精品解析：湖南长沙市雅礼洋湖实验中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026-2027：雅礼洋湖八年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于x轴对称的点坐标特征求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是． 故选：D． 3. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是满足方程的未知数的值是解题的关键． 把代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入可得： ，解得：． 故选B． 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 6. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D. 三个角都相等的三角形是等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案． 【详解】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意； B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意； C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意； D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一指的是顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合． 7. 如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 8. 如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点落在点处，交于点且，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据矩形的性质得到、得到，则，根据翻转变换的性质得到，即，再根据等角对等边即可解答． 【详解】解：∵长方形， ∴、， ∴，， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，在中，，是边上的高，交于点E，，，，通过观察尺规作图的痕迹，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——基本作图，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 根据过一点作已知直线垂线的作法可得是直线的垂线，即是的高，利用证明，可得． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知：， ， ， ，是高， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：B. 10. 如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 24 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度．过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：过D作于E，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴ 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 12. 如图，在中，点是延长线上的一点，若，，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 直接根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，点是延长线上的一点，，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为8，则的面积为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，掌握三角形的一条中线把三角形的面积分为相等的两部分是解题的关键． 根据三角形中线的性质可得的面积是的面积的一半，的面积是的面积一半，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴． 故答案为2． 14. 如图，，在边上，，则的度数为___________． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，进而得到，再根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键；由于等腰三角形的一个角可能是顶角或底角，需分情况讨论． 【详解】解：设等腰三角形的顶角为，底角为，则， 若是顶角，则； 若是底角，则，； 两种情况均符合三角形内角和定理， 故答案为或． 16. 如图，四边形中，，，，则的面积为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 如图：过点D作，交的延长线于点H，再证明，根据全等三角形的性质得到，再运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过点D作，交的延长线于点H， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：18． 三、解答题（本大题共9个小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、有理数乘方、立方根、算术平方根等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先运用有理数乘方、立方根、算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 19. 这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ， ∴（ ）． （2）小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出四边形ACBD的面积呢？假设，，请你尝试求出． 【答案】（1），， （2）12 【解析】 【分析】（1）由作图可得，即可由求证； （2）先证明，则，再由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴，，， ∴在和中 ∴， ∴ ∵ ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）写出对称点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图：即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标、作轴对称图形、利用网格求出三角形的面积等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定、、关于轴的对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）直接根据（1）的作图写成的坐标即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：的三个顶点的坐标分别为， 它们关于轴的对称点的坐标为：． 【小问3详解】 解：． 21. 如图，在中，，为的角平分线．，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：是的角平分线， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，再根据即可证明结论； （2）根据角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后根据等腰三角形“三线合一”可得，然后运用角的和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为的角平分线， ， ∵． ， ， 为的角平分线， ． ． 22. 如图，中，垂直平分， 交于点F， 交于点E，且， 连接． （1）求证：； （2）若的周长为20cm，， 求长． 【答案】（1） 证明：∵垂直平分， ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴ （2）6cm 【解析】 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，得到答案； 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵的周长为20cm， ∴cm， ∵cm， ∴cm ∵， ∴ ＝6cm 23. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点． （1）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________； （2）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围． 【答案】（1） （2）m的值为2，的值为7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化、方程组与不等式组的应用等知识点，理解新定义“西雅对称点”的定义是解题的关键． （1）依照新定义计算即可； （2）依照新定义计算出，根据题意列出关于m和n的方程组，解方程组即可； （3）依照新定义计算出，根据在第二象限求出x的取值范围，再由满足条件的x的整数解有且只有一个，列不等式组得出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如图， ∴将点关于轴的对称点，点关于直线的对称点记作点． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵关于轴的对称点，点关于的对称点， 点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是。 的坐标是， ，解得，， 值为2，的值为7． 【小问3详解】 解：点关于轴的对称点为，点关于直线对称点为， 点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是， 点在第二象限， ，解得：， 关于的取值范围内的所有整数解之和为6， ，即：． 25. 在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，点在y轴的正半轴上． （1）如图1，过点B作，且，连接，点C在第一象限，若实数a、b满足：，请直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图2，在x轴上一点，于点N，连接，求证：平分； （3）如图3，若，，点在x轴正半轴上，于点Q，连接，当平分时，求m的值及的面积． 【答案】（1），， （2） 证明：如图，过O点作，过O点作，设与交于点G， ∵，， ∴， ∵于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分； （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． （1）根据绝对值与算术平方根的非负性求出的值，进而得到坐标，再通过作辅助线构造全等三角形求出 点坐标即可； （2）通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边上的高相等得出，再利用角平分线的判定即可得证； （3）如图，过Q点作，过Q点作，利用角平分线的性质和三角形的面积公式得出，再通过全等三角形的性质求出的值，最后根据三角形面积公式求出 的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， 如图，过 C 作 轴于 D， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过Q点作，过Q点作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵在x轴正半轴上， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027：雅礼洋湖八年级上学期第一次月考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. B. 3 C. 9 D. 11 4. 如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 6. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 B. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 C. 等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合 D. 三个角都相等的三角形是等边三角形 7. 如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点落在点处，交于点且，则的长为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 9. 如图，在中，，是边上的高，交于点E，，，，通过观察尺规作图的痕迹，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 24 D. 11 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 25的平方根是_____． 12. 如图，在中，点是延长线上的一点，若，，则的度数是___________． 13. 如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为8，则的面积为___________． 14. 如图，，在边上，，则的度数为___________． 15. 已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角的度数是_____________． 16. 如图，四边形中，，，，则的面积为___________． 三、解答题（本大题共9个小题） 17. 计算：． 18. 求不等式组：的所有整数解． 19. 这是小明同学作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． ①分别以点A，B为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点D； ②连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ， ∴（ ）． （2）小甜看到小明的作图有一个特别的想法，若连接，交于点E，已知与的线段长能否求出四边形ACBD的面积呢？假设，，请你尝试求出． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）写出对称点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； （3）求的面积． 21. 如图，在中，，为的角平分线．，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，中，垂直平分， 交于点F， 交于点E，且， 连接． （1）求证：； （2）若的周长为20cm，， 求长． 23. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“西雅对称点”．例如：点关于轴和直线的“西雅对称点”为点． （1）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是___________； （2）点关于轴和直线的“西雅对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“西雅对称点”在第二象限，且得到关于的取值范围内的所有整数解之和为6，求的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，点在y轴的正半轴上． （1）如图1，过点B作，且，连接，点C在第一象限，若实数a、b满足：，请直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图2，在x轴上一点，于点N，连接，求证：平分； （3）如图3，若，，点在x轴正半轴上，于点Q，连接，当平分时，求m的值及的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $