精品解析：内蒙古自治区乌兰察布市集宁区亿利东方学校等校 2026-2027学年八年级上学期9月阶段检测数学试题

亿利东方学校2026—2027学年第一学期八年级数学 第一次学科素养综合评价 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题（本题包括8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1、6、6 B. 2、3、5 C. 2，6，9 D. 5、3、10 2. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，中，，外角，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 6. 如图，在四边形中，，延长至点F，连接并延长至点E，连接，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题（每小题3分，一共4小题） 9. 已知在中，，这个三角形是___________三角形． 10. 如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 11. 如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 12. 如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 三、解答题 13. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 14. 如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 15. 如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 16. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 17. 综合与实践 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． （2）如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． （3）如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 18. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 亿利东方学校2026—2027学年第一学期八年级数学 第一次学科素养综合评价 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题（本题包括8个小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1、6、6 B. 2、3、5 C. 2，6，9 D. 5、3、10 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查组成三角形的条件：较短两条线段的和大于较长线段，据此依次判断即可． 【详解】解：A.由，则三条线段能组成三角形，符合题意； B.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； D.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 2. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为12，故应该列两个方程组求解． 【详解】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm， 由题意得或， 解得或． ，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm， 故选：A． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解二元一次方程组和三角形三边关系的综合运用，此题的关键是分两种情况分析，求得解之后注意用三角形三边关系进行检验． 3. 如图，中，，外角，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 由三角形的外角性质得到，由此求解即可． 【详解】解：，， ∴． 故选：B． 4. 如图，小明利用尺规作，在作图过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由作法易得，， 在和中， ， ，即选项B符合题意． 5. 根据下列条件，能作出唯一的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、三角形三边之间的关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据全等三角形的判定及三角形三边之间的关系解决问题即可． 【详解】解：A.根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； B.根据三角形的三边关系，该三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.根据全等三角形的判定定理（角边角），能作出唯一的，符合题意； D. 根据全等三角形的判定定理，该选项不能作出唯一的，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在四边形中，，延长至点F，连接并延长至点E，连接，平分，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理； 根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，，是的平分线，于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义可求出的度数，再根据三角形内角和定理和垂线的定义求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，一共4小题） 9. 已知在中，，这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解本题的关键是用方程的思想解决问题． 根据题意，设分别为，然后根据三角形的内角和等于列式求出，作出判断即可． 【详解】解：设分别为， 则， 解得， 所以，， 这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 10. 如图，在三角形纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点处，折痕为．则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，从而得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 由折叠的性质可知，，． ∴在中，． 11. 如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据​求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． 12. 如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或##12或6 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 三、解答题 13. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 14. 如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ，即：， ， 又， ． 15. 如图，在三角形中，，D是上一点，且，，，求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答本题的关键． 本题根据垂直的知识得到，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到，然后即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 已知中，，，中，，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当D在上，E在的延长线上，直线相交于点F，求证：； 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中，，，， ∴， ； （2） 证明：在和中，，，， ∴， ， 为、的外角， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键． （1）由证得，即可得出结论； （2）由证得，得出，由三角形外角的性质得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 综合与实践 （1）如图1，在中，与的平分线交于点，若，则_____． （2）如图2，的内角的平分线与的外角的平分线交于点．其中，求的度数用表示． （3）如图3，平分外角，平分外角．试确定与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：结论：；理由如下： ∵平分外角，平分外角， ，， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，即可得出答案； （3）根据三角形外角的性质和角平分线的定义，求出，，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵、分别平分和， ∴，（角平分线的定义）， ∵（三角形内角和定理）， ∴ ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， 即， ∴； 【小问3详解】 略 18. 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高，延长交于点．求证：是的中点． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； 证明如下：∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）证明：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中点． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用等判定定理证明全等，进而推导边的关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，再进一步可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $