专题09图形的旋转同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题09图形的旋转同步培优讲义 ✺知识框架 图形的旋转是平面三大全等变换之一，承接平移、轴对称知识，是学习中心对称、圆相关几何综合问题的基础。本节核心内容： 1.旋转概念：定义、三要素、对应元素. 2.旋转性质：对应点与旋转中心的距离关系、旋转角特征、旋转前后图形全等. 3.旋转作图：作图依据与规范步骤. 4.变换辨析：旋转、平移、轴对称的异同. 5.旋转应用：几何计算与简单证明. ✺知识梳理 知识点一、图形旋转的定义 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为图形的旋转。如下图. 关键名词：固定的定点为旋转中心，转动的角度为旋转角，旋转前后相互重合的点为对应点。 核心特征：旋转属于全等变换，仅改变图形位置，不改变图形的形状与大小。 知识点二、旋转三要素 ▲图形的旋转由三大要素唯一确定,是图形判断、作图、解题的核心依据： 旋转中心：旋转过程中固定不动的定点； 旋转方向：分为顺时针、逆时针两种； 旋转角度：图形转动的角度，常见角度为30°、45°、60°、90°、180°等。 ⚠️注意：旋转中心位置不固定，可在图形内部、图形边上或图形外部。 知识点三、图形旋转的基本性质 图形旋转前后保持全等，核心性质共三条，为课内高频考点： 1.距心等长：每一组对应点到旋转中心的距离相等； 2.旋转角相等：任意一组对应点与旋转中心连线的夹角均为旋转角，所有旋转角大小相等； 3.图形全等：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。 知识点四、旋转作图步骤 1.已知图形、旋转中心、旋转方向与旋转角度，可依据以下标准步骤作图： （1）定点连线：找出图形所有关键点，分别连接关键点与旋转中心； （2）旋转定角：以旋转中心为顶点，以连线为一边，按指定方向作出等于旋转角的角； （3）截取等长：在角的另一边上截取线段，使长度等于关键点到旋转中心的距离，得到对应点； （4）连线成形：依次连接所有对应点，得到旋转后的完整图形。 （5）标注结论：标出旋转后图形的对应字母，写出作图结论。 知识点五、三种图形变换对比 对比维度 平移 轴对称 旋转 变换方式 沿直线移动 沿直线翻折 绕定点转动 对应点规律 对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等 对应点连线被对称轴垂直平分 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 相同点 均为全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形位置 【易错点梳理】 1.表述旋转时缺少三要素，对旋转方向、旋转角判断错误。 2.旋转角概念混淆：只有对应点与旋转中心连线形成的角才是旋转角，不能将图形内角、对应线段夹角当作旋转角。 3.旋转作图时遗漏关键点，角度方向或线段截取长度出现错误。 4.错误认为旋转会改变图形的形状或大小。 ✺题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 3．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程___________．    3．四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 3．如图，正方形绕着它的对称中心点O旋转，旋转多少度后能够与原正方形重合？ 题型4.求旋转中心的个数 1．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，如果正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？请指出它们的位置． 3．如图，已知等边和等边有公共的底边． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点） (2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由． 题型5.旋转中的规律性问题 1．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 3．【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 题型6.根据旋转的性质求解 1．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 3．如图，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，可以看作经过平移、轴对称或旋转得到的． (1)说明得到的过程； (2)若，求和的度数． 题型7.根据旋转的性质说明线段或角相等 1．如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 3．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 题型8.旋转的性质及辨析 1．如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．以的为边分别作正方形，正方形，连接． (1)与有什么数量与位置关系？说明理由． (2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的． 3．在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________； (2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 题型9.画旋转图形 1．以如图所示的正方形的右边所在的直线为轴，将该图形向右翻转后，再绕正方形的中心按顺时针方向旋转，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 3．任意画一个，并把它旋转： (1)以点A为旋转中心，把逆时针旋转； (2)以边的中点为旋转中心，把顺时针旋转； (3)在内任取一点为旋转中心，把逆时针旋转； (4)在外任取一点为旋转中心，把顺时针旋转． 题型10.利用旋转设计图案 1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 2．如图，线段可以看成是线段先绕点C___________旋转，再向___________平移___________小格得到的． 3．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 题型11.求绕原点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，坐标分别为，，． (1)将进行平移得到，其中点的对应点为，点，的对应点分别为，，请在图中画出； (2)将绕原点逆时针旋转得到，其中点，，的对应点分别为，，，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)点在轴上，且，直接写出点的坐标． 题型12.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 3．如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出图形，写出点、的坐标； (2)连接，则______． 题型13.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，点在轴上，将绕点顺时针方向旋转使得点的对应点落在轴正半轴上，则点的对应点的坐标是______． 3．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 题型14.坐标与旋转规律问题 1．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为________． 3．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 题型15.线段问题(旋转综合题) 1．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接、，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________． 3．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 题型16.面积问题(旋转综合题) 1．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 3．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 题型17.角度问题(旋转综合题) 1．如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，绕点A 顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为________．    3．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 题型18.其他问题(旋转综合题) 1．如图，在中，，，将绕点 C顺时针旋转得到． 点 E是边的中点，点F为线段上的动点，在绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是，则线段长度的最小值为（     ） A．4.8 B．3 C．2.4 D．1.8 2．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______． 3．综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．    (1)探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 题型19.坐标系中的旋转 1．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 2．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 3．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 二、填空题 5．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上，则旋转后点对应点的坐标是_________． 7．在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 8．如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的． (2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______． 10．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 11．如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 12．已知点和图形，给出如下定义：若图形内（含边界）存在点，以为边作等边三角形，则称点是点关于图形的“等边关联点”． 例如．如图，已知点和，在内存在点，作等边三角形．则点是点关于的“等边关联点”． 在平面直角坐标系中，点、、、、． (1)当时， ①如图、在点、、中，点________是点关于正方形的“等边关联点”． ②在直线上存在点是点关于线段的“等边关联点”．直接写出的取值范围． (2)当时，若点既是点关于正方形的“等边关联点”，又是点关于直线的“等边关联点”．直接写出点纵坐标的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09图形的旋转同步培优讲义 ✺知识框架 图形的旋转是平面三大全等变换之一，承接平移、轴对称知识，是学习中心对称、圆相关几何综合问题的基础。本节核心内容： 1.旋转概念：定义、三要素、对应元素. 2.旋转性质：对应点与旋转中心的距离关系、旋转角特征、旋转前后图形全等. 3.旋转作图：作图依据与规范步骤. 4.变换辨析：旋转、平移、轴对称的异同. 5.旋转应用：几何计算与简单证明. ✺知识梳理 知识点一、图形旋转的定义 定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为图形的旋转。如下图. 关键名词：固定的定点为旋转中心，转动的角度为旋转角，旋转前后相互重合的点为对应点。 核心特征：旋转属于全等变换，仅改变图形位置，不改变图形的形状与大小。 知识点二、旋转三要素 ▲图形的旋转由三大要素唯一确定,是图形判断、作图、解题的核心依据： 旋转中心：旋转过程中固定不动的定点； 旋转方向：分为顺时针、逆时针两种； 旋转角度：图形转动的角度，常见角度为30°、45°、60°、90°、180°等。 ⚠️注意：旋转中心位置不固定，可在图形内部、图形边上或图形外部。 知识点三、图形旋转的基本性质 图形旋转前后保持全等，核心性质共三条，为课内高频考点： 1.距心等长：每一组对应点到旋转中心的距离相等； 2.旋转角相等：任意一组对应点与旋转中心连线的夹角均为旋转角，所有旋转角大小相等； 3.图形全等：旋转前后的图形全等，对应边相等、对应角相等。 知识点四、旋转作图步骤 1.已知图形、旋转中心、旋转方向与旋转角度，可依据以下标准步骤作图： （1）定点连线：找出图形所有关键点，分别连接关键点与旋转中心； （2）旋转定角：以旋转中心为顶点，以连线为一边，按指定方向作出等于旋转角的角； （3）截取等长：在角的另一边上截取线段，使长度等于关键点到旋转中心的距离，得到对应点； （4）连线成形：依次连接所有对应点，得到旋转后的完整图形。 （5）标注结论：标出旋转后图形的对应字母，写出作图结论。 知识点五、三种图形变换对比 对比维度 平移 轴对称 旋转 变换方式 沿直线移动 沿直线翻折 绕定点转动 对应点规律 对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等 对应点连线被对称轴垂直平分 对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 相同点 均为全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形位置 【易错点梳理】 1.表述旋转时缺少三要素，对旋转方向、旋转角判断错误。 2.旋转角概念混淆：只有对应点与旋转中心连线形成的角才是旋转角，不能将图形内角、对应线段夹角当作旋转角。 3.旋转作图时遗漏关键点，角度方向或线段截取长度出现错误。 4.错误认为旋转会改变图形的形状或大小。 ✺题型精讲 题型1.判断生活中的旋转现象 1．有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】旋转定义：在平面内，把一个图形绕某一定点转动一个角度的图形变换叫做旋转，根据旋转定义逐一判断各现象，即可找出不属于旋转的选项. 【详解】解：①温度计中液柱的上升或下降是沿直线的平移运动，不属于旋转； ②打气筒活塞的运动是沿直线的平移运动，不属于旋转； ③钟摆的摆动是绕悬挂定点转动，属于旋转； ④风车轮叶片绕中心转动移动到新位置，属于旋转.， 故不属于旋转的是①②. 2．钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，经过20分钟，分针旋转了___． 【答案】/120度 【分析】根据钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟，得到1分钟分针旋转，进而求出20分钟，分针旋转的度数即可． 【详解】解：∵钟表一周为，分针匀速旋转一周需要60分钟， ∴1分钟分针旋转， ∴经过20分钟，分针旋转了：； 故答案为：． 【点睛】本题考查钟表中的旋转．熟练掌握钟表一周为，分针旋转一分钟是，是解题的关键． 3．将数字“6”旋转，得到数字“9”，将数字“9”旋转，得到数字“6”，现将数字“689”整体旋转，得到的数字是______． 【答案】689 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合“689”的特点得出答案． 【详解】解：将数字“689” 整体旋转180°，得到的数字是：689． 故答案为：689． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，能够想象出旋转后的图形是解题关键． 题型2.判断由一个图形旋转而成的图案 1．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可． 【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转，后得到，符合题意； B、C、D均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意． 2．如图，平南直角坐标系中，可以看作是经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由得到过程___________．    【答案】将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一） 【分析】根据平移、旋转的性质即可得到由得到的过程． 【详解】解：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度得到， 故答案为：将逆时针旋转，再向右平移2个单位长度（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度． 3．四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”    (1)【思路点拨】 如图1，四边形为对角互补四边形，，． 求证：平分． 小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分． ①还可以知道、、三者数量关系为：_________； ②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________； (2)【变式拓展】 如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明： 平分； ②； (3)【能力提升】 如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________． 【答案】(1)①；②绕点A逆时针旋转得到 (2)①见解析；②见解析； (3) 【分析】（1）①由题意可得，，，即可得； ②根据旋转的定义可得出答案； （2）①延长至，使，连接，证明，可确定是等边三角形，在求出，即可证明； ②由①直接可证明； （3）延长至，使，连接，证明，结合已知可求，过点作交于点，则有，，再由即可求解． 【详解】（1）解：①， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ②∵， ∴绕点A逆时针旋转得到． （2）解：①延长至，使，连接，如图2，   四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分； ②，， ， ； （3）解：延长至，使，连接，如图3，   四边形为对角互补四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 过点作交于点， 为的中点， ， 在中，， ， ， 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，恰当的构造辅助线是解题的关键． 题型3.找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】绕点A旋转，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即或．因为已知和的度数，所以先计算的度数，即两个角的差．依据旋转角的定义，该差值即为所求旋转角． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 2．如图所示，直角顺时针旋转后与重合，若，则旋转角度是________． 【答案】/度 【详解】解：由图可知，是对应边，是旋转角， 所以，旋转角． 3．如图，正方形绕着它的对称中心点O旋转，旋转多少度后能够与原正方形重合？ 【答案】 正方形绕点旋转的整数倍（）后都能与原正方形重合． 【详解】解：∵正方形相邻顶点与的夹角相等，四个夹角之和为， 每个夹角为， ∴正方形绕旋转后，每个顶点都会与原相邻顶点的位置重合，整个图形与原正方形重合， ∴正方形绕点旋转的整数倍后，都能与原正方形重合． 题型4.求旋转中心的个数 1．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 2．如图，如果正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？请指出它们的位置． 【答案】图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有个，分别是点、点和的中点 【详解】解：以为旋转中心，把正方形绕顺时针旋转度，正方形旋转后能与正方形重合； 以为旋转中心，把正方形绕逆时针旋转度，正方形旋转后能与正方形重合； 以的中点为旋转中心，把正方形绕的中点旋转度，正方形旋转后能与正方形重合， ∴图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有个，分别是点、点和的中点． 3．如图，已知等边和等边有公共的底边． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点） (2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由． 【答案】(1)点B或点C或线段的中点 (2) 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵等边和有公共边， ∴，， ∴， 根据平移的性质得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【分析】本题主要考查了旋转、平移的性质、平行四边形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得答案； （2）根据平移的性质和等边三角形的性质得到，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出答案． 【详解】（1）解：将绕点B逆时针旋转能与重合； 将绕点C顺时针旋转能与重合； 将绕线段的中点旋转能与重合； ∴满足题意的点为点B或点C或线段的中点； 故答案为：点B或点C或线段的中点； （2） 略 题型5.旋转中的规律性问题 1．如图1，点在点正北方．一只机器狗从点按逆时针方向绕着点做匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过2026分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出机器狗运动的周期，再根据周期计算经过分钟时机器狗的位置即可． 【详解】解：由题可知，机器狗分钟转动， 机器狗转动一周，即所需时间为分钟， ， 经过分钟，机器狗转动了周后，又转动了分钟， 相当于机器狗的位置为从点逆时针转动， 点在点正北方， 逆时针转动后，机器狗位于点正西方， 观察选项，只有B选项符合 ． 2．在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且…，依此规律，得到等腰直角三角形．则点的坐标_________． 【答案】 【分析】．根据题意得出 点坐标变化规律，进而得出点 的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律， 每4次循环一周，即，即，即，即， ， 点与同在一个象限内， 点． 3．【阅读理解】 射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则称射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”．如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝20°，则∠AOC＝∠BOC，所以射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”． 【解决问题】 （1）在图1中，若作∠BOC的平分线OD，则射线OD　 　射线OB在∠AOB内的一条“友好线”；（填“是”或“不是”） （2）如图2，∠AOB的度数为n，射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，ON平分∠AOB，则∠MON的度数为 　 　；（用含n的代数式表示） （3）如图3，射线OB从与射线OA重合的位置出发，绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转；同时，射线OC从与射线OA的反向延长线重合的位置出发，绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．问：当运动时间为多少秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是余下两条射线中某条射线在余下两条射线所组成的角内的一条“友好线”？ 【答案】（1）是；（2）n；（3）或或或30秒 【分析】（1）根据“友好线”定义即可作出判断； （2）根据“友好线”定义即可求解； （3）利用分类讨论思想，分四种情况进行计算即可． 【详解】解：（1）∵OB是∠BOC的平分线， ∴∠BOD＝∠COD， ∵∠COA＝∠BOC， ∴∠BOD＝∠AOD， ∴射线OD是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”． （2）∵射线OM是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”，∠AOB的度数为n， ∴∠BOM＝∠AOB＝n， ∵ON平分∠AOB， ∴∠BON＝∠AOB＝n， ∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝n﹣n＝n； （3）设运动时间为x（x≤36）秒时，射线OA、OB、OC中恰好有一条射线是其余两条射线中某条射线的“友好线”． 当射线OB是射线OA在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠AOB＝∠COB， 所以3x＝（180﹣5x﹣3x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OA的“友好线”． 当射线OB是射线OC在∠AOC内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOB， 所以180﹣5x﹣3x＝×3x， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OB是射线OC的“友好线”． 当射线OC是射线OB在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠COB＝∠AOC， 所以3x+5x﹣180＝（180﹣5x）， 解得x＝（符合题意）， 即运动时间为秒时，射线OC是射线OB的“友好线”． 当射线OC是射线OA在∠AOB内的一条“友好线”时，则∠AOC＝∠COB， 所以180﹣5x＝（5x+3x﹣180）， 解得x＝30（符合题意）， 即运动时间为30秒时，射线OC是射线OA的“友好线”． 综上所述，当运动时间为或或或30秒时，符合题意要求． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的运算，理解新定义，并用数形结合思想解答是解题的关键． 题型6.根据旋转的性质求解 1．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，将绕点逆时针旋转至，连接交线段于点． （1）若为的中点，则旋转角________． （2）若，，则________． 【答案】 【分析】（1）根据菱形的性质和旋转的性质得到，，再由三线合一定理可得答案； （2）过点F作于点G，根据菱形的性质和旋转的性质得到，；设，则，，可证明；利用直角三角形的性质结合勾股定理，可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∵F为的中点， ∴； （2）如图所示，过点F作于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴； ∵，， 在中，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 3．如图，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，可以看作经过平移、轴对称或旋转得到的． (1)说明得到的过程； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)可以看作绕点逆时针旋转得到的； (2)， 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，则可以看作绕点逆时针旋转得到的； （2）根据等边三角形的性质可知，根据可以求出，根据三角形内角和定理即可求出，再根据旋转的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， 可以看作绕点逆时针旋转得到的； （2）解：和都是等边三角形， ，， 又， ， ， ， 在中，， 由（1）可知，可以看作绕点逆时针旋转得到的； ，， ． 题型7.根据旋转的性质说明线段或角相等 1．如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得到，故A错误，C错误；得到∠ACD=∠BCE，故D正确；题目无法得到等于，故B错误． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，故A、C错误； 又题目无法得到等于，故B错误． ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，即，故D正确． 2．如图，在中，将绕点A逆时针旋转得到，交边于点F，点D恰好落在边上，若，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】由旋转的性质可知，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，将绕点A逆时针旋转一定角度得到，使点B的对应点E落在上，与交于点G． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：由题意，得，， ， ， 平分； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用等边对等角求得，即可得到； （2）根据旋转的性质可得，，利用三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得，， ，， ， ， ， ． 题型8.旋转的性质及辨析 1．如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】由旋转的性质进行判断，注意旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：观察图象可知，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是． 2．以的为边分别作正方形，正方形，连接． (1)与有什么数量与位置关系？说明理由． (2)利用旋转的观点，在此题中，可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的． 【答案】(1) ，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴； (2)是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的 【分析】（1）由正方形的性质得到，再证明，进而证明得到，再利用三角形内角和定理证明，即，即可得到结论； （2）根据（1）所求可知是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的． 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴是三角形绕点A顺时针旋转90度得到的． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，旋转的概念等等，证明是解题的关键． 3．在中，，，点M是直线上一动点．连接，将线段绕点M逆时针旋转得到． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，四边形的形状是________________； (2)探究猜想：当点M不与点A，点C重合时． ①试猜想与的位置关系，并利用图2证明你的猜想； ②直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1)四边形是正方形 (2) ①解：．证明如下： 如图，过点M作交于点E，连接，则． ，， ． ， ． ． 将线段绕点M逆时针旋转得到， ，． ． ． ． 在和中， ． ，． ． ． ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ． ． ② 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线后早全等三角形是解题的关键． （1）由旋转的性质得出, ,证出，由平行四边形的判定可得出结论． （2）①过点M作交于点E，连接，则，证明，由全等三角形的性质得出，，，证明四边形是矩形，由矩形的性质得出，则可得结论． ②分两种情况，当点M在射线上时，由全等三角形的性质及等腰直角三形的性质得出，当点M在射线上时，同理． 【详解】（1）证明：将线段绕点M逆时针旋转，当点M与点A重合， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形． （2）解：①略 ②设的中点为O， 当点M在射线上时， 由①得： ， ．， 为等腰直角三角形，， ， ； 点M在射线上时，过点M作交于点E， 连接，则． ，， ． ， ． ． 将线段绕点M逆时针旋转得到， ，． ． ． ． 在和中， ． ，， ，， ， ． ， ． 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ， ， ． 题型9.画旋转图形 1．以如图所示的正方形的右边所在的直线为轴，将该图形向右翻转后，再绕正方形的中心按顺时针方向旋转，得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】编辑试题3802562270879744的解析.docx 2．如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．若点位于内（不含边界），点为点绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可确定点旋转后对应点在线段上，且不与点重合，然后作答即可． 【详解】解：∵点位于内， ∴， 旋转后对应点在线段上，且不与点，重合，如图， ∴， 故答案为：． 3．任意画一个，并把它旋转： (1)以点A为旋转中心，把逆时针旋转； (2)以边的中点为旋转中心，把顺时针旋转； (3)在内任取一点为旋转中心，把逆时针旋转； (4)在外任取一点为旋转中心，把顺时针旋转． 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图即为所求， (3) 如图，即为所求， (4) 如图，即为所求 【分析】（1）任意画出原，连接，. 将绕点逆时针旋转，截取. 将绕点逆时针旋转，截取. 连接即可； （2） 设的中点为，连接，，. 将，，分别绕点顺时针旋转，分别截取，，. 顺次连接，，即可； （3）在内任取一点作为旋转中心，连接，，. 将，，分别绕点逆时针旋转，分别截取，，. 顺次连接，，即可； （4）在外任取一点作为旋转中心，连接，，. 将，，分别绕点顺时针旋转，分别截取，，. 顺次连接，，即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 题型10.利用旋转设计图案 1．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图，现出现一型图形正向下运动，为了使型图形与已拼好的图案组合成一个完整的矩形，你必须进行以下哪项操作（    ） A．顺时针旋转，向右平移 B．逆时针旋转，向右平移 C．顺时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向下平移 【答案】A 【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用平移设计图案，根据平移和旋转的性质即可得到结论．正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：①先顺时针旋转， ②∵俄罗斯方块会自动向下平移， ∴我们无需考虑向下平移， ∴向右平移． 故选：A． 2．如图，线段可以看成是线段先绕点C___________旋转，再向___________平移___________小格得到的． 【答案】 逆时针 左 1 【分析】本题考查了线段的旋转，平移，根据题意和旋转的相关知识即可得；掌握旋转角度，旋转方向，平移是解题的关键． 【详解】解：由图可知，线段可以看成是线段先绕点C逆时针旋转，再向左平移1小格得到的， 故答案为：逆时针；左；1． 3．在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 【答案】(1)正方形是旋转对称图形； 如图，点即为正方形的旋转中心； 旋转角的度数可以是或或（答案不唯一）； (2)， (3) （答案不唯一） 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义及所给例子判断，求解即可； （2）连接，，，证明，得，根据图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，得其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为，可求得，进而根据三角形内角和定理及四边形内角和可求得； （3）根据旋转对称图形的定义将所给菱形绕点按顺时针或逆时针每次旋转，旋转5次，可得一个旋转对称图形（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形绕它的中心旋转或或能与自身重合，它是旋转对称图形， 作图略， 旋转角的度数略； （2）解：连接，，， ，，， ， ， 图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， 其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为， ； ， 由全等可得， ， 同理：， 点，，，在同一直线上， ， ； （3） 略 题型11.求绕原点旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 2．传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先确定风车每4秒转顺时针一圈，1005秒后点的位置，然后根据旋转的性质，即可写出点的坐标． 【详解】解：风车平均每4秒转一圈，1005秒转动（圈）， 即风车在转动251圈后，又转动圈， 如图，，过、分别作、垂直于轴垂足分别为、， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵是第四象限的点， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，坐标分别为，，． (1)将进行平移得到，其中点的对应点为，点，的对应点分别为，，请在图中画出； (2)将绕原点逆时针旋转得到，其中点，，的对应点分别为，，，请在图中画出，并直接写出点和的坐标； (3)点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) ，； (3)，． 【分析】（1）根据平移的定义作图； （2）根据旋转的定义解题； （3）根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，， ∵， ∴， ∴，． 题型12.求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，由旋转的性质可得，，作轴于点，再证明，得出，，即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点，， ∴，， 由旋转的性质可得，， 如图，作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的对应点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接，若将绕点顺时针旋转，得到，则点的坐标为_______． 【答案】 【分析】作轴于点，由旋转的性质可得，，进而求解． 【详解】解：过作轴于点， 由旋转可得，轴， 四边形为矩形， ，， ， 点坐标为． 3．如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出图形，写出点、的坐标； (2)连接，则______． 【答案】(1)如图，即为所求，， (2) 【分析】（1）根据旋转中心，旋转方向及角度找出点A、B的对应点、的位置，然后顺次连接即可，进而可直接得出点、的坐标； （2）利用勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 由勾股定理得． 题型13.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 1．如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与x轴相交于C，根据旋转及等边三角形的性质得到，，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，，即可解答． 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 2．如图，在中，，，，点在轴上，将绕点顺时针方向旋转使得点的对应点落在轴正半轴上，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】由勾股定理和全等三角形解答即可． 【详解】解：，，， ，，， 由旋转知，，， 作轴于点H， ， ∴， 的横坐标为，纵坐标为． 3．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型14.坐标与旋转规律问题 1．如图，矩形的顶点A、B分别在x轴、y轴上，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2028次旋转结束时，点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意过点C作轴于点E，连接，根据已知条件求出点C的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点C的坐标，发现规律，进而求出第2028次旋转结束时，点C的坐标． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点C的坐标为； 则第2次旋转结束时，点C的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点C的坐标为； … 发现规律：旋转4次一个循环， ， 则第2028次旋转结束时，点C的坐标为． 2．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，结合旋转的性质推出△绕原点逆时针旋转，每旋转6次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点的对应点记为，过点，作轴于点，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：，， ， 顶点的坐标为， ， 绕原点逆时针旋转，每次旋转，且， 即每旋转6次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同， 如图，第4次旋转结束时，点的对应点记为， 过点，作轴于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， 即第4次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 点对应点的坐标为． 3．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点的对称中心的坐标为． 观察应用：    (1)如图，若点、的对称中心是点A，则点A的坐标为：　　． (2)在（1）的基础上另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，，则、的坐标分别为：　　、　　． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）设，利用题中公式分别计算出和的值即可； （2）利用中心对称的性质画图可得到点、，从而得到它们的坐标． 【详解】（1）设， 点、的对称中心是点， ，， 点坐标为， 故答案为：； （2）点、的坐标分别为，．   故答案为：，． 【点睛】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 题型15.线段问题(旋转综合题) 1．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接、，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________． 【答案】 【分析】取的中点，连接并延长至点，使得，用判定证明，进而用判定证明，所以可得，所以当三点共线时，最短，最短为，求出的长即可求出最终答案． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， 取的中点，连接并延长至点，使得， ， ， ，， ，即， 又，， ， ， ， ∴当且仅当三点共线时，最短，最短为， ∵点F为的中点， ， ， 因此的最小值为． 3．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2) 线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； (3)． 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）略 （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型16.面积问题(旋转综合题) 1．如图，已知在中，，，把一块含有角的三角板的直角顶点D放在的中点上，将绕点按顺时针方向旋转度（始终在点上方），则与重叠部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形斜边中线的性质构造全等三角形，证明旋转过程中重叠部分面积为定值，和旋转角度无关． 【详解】解：如图，连接， ，，点是的中点， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．生活中有很多图形可以通过图形变换得到．如图是把正方形绕中心顺时针旋转以后与原图形组成的十六边形，若十六边形的面积为16，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据旋转的性质和正方形的性质可知，该十六边形是中心对称图形，对称中心为点，且阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心，根据中心对称图形的性质可得阴影部分的面积是十六边形面积的． 【详解】解：由题意可知，该十六边形是由正方形绕中 顺时针旋转 以后与原图形组成的， 该十六边形是中心对称图形，对称中心为点． 观察图形可知，阴影部分与空白部分的分界线经过对称中心， 阴影部分的面积等于十六边形面积的． 十六边形的面积为 ， 阴影部分的面积为 ． 3．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 【答案】(1) (2)①证明：如图2， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点B，C，E三点共线， ∴， ∴， ∴． ②5 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解． （2）①由旋转得，，，再进一步由全等三角形的性质得出为等腰直角三角形，根据角度的转换得出，即可证明结论． ②利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即点B，C，E三点共线， ∴． （2）①略． ②解：∵， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 题型17.角度问题(旋转综合题) 1．如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 2．如图，绕点A 顺时针旋转某个角度得到．已知，，、相交于点，、相交于点，则的度数为________．    【答案】20 【分析】由旋转知，，得，，可证，于是．可证． 【详解】解：由旋转知，，得，， ∴． ∴ ∴． ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查旋转的性质，全等的性质，三角形内角和定理；理解旋转的性质是解题的关键． 3．如图1，在中，点D为边上的一个定点，射线与边交于点E，射线与边交于点F，与关于直线对称，与关于直线对称． (1)如图2，当点落在边上，点落在边上时，若，则的度数为 ； (2)在图1中，设，，求x与y满足的数量关系式； (3)如图3，，射线从位置出发，绕点D顺时针旋转，到位置停止；射线从位置出发，绕点D逆时针旋转，到位置停止．两条射线同时开始旋转，射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，当时，求旋转时间t的值． 【答案】(1)40 (2)时；当时 (3)t为或 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，由平角的定义及计算得到，在四边形中根据内角和定理即可求解； （2）由折叠的性质得：，，结合图形分类讨论：当在的左侧时（）；当在的右侧时（）；结合角度的数量关系列式求解即可； （3）根据题意得到射线到的时间为秒，射线到的时间为秒，，，结合运动情况分类讨论：与相遇前；在与相遇后；由平角的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵与关于直线对称，点落在边上，，与关于直线对称，点落在边上， ∴， ∴， ∵，则， ∴， 在四边形中，， 故答案为：40； （2）解：由折叠的性质得：，， ，， ①当在的左侧时（）， ， ， ， ； ②当在的右侧时（）， ， ， ， ． 