精品解析：陕西西安市长安区兴国初级中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

2026-2027学年第一学期九年级第一次大练习数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定以及矩形的判定逐一分析即可． 【详解】对于A、根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B、根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C、因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 当，可得， 所以， 根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D、因为四边形是平行四边形， 所以， 所以， 所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 3. 根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（ ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解的估算，通过观察表格中函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在此区间内必有根，由此得到答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程必有一个根满足， 故选：B． 4. 如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. ＞2 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，解题需要满足两个条件，一是一元二次方程的二次项系数不为0，二是方程有实数根时根的判别式非负，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴ 二次项系数满足 ，即 ， 根的判别式满足 ， 解得 综上，的取值范围是且． 故选：C． 6. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点到的距离为2，则可得动点在平行于且与之间的距离为2的直线上，再设直线与交于点，延长至点，使得，连接，，则线段的长即为所求，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， 解得， ∴如图，动点在平行于且与之间的距离为2的直线上， 设直线与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，且， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出动点的运动轨迹． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 10. 如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件：______可使菱形变为正方形．（写一个即可） 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【详解】解：添加可使菱形变为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）； 或添加，可使菱形变为正方形（对角线相等的菱形是正方形）． 11. 中国结象征着中华民族的历史文化与精神．乐乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，若，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 13. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 8 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 14. 菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题需分两种情况讨论，点F在线段上和点F在的延长线上，设菱形边长为未知数，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设菱形的边长为， ∴，， 点是的中点， ， ， ， ， 为平行线与之间的距离，即． 分两种情况讨论： 情况1：点在线段上， 过点作，交直线于点． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 又 ，为直角三角形，， 在中，由勾股定理，得 ， ． 情况2：点在的延长线上， 在中，由勾股定理，得 ， ． 三、解答题（共78分） 15. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程； （3）用公式法解一元二次方程； （4）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时除以得：， 方程两边同时开平方得：， 当时， 可得：， 当时， 可得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 分解因式得：， 可得：或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 方程的解为，； 【小问3详解】 解：， 整理得：， 其中，，， ， ， 方程的解为，； 【小问4详解】 解：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 方程的解为，． 16. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【小问1详解】 解：设 则： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； （2）与的面积比为________． （3）的面积是________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3）14 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的性质作图即可； （2）利用相似三角形的性质求解即可； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为； 【小问3详解】 解：的面积是． 18. 如图，在中，，．尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹） 【答案】如图，点D和菱形即为所求， 【解析】 【分析】先作出的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再分别以为圆心，长为半径画弧，两弧在下方交于点，此时，故四边形是菱形． 【详解】略 19. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合矩形的判定即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根． 【答案】 （1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）x1＝，x2＝． 【解析】 【分析】（1）根据判别式公式，求出该一元二次方程的判别式△，得到△＞0恒成立，即可得证， （2）根据根与系数的关系，结合“方程的两根之和等于3”，列出关于k的一元一次方程，求出k值，代入原方程，解之即可． 【详解】（1）略 （2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3． 当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0． 所以x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式． 21. 某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． （2）求大厦的高度． （3）查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【答案】（1）见解析 （2） （3）测量长度时存在读数误差 【解析】 【分析】（1）根据同一时刻太阳光线平行得，易证明，则，据此求解即可； （2）根据光的反射定律得到，证明，则，结合（1）中结论进行求解即可； （3）结合测量过程的实际操作场景，从测量工具、测量条件、操作误差等角度分析误差原因即可． 【小问1详解】 解：由题意得：、， ， 同一时刻太阳光线平行， ， ， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：根据光的反射定律，， 由题意得：、， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 解得：， 即大厦高度为； 【小问3详解】 解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 22. 解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1） （2）购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 【解析】 【分析】（1）设平均每年增长的百分率为x，根据“该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨．”列出方程，即可求解； （2）设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只，根据“购买母蟹的数量不少于公蟹数量的”列不等式求出m的取值范围，设购买费用为w元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设平均每年增长的百分率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：平均每年增长的百分率为； 【小问2详解】 解：设购买该规格公蟹m只，则购买母蟹只， 根据题意得：， 解得：， 设购买费用为w元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵m为整数， ∴m的最大值为9， 当时，w取得最小值，最小值为， 答：购买公蟹9只、母蟹3只时费用最低，最低费用为495元． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A． （1）求证：△DCF∽△CEB； （2）若AD＝6，CD＝8，DF＝4，求CE的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC． ∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A， ∴∠DFC＝∠B， ∴△DCF∽△CEB； （2）12 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．然后根据相似三角形的判定可得结论； （2）由平行四边形的性质可得BC＝AD＝6，然后根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝6， ∵△DCF∽△CEB，DF＝4，CD＝8， ∴， 即， ∴CE＝12． 【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题关键． 24. 2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 【答案】（1） （2）80元或90元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用． （1）根据销售量与降价金额的关系列出函数关系式即可； （2）根据利润的计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设销售单价为x元，则降价了元， ∴多销售的个数为个， 依题意得：， 化简得：， ∴y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：依题意得：， 解得，， ∴当售价单价定为80元或90元时，每天可获利1200元． 25. 如图，在中， ，是高，平分 分别与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 因为是的高， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据同角的余角相等可得，进而可证明； （2）过点作于点，证明，，根据相似三角形的性质，列出比例式，代入已知数据求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， . ， ， . ， . 又， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 26. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________°，________°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】（1）（或） （2）①15，15； ②，理由如下： 四边形是正方形 ， 由折叠可得， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解： 取的中点N，连接， ， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ， 故答案为：（或）． 【小问2详解】 解：四边形是正方形 ， 由折叠性质得：， ① ∴ ， 故答案为：，． ②略 【小问3详解】 解：当点在点的下方时，如图， ， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点在点的上方时，如图， ，， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级第一次大练习数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意） 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表格的对应值：由此可判断方程必有一个根满足（ ） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A. B. C. D. 4. 如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. ＞2 B. C. 且 D. 且 6. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 8. 如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 10. 如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件：______可使菱形变为正方形．（写一个即可） 11. 中国结象征着中华民族的历史文化与精神．乐乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，若，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 12. 某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 13. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 14. 菱形中，点是边的中点，交直线于点．若，，则菱形的边长为__________． 三、解答题（共78分） 15. 选择适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 已知线段a、b、c，且． （1）求的值； （2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， （1）以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，； （2）与的面积比为________． （3）的面积是________． 18. 如图，在中，，．尺规作图：在上确定点，使点到，两点的距离相等；在的下方确定点，使得四边形是菱形（不写作法，保留痕迹） 19. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 20. 已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根． 21. 某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由． （2）求大厦的高度． （3）查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 22. 解决问题 探究主题 黄河口大闸蟹产业发展综合探究 探究背景 为贯彻落实黄河流域生态保护和高质量发展重大战略，东营深耕生态文旅，打造了“观鸟浪、赏黄蓝交汇、品大闸蟹”等特色名片． 资料一 某大闸蟹养殖基地依托旅游产业优势，产能稳步提升．该养殖基地2024年大闸蟹产量约64吨，计划2026年产量达到100吨． 资料二 为满足市场需求，该养殖基地推出不同规格的大闸蟹．其中，某规格公蟹单只售价40元，母蟹单只售价45元． 问题解决： （1）该养殖基地大闸蟹产量平均每年增长的百分率是多少？ （2）若某游客计划购买该规格公蟹和母蟹共12只，且购买母蟹的数量不少于公蟹数量的．怎样购买费用最低，最低费用是多少？ 23. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A． （1）求证：△DCF∽△CEB； （2）若AD＝6，CD＝8，DF＝4，求CE的长． 24. 2026年是农历丙午马年，2025年年底“马”的元素已经悄然出现，某商家打算提前准备马年装饰挂件，装饰挂件的进价为每个60元，当每个售价定为100元时，每天可以售出20个，商家为了减少库存换新品，决定降价促销，发现每降价1元，每天可以多售出2个，若设装饰挂件的销售单价为x元，每天的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当售价单价定为多少元时，每天可获利1200元？ 25. 如图，在中， ，是高，平分 分别与，相交于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_______． （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________°，________°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $