下落的时间t介于( A.5和6之间 B.4和5之间 C.3和4之间 D.2和3之间 【压轴考点04】与算术平方根有关的规律探索题★★★★ 【典例精讲】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是( 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 x2 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A. 560的算术平方根比23.7大 B.V55.225=2.35 C.只有3个正整数n满足23.2<√m<23.3 D.根据表中数据的变化趋势，可以推断出23.92将比23.82大4.77 【对应练习】(2526八年级下·四川凉山·期末)己知1--层：2居-2×辰：、3品-3× -吾=4×按此规律若a-=aab内正整数)，则(60-202的值为 A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 第4页共20页 【压轴考点05】算术平方根的实际应用★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末)如图，在日常生活中，我们常用到不同型号的 打印纸，对于纸张规格，有一些通用的国际标准，其中：A纸定义为面积为1，长与宽之比为V2:1的纸 张；沿A纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张A1纸；再沿A1纸两条长边中点的连线裁切得到两张A2 纸…， 依次类推，得到A3、A4、As等纸张.裁剪一张规格Ao纸最多可得到规格A4纸的张数 A As A A3 A 【对应练习】(25-26七年级下·广东珠海·期末)综合与实践 ☑☑ 剪拼，冈 画弧， -2-1 345 图1 图2 图3 剪拼 画孤、 -3-2-102345 图4 图5 图6 剪拼 画孤 -5-4-3-2-1012345 图7 图8 图9 一、教材理解： (1)如图1，把两个边长均为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以 得到如图2一个面积为2的大正方形，它的边长为 据此我们得到一种在数轴上表示无理数的 方法：如图3以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，则与正半 轴交点A表示的数为一一一一： 第5页共20页 二、深入思考： 如图4，怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形剪拼成一个大正方形？小红经过思考在网格（单位 长度是1)中得到如图5剪拼方式： (2)如图6，小红根据图5剪拼结果利用该网格，在数轴上以 为圆心，以 为半径画弧， 则与正半轴交点M表示的数是 三、动手操作： (3)如图7，现有13个边长均为1的小正方形，请将它们剪拼成一个大正方形，并在图7中用虚线画出剪 裁方案，同时在图8网格中画出拼接完成后的大正方形： (4)若利用网格（单位长度是1），在数轴上，以原点为圆心，该大正方形的边长为半径画圆弧，圆弧与数 轴负半轴交点Q所表示的数为，并请你在图9中画出找到点Q过程中使用的那条半径。 【压轴考点06】平方根概念理解★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·广西桂林·期中)己知-2x+1和3x-2是实数m的两个不同的平方 根. (1)求x,m的值； (2)计算5x+7m2的值. 第6页共20页 【对应练习】(25-26八年级上·全国·单元测试)数学课上，李老师出示了一道题：已知一个数的算术 平方根为5m+1,平方根为士(m-3),求这个数. 以下是乐乐的解题过程： 解：因为一个数的算术平方根为5m+1,平方根为士(m- 3) 所以5m+1=m-3或5m+1=-(m-3), ①当5m+1=m-3时，解得m=-1, 所以5m+1=-4,所以这个数为16： ②当5m+1=-(0m-3)时，解得m=3 所以5m+1=号所以这个数为 综上所述，这个数为16或号 李老师发现乐乐的答案错误，请帮他写出正确的解题过程。 【压轴考点07】求一个数的平方根★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·江西南昌·期末)己知正数x的两个不相等的平方根为m和m+n. (1)当n=16时，求x的值： (2)若m2x+(m+n)2x=32,求x的值. 第7页共20页 【对应练习】(24-25八年级上·重庆·期末)有n个依次排列的整式：第1项是a1=4x2-x,用第1项 a1减去(-x+1)得到b1,将b1乘以x得到第2项a2,再将第2项a2减去(-x+1)得到b2,将b2乘以x得到第 3项3，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为() ①方程a2=0的实数解为±②a2-b1=(x-1)(2x+1)(2x-1):③第2025项a2025=4x226-x: ④若x为整数，且1-1x-值为整数，则x的取值个数为4个. b1 A.4 B.3 C.2 D.1 二【压轴考点8】求代数式的平方根★女女女 【典例精讲】(24-25八年级上·贵州毕节·期中)如图，点A表示的实数为-√2，点A沿数轴向右移动 了2个单位长度到达点B,设点B表示的实数为m. -2-1012 (1)实数m的值为 (2)求|m+2|+m-21的值： (3)若数轴上的C,D两点分别表示实数c和d,且2c+d与V-144互为相反数，求3c+d的平方根， 【对应练习】(24-25八年级下·福建莆田·阶段检测)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种 纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方 形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形. b 6 B b Q 图1 图2 (1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：(a+b)2,a2+b2,ab之间的等量关系 第8页共20页 (2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a+b=5,a2+b2=21,求ab的值： ②已知(x-2022)2+(x-2024)2=20,求x-2023的值. 【压轴考点09】已知一个数的平方根，求这个数★★★★ 【典例精讲】已知2a+1的平方根是±3,5a+2b-2的算术平方根是6，求5a-2b的平方根。 【对应练习】(25-26七年级下·湖北孝感·期末)在数轴上，点P和点Q表示的数是一个正数a的两个平 方根，已知P表示4m-2,Q表示-1-m,则m的值为 二【压轴考点10】利用平方根解方程★★女★ 【典例精讲】(26-27八年级上·河南周口·阶段检测)我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种 不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(如图1). h 、6 图1 图2 图3 (1)观察图2，请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是 ②)若x+y=4,x·y=子且x>y,求x-y的值： (3)若(2026-m)2+(m-2025)2=7,求(2026-m)(m-2025)的值； (4)如图3，在△BCE中，∠BCE=90°，CE=8,点M在边BC上，CM=3,在边CE上取一点Q,使BM= BQ,分别以BC,CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形C0PQ,连接BQ,若△BCQ的面积等于号 第9页共20页 设BM=x(x>0),求正方形ABCD和正方形COPQ的面积和. 【对应练习】(25-26七年级下·浙江台州·期末)设多项式P(x)=x2+ax+b,Q(x)=x2+cx+d, 其中a,b,c,d为常数，P(x)和Q(x)表示x取某数时对应多项式的值，如：P(1)=1+a+b.已知两个多 项式恒满足：P(0)·Q(1)=P(1)·Q(0),则称(P,Q)为对称积对. (1)根据对称积对定义，写出a,b,c,d之间的关系式 (2)己知(P,Q)为对称积对，a,b,c,d为整数. ①若a=c>0,证明：b=d. ②当P(1)=5,P(2)=Q(2)=9,求a+b+c+d的值. ③若a<c<0,当P(2)=Q(2),(a-c)2+(b-d)2=5时，求b+d的最小值. 「压轴考向二立方根的应用与相关计算」 【压轴考点11】立方根概念理解★★女 【典例精讲】(25-26七年级下·山东临沂·期末)下列判断：①10的平方根是V10:②6与一6互为 相反数；③Vx-2+y+1)2=0,则x+y=1;④0.1的算术平方根是0.01.其中正确的有 ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第10页共20页 37.(25-26八年级上·福建三明·阶段检测)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到 飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根.华罗庚脱口而出： 【对应练习】邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由103=1000,1003=1000000，你能确定V59319是几位数吗？ (2)由59319的个位上的数是9，你能确定V59319的个位上的数是几吗？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27,43=64，由此你能确定V59319的十位上的数 是几吗？ (4)已知17576,103823都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ 【压轴考点12】求一个数的立方根★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·重庆·阶段检测)求下列各式中的x: (1)(2x-1)2=9: (2)125-8x3=0. 【对应练习】(25-26八年级上·福建泉州·期末)一般地，如果x”=a（n为正整数，且n>1),那么 x叫作a的n次方根.例如：24=16，(-2)4=16,16的四次方根是士2.则下列结论：①3是81的 四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若S=(3+1)(32+1)34+1)(38+1)(3*+1),则S的 三次方根是 32-1 2； ④当V(2023+a)2+√(a-2025)2=4050时，整数a的二次方根有4050个.其中正 确的是 (填序号)· 第11页共20页 【压轴考点13】已知一个数的立方根，求这个数★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·陕西延安·期末)已知a+b-1的平方根是±4,1-b的立方根为-2. (1)求a与b的值： (2)求5a+b的算术平方根. 【对应练习】(25-26八年级上·上海·期中)已知Va-5b=5,3a+b的立方根为3，求a-2b的平方 根. 【压轴考点14】与立方根有关的规律探索★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·广西南宁·开学考试)在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室 利用计算器计算得到下列数据： V0.0324 V0.324 V3.24 v32.4 V324 V3240 V32400 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大_倍： (2)已知V7≈2.646，根据上述规律直接写出下列各式的值：V0.07≈_，V700≈_； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若0.3≈0.669,3≈1.442，则300≈，3000≈_ 第12页共20页 【对应练习】(25-26八年级上·山西运城·期中)阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告， 以-50653的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000,1000<50653<1000000，所以/50653是 两位数： ②其次观察了立方数：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83= 512,93=729….猜想个位数字是7： ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为33=27,43=64，所以50653的十位数字应为 3,于是猜想、验证，得50653的立方根是37： ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到一50653=-37，同时发现结论：若两个数互为相反数， 则这两个数的立方根也互为相反数：反之，也成立. 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题， (1)-195112= (2)若V2x-1+5=0,则x= (3)已知x-2+2=x,求x的值. 【压轴考点15】立方根的实际应用★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·福建南平·期中)据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39.你知道他 是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)己知x3=10648,且x为整数. :1000=103<10648<1003=1000000, .10<x<100,x一定是一个两位数： 10648的个位数字是8， 第13页共20页 “x的个位数字一定是 划去10648后面的三位648得10， 8=23<10<33=27, ·x的十位数字一定是 .X= (②)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模 型的体素总数为140608.为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型 体素的好，求缩小后该正方体模型的边长。 【对应练习】(23-24七年级下·河南信阳·期中)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上 邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根.华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问 计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求59319. ①由103=1000,1003=1000000，可以确定59319是_位数： ②由59319的个位上的数是9，可以确定V59319的个位上的数是_： ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而33=27,43=64，可以确定59319的十位上的数是_，由 此求得59319=_· (2)请你根据(1)中小明的方法，完成如下填空： ①-117649=_，②/0.531441=_. 第14页共20页 【压轴考点16】算术平方根和立方根的综合应用★★★★ 【典例精讲】(22-23八年级上·河南郑州·开学考试)按要求解题 (1)若Vx+4+√5⑤y-10=0,求xy的立方根： (2)若/1-2x+3x-5=0,求1-Vx的值. 【对应练习】(1)利用求平方根、立方根解方程： ①3x=27②2(x-1)3+16=0. (2)观察下列计算过程，猜想立方根。 12=1,2=8,33=27,4=64,53=125,63=216,73-=343,82=512,93=729 (i)小明是这样试求出19683的立方根的.先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为，又 由203<19000<303，猜想19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是 (ⅱ)请你根据(i)中小明的方法，完成如下填空： ①/117649=_；②-373248=_；③V0.531441=_ 压轴强化 精选真题实战演练 1.(26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测)已知一个正数的两个平方根是2-a和3a+6,则这个数的 值是( A.4 B.-4 C.36 D.-36 第15页共20页 2. (25-26七年级下·贵州安顺·期末)观察表中数据信息，下列结论正确的是( ) a 12 12.1 12.2 12.3 12.4 Q2 144 146.41 148.84 151.29 153.76 A. V14.4=1.2 B.V1.4641=1.21 C.V0.14884=1.22 D.V15376=1240 3。(327八年级上·四川达州·开学考试)已知a-3到+V3+b=0,则目207 A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.(25-26七年级下·辽宁抚顺·期末)下列命题中，真命题是( A.若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是0 B.若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C.若一个数的平方根等于它本身，则这个数是0和1 D.若一个数的立方根等于它本身，则这个数为0、1、-1 5.(24-25八年级上·山东青岛·阶段检测)下列各组数中，互为相反数的是( A.|-V2与2 B.-2与8 c.2与(-V22 D.-2与V-2)2 6.(26-27八年级上·河南周口·阶段检测)已知0.528≈0.8082,5.28≈1.741,52.8≈3.752，则 V52800≈ 7.(26-27八年级上·广东深圳·开学考试)一个正数的两个不同的平方根分别是2a-3与5-α， 2b+4的立方根是-2.求2a-b的平方根 8.(26-27八年级上·江苏·期中)若一个正数的平方根是2a-1和-a+2,则这个正数是 9.（26-27八年级上·湖南·期中)计算：(-32-(-3)°+V4+). 10.(25-26八年级上·福建福州·阶段检测)如果x=y,那么我们规定(x,y)=n.例如：因为 32=9,所以(3,9)=2. (1)[理解]根据上述规定，填空：(2,8)=一一一一，(-5,25)=一一一-： 第16页共20页 (2)已知(x,16)=2,则x= (3)已知(4，a)=2,(b,8)=3,求(b,a)的值： (4)[说理]记(4,12)=a,(4,5)=b,(4,60)=c.试说明：a+b=c: 11.(26-27八年级上·河南开封·开学考试)阅读下列材料：已知实数m,n满足(2m2+n2+1)(2m2+ n2-1)=80,试求2m2+n2的值. 解：设2m2+n2=t,则原方程变为(t+1)(t-1)=80,整理得t2-1=80,t2=81, .t=±9.2m2+n2≥0,2m2+n2=9. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运 算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化， 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x,y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2-3)=27,求x2+y2的值. (2)设a,b满足等式(2a2+b2)(2a2+b2+2)=80,求2a2+b2+1的值. 第17页共20页 12.（25-26七年级下·福建福州·期中)小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-1728的立方 根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103=1000,1003=1000000，所以V1728是两位数； ②其次观察了立方数：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,7=343,83=512， 93=729:猜想1728的个位数字是2： ③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为13=1,23=8，所以V1728的十位数字应为1，于是 猜想1728=12，验证得：1728的立方根是12： ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到一1728=一12，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这 两个数的立方根也互为相反数；反之也成立， 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)-3375=_: (2)若5-4x=-Vx+10,则x=_; (3)己知x-2+2=x,且3y-1与V1-2x互为相反数，求x,y的值. 第18页共20页 13.(25-26八年级上·广东梅州·阶段检测)综合与探究 【问题情境】在数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形，记它们的面积分别 为S,S2,S3·若S1+S2-S3=4,求图中阴影部分的面积. 【独立思考】(1)请解答老师提出的问题， 【实践探究】(2)希望小组突发奇想：如图2，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正 方形，若图中正方形I,Ⅱ，V的边长分别是V3,√5,1，求正方形Ⅲ的边长 【问题解决】(3)智慧小组突发奇想：如图3，将图1中的直角△ABC变为图3的四边形ABCD,其中 ∠ABC=∠ADC=90°，设图中面积分别为S1,S2,S3,S4的正方形的边长分别为a,b,C,d,若a2+d2= 25c=4,求代数武+ 2b3+7 b4-17 +√(-2b-1)2的值. B mvI S2 S3 S IV SA A C/S2 S FS 图1 图2 图3 第19页共20页 14.（25-26八年级上·上海·阶段检测)设2025x3=2026y3=2027z3,且xyz>0,且 √2025x2+2026y2+2027z-/2025+2026+2027,求号++的值. 15.(25-26七年级下·广西玉林·期末)新定义：二元一次方程y=ax+b(其中a,b是常数，x,y是 未知数)，若a≥b,则称这个方程为“完美”方程，规定c=a2+b,此时称c为“完美值”，例如：y= 4x+3是“完美”方程，4>3，y=4x+3是“完美”方程，c=a2+b=42+3=19,此时“完 美值”c=19.若a<b,则称这个方程为“团结”方程，规定c=ab,此时称c为“团结值”.例如：x一 y=-2是“团结”方程，x-y=-2,即y=x+2,1<2,方程x-y=-2是“团结”方程，c= ab=1×2=2,此时“团结值”c=2. 试解决下列问题： (1)判断-3x+y=5是“团结”方程吗？并说明理由： ②若m,n满足方程组m十n5判西二元一次方程mx+心=3是“完美”方程还是“团结”方程？ 求出对应的c的平方根： (3)老师让同学们举出“团结”方程的例子，同学在回答的时候，小明没听完整，只记住“团结”方程y= -3x+b的相关特征：①c>5,②b是负整数.请你帮小明求出符合条件的b值. 第20页共20页nullnull