综上，x，y满足当时；当时． （3）解：当时，， ∵射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，到位置停止， ∴射线到的时间为秒，射线到的时间为秒， 由题意可知，，， ①与相遇前，则， ∴， 解得； ②与相遇后，则， ∴， 解得，不合题意舍去； ∴在与相遇后，当时，射线已停止旋转， ∴此时， ， 解得， 综上，当t为或时，． 题型18.其他问题(旋转综合题) 1．如图，在中，，，将绕点 C顺时针旋转得到． 点 E是边的中点，点F为线段上的动点，在绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是，则线段长度的最小值为（     ） A．4.8 B．3 C．2.4 D．1.8 【答案】D 【分析】过A作于F，过C作于E，根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式求出；此时过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值，解答即可． 【详解】解：过A作于F，过C作于E，如图1： ∵， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴，， ∴， 如图2，过C作于F，以C为圆心为半径画圆交于，有最小值， 此时在中，， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】此题考查了几何变换问题，等腰三角形的性质，旋转的性质，面积法求三角形的高，解直角三角形；（1）题关键用面积法求出三角形的高，（2）题关键是能画出旋转的轨迹． 2．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案． 【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示， ， ， 当时，点从点开始向方向运动， 当时，的移动到最大距离， 此时， 在中，， ， ， 当时，点开始离开点向点方向运动， 当时，点停止运动， 在中，， ， 点返回运动的路径长为， 点Q移动的路径长为， 故答案为：． 3．综合实践， 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在中，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．    (1)探究发现 旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用 如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． (3)延伸思考 如图4，在中，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论； （2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； （3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵点D和点E为分别为中点， ∴由图1可知，， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：由图1可知∵点D和点E为分别为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴当所在直线经过点B时，， 根据勾股定理可得：， 由（1）可得：， ∴， 解得：； （3）解：令相交于点Q，过点E作于点G， 根据题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∵边平分线段，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴．    题型19.坐标系中的旋转 1．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，由于A、关于C点对称，列方程求解即可． 【详解】解：设的坐标为， ∵A和关于点对称， ∴， 解得， ∴点的坐标． 2．如图，将绕点旋转得到，若点A的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点和作轴的垂线，垂足分别为和，证明即可求解． 【详解】解：过点和作轴的垂线，垂足分别为和，如图， 由旋转可知，， ∵轴，轴， ， 在和中， ， ， ， ∵点坐标为，点坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点的坐标．（提示：过点作轴的垂线，利用全等求解） 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的性质和判定，图形与坐标，旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点 作轴于点 C，可证明，则，则题目可求． 【详解】解：如图，过点 作轴于点 C， ∵， ， ， ∴， ， 又∵， ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，顺时针旋转到的位置（点，，的对应点为点，，），则旋转中心及旋转角分别是（     ） A．点， B．点， C．点， D．点， 【答案】D 【分析】根据两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知：绕着点顺时针旋转得到， ∴旋转中心及旋转角分别是点，旋转角为． 2．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转性质，数形结合表示出求解即可． 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的定义得和均为旋转角， ， ， ． 3．【新情境•风力发电】风力发电具有清洁、环境效益友好，可再生、装机规模灵活，运行和维护成本低等特点，是除水能外，技术最为成熟、最具大规模开发和商业开发条件的发电方式．如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为．以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为．若叶片每秒绕点顺时针旋转，则第7秒时叶片尖点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标，找到规律，即可解答． 【详解】解：点对应的坐标为， 点在第一象限的角平分线上． 叶片每秒绕原点顺时针旋转， 第1、2、3、秒时，点的对应点的坐标分别为：，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环． ， 第7秒时叶片尖点的坐标与第秒时的位置相同， 即第7秒时叶片尖点的坐标为． 4．如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点在直线上，据此求出的最大值及最小值即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以点在直线上． 当与直线垂直时，取得最小值， 因为点坐标为， 所以的最小值为． 当点在点处时， 点坐标为， 则； 当点在点处时， 点坐标为， 则， 因为， 所以的最大值为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的大小比较等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 二、填空题 5．如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 6．如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上，则旋转后点对应点的坐标是_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质和判定为等边三角形，求出对角线的长，进而利用勾股定理求出的长；根据旋转的性质及点与点的相对位置关系，确定旋转后点落在轴负半轴，从而得出坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由图可知，旋转前点在第一象限，点在第四象限，且， 即点在点的顺时针方向， 当菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上时， 点落在轴的负半轴上， ∴旋转后点对应点的坐标是． 7．在平面直角坐标系中，已知点，点，将绕点B逆时针旋转得到，则点A的对应点的坐标为_________________． 【答案】 【分析】通过作垂线构造全等三角形，利用旋转的性质得到等边等角，证明三角形全等，根据全等得到对应线段长度，结合位置计算得到的坐标． 【详解】解：设点的对应点为，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵，， ∴，得，． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵在轴下方， ∴的横坐标为， 纵坐标为， ∴的坐标为． 8．如图，中，，，O为中点，将绕着点O逆时针旋转至，（1）当时，__________；（2）当恰为轴对称图形时，的值为_____________． 【答案】 40° 50°或65°或80° 【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边中线的性质得到，然后结合旋转的性质得到，然后根据外角的性质得到，进而求解即可； （2）如图1，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图2，连接并延长交于H，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图3，连接并延长交于G，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到． 【详解】（1）连接， ∵中，O为中点 ∴ ∵将绕着点O逆时针旋转至 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵恰为轴对称图形， ∴是等腰三角形， 如图1，连接， ∵O为斜边中点，， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴； 当时，如图2，连接并延长交于H， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图3， 连接并延长交于G，连接， ∵，O为斜边中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 综上所述：当恰为轴对称图形时，θ的值为50°或65°或80°， 故答案为：50°或65°或80°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 三、解答题 9．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移5个单位，向下平移4个单位，画出平移后的． (2)将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． (3)若四边形是平行四边形，则D点坐标为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移方式可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点确定点的位置，再作图即可； （3）根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同建立方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点D的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴和的中点的坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 10．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，．记旋转角为． (1)如图①，若，则的长是__________，点的坐标是__________； (2)如图②，若，求点的坐标； (3)记为的中点，为的面积，求的最小值和最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2) (3)最小值，最大值 【分析】（1）勾股定理求出的长，旋转结合勾股定理求出的长，作轴，证明，求出的长，求出点的坐标即可； （2）过作轴于，易得为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出点的坐标即可； （3）根据旋转的性质，推出当点在上时，的面积最小，当点在线段的延长线上时，的面积最大，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 作轴，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图② ，过作轴于，则． 由旋转的性质可得：，， 在中，由， ∴． ． 由勾股定理， ． 点的坐标为； （3）∵旋转， ∴， 由（1）可知， ∵为的中点， ∴， 作，则：， ∴的面积随着的变化而变化， 如图所示，当点在上时，此时，重合，最小，的面积最小， 最小面积， 当点在的延长线上时，此时重合，最大，的面积最大， 最大面积． 11．如图，是一个等边三角形，D为边的中点，把绕点A顺时针旋转得到，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】根据等边三角形的三线合一定理可知是的中线、边上的高、的角平分线，根据三角形的高、角平分线的性质、旋转的性质即可求出角的度数． 【详解】解：是一个等边三角形， ，， 点为边的中点， ，平分， ，， 由旋转可知， ， ， 又， 是等边三角形， ， ． 12．已知点和图形，给出如下定义：若图形内（含边界）存在点，以为边作等边三角形，则称点是点关于图形的“等边关联点”． 例如．如图，已知点和，在内存在点，作等边三角形．则点是点关于的“等边关联点”． 在平面直角坐标系中，点、、、、． (1)当时， ①如图、在点、、中，点________是点关于正方形的“等边关联点”． ②在直线上存在点是点关于线段的“等边关联点”．直接写出的取值范围． (2)当时，若点既是点关于正方形的“等边关联点”，又是点关于直线的“等边关联点”．直接写出点纵坐标的取值范围． 【答案】(1)①，； ②或； (2)或 【分析】（1）①以，，为边作等边三角形，根据作图的结果即可得到答案． ②作等边，，，，根据等边三角形的性质解得点、、、的坐标，代入直线得到的取值范围． （2）根据“等边关联点”的本质就是绕定点旋转，把“找点构造等边三角形”转化为图形旋转，原图形（正方形/直线）整体旋转，得到点的活动区域，点同时属于两个旋转后的图形的公共部分，再求这个公共部分的纵坐标的取值范围即可，根据旋转后图形的对称性，直接得出下半部分的取值范围． 【详解】（1）解：①∵、、、，， ∴、、、， 如图所示，绘制正方形， ∵、、、， ∴分别连接，，，并以，，为边作等边三角形， 由图可知：以和为边的第三个顶点在正方形的内部和边上，以为边的第三个顶点在正方形的外部， ∴，是点关于正方形的“等边关联点”； 故答案为：，； ②∵在直线上存在点是点关于线段的“等边关联点”， ∴直线是直线在平移过程中的直线上，存在点使得以为边的等边三角形的另一个顶点在线段上， 如图所示，分别作等边，，，， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 同理可得， 当直线过点时，代入点，得， 解得：， 当直线过时，代入点，得， 解得：， ， 当直线过时，代入点，得， 解得：， 当直线过时，代入点，得， 解得：， 综上所述，的取值范围为或； （2）解：如图，正方形绕点顺时针旋转至正方形，点对应，绕点逆时针旋转至正方形，点对应， 直线绕点顺时针旋转对应直线，绕点逆时针旋转对应直线， 点纵坐标的取值范围即为直线与正方形以及和正方形相交部分点纵坐标的取值范围， 设交于，交于， 设当时，直线与正方形交于点，则， ， ， ， 正方形绕点顺时针旋转至正方形， ， 垂直于直线， 直线绕点逆时针旋转对应直线， 垂直于直线， ， ， 直线为直线， ， 直线、平行于直线， ， ， ， 设直线的解析式为：， 代入点，得，解得， 直线的解析式为：， 当时，， 同理可得：， 设直线的解析式为：， 代入点，得，解得， 直线的解析式为：， 当时，， ， 由对称性可得: 点在轴下方时，， 综上所述，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $