精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年下学期八年级期末检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．下列新能源汽车车标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的定义是解决本题的关键． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可，据此判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 某种碳纳米管的直径为0.0000000018米， 将数据0.0000000018用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，n的值为原数中第一个非零数字排在小数点后的位数．据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，涉及积的乘方、同底数幂的乘法和除法、单项式乘单项式，幂的运算需熟练掌握法则，注意符号和指数变化． 根据相关运算法则逐项计算，可得答案． 【详解】解：选项A：∵， ∴A错误，不符合题意； 选项B：∵， ∴B错误，不符合题意； 选项C：∵， ∴C错误，不符合题意； 选项D：∵， ∴D正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 2，4，7 C. 3，5，8 D. 1，7，9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据构成三角形的条件，需较小两数之和大于最大的数，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于A：∵，∴能构成三角形，符合题意； 对于B：∵，∴不能构成三角形，不符合题意； 对于C：∵，∴不能构成三角形，不符合题意； 对于D：∵，∴不能构成三角形，不符合题意， 故选A． 5. 将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（ ） A. 扩大为原来的2026倍 B. 缩小为原来的 C. 保持不变 D. 以上都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的值的变化情况，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵和同时扩大为原来的2026倍， ∴新分式为， ∴分式的值保持不变． 故选C． 6. 对任意整数，都能（　　） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解、提公因式因式分解等知识，先由平方差公式因式分解，再由提公因式因式分解，得到即可确定答案，熟练掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， 对任意整数，都能被4整除， 故选：B． 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点关于坐标轴的对称，掌握好对称的规律是关键． 关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为相反数， ∴点关于轴对称的点为． 故选：B． 8. 如图，已知， 点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）． A. 5 B. 10 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，掌握好等边三角形的判定定理是关键． 连接，根据作图可得，，从而得到是等边三角形，则． 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故选：C． 9. 已知实数x满足 ，则代数式 值为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知代数式化简求值，将已知条件进行合理的变形是关键． 利用已知条件，得到，进而将代数式化简求值． 【详解】解：由可得，， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于点，平分交于点，交于点，连接交于点，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；，其中正确的结论有（ ） A. ①③⑤ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，延长交于点，根据角平分线的定义及三角形内角和定理可得，即得，再根据对顶角的性质得到，即可判定③；证明，得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可判定①；根据已知条件无法判定或，故不一定是等边三角形， 即可判定④；证明，得到，即得，又可证，，即可得，得到，即得，即可判定②；证明，得到，又由得，即得到，进而得到，又由得，即可判定⑤，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵是的高，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴，故①正确； 根据已知条件无法判定或， ∴不一定是等边三角形， 故④错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的结论有①③⑤， 故选：． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 使二次根式 有意义的实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握好二次根式的概念是关键． 根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义 ∴， ∴． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 分式的值为0，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的增根，确定分式在什么情况下值为0是解题的关键． 首先根据分式的值为0需满足分子为0且分母不为0，得到结果即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图， 在中，，， 为边上的高，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余以及角所对的直角边等于斜边的一半，确定是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余得，由为边上高得，由角所对的直角边等于斜边的一半即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为边上的高， ∴，即是直角三角形， ∴． 故答案为：． 15. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，掌握好指数运算的法则是解题关键． 根据指数运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：根据指数运算法则，． 故答案为：． 16. 如图，三角形中，直线l垂直平分，点P是l上一点，点D是上一点，连接， 若三角形的面积为10，，则的最小值______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与最短路径问题，由直线l垂直平分得，则，当A、P、D共线且时，最小，此时为的高，结合面积公式求出即可． 【详解】解：连接，如图， ∵直线l垂直平分， ∴， ∴， 当A、P、D共线且时，取得最小值，即的长． 由的面积，， 得， 解得， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 三、解答题(本大题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，负指数幂与零指数幂，熟练掌握相关知识是关键． 先将负指数幂和零指数幂化简，再按照实数的混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键. （1）两边同乘以将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根即可解答； （2）两边同乘以将分式方程转化为整式方程，从而求出方程的解，然后进行验根得出答案． 【小问1详解】 解： 两边同乘以得： 解得：， 检验：当时， 是原分式方程的解， 【小问2详解】 解： 两边同乘以得： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19. 如图所示， 已知，，． （1）作出关于轴对称的； （2）在轴上求作一点，使得最小(不写画法，保留作图痕迹)； （3）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，线段和最值问题，网格中的三角形面积，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点； （3）利用网格计算出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：点如图所示； 【小问3详解】 解：． 20. 已知与 是同类项，先化简，再求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查同类项的概念，代数式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题关键． 先根据代数式的混合运算的法则进行化简，再根据同类项的定义求出和的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵与 是同类项， ∴，， ∴，， 当，时， 原式， ， ． 21. 如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，， 求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，，由角平分线的性质可得，，从而得到，命题得证； （2）先根据角平分线的性质，计算出，再根据平行线的性质计算得．由对顶角相等可得，，根据等腰三角形的性质可得，，最后根据三角形内角和定理求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 22. 湖南省足球联赛(简称“湘超”)已完美谢幕，最后决赛更是一票难求，贺龙体育馆附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．决赛期间，某商店也准备销售文创产品，计划购进吉祥物“湘湘”和吉祥物“超超”，购买1个“湘湘”比购买1个“超超”多花10元，并且花费300元购买“湘湘”和花费100元购买“超超”的数量相等． （1）求购买一个“湘湘”和一个“超超”各需要多少元? （2）商店准备购买吉祥物“湘湘”和吉祥物“超超”共80个，若“湘湘”的数量不少于“超超”数量的4倍，并且购买吉祥物“湘湘”和吉祥物“超超”的总费用不低于1000元且不高于1060元，那么商店有哪几种购买方案? 【答案】（1）购买一个“湘湘”需要15元，购买一个“超超”需要5元 （2）方案①：购进“湘湘”66个，“超超”14个，方案②： 购进“湘湘”65个，“超超”15个，方案③：购进“湘湘”64个，“超超”16个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设购买一个“超超”需要x元，则购买一个“湘湘”需要元，根据花费300元购买“湘湘”和花费100元购买“超超”的数量相等，列出方程求解即可； （2）设购买“超超”m个， 则购买“湘湘” 个，根据“湘湘”的数量不少于“超超”数量的4倍，并且购买吉祥物“湘湘”和吉祥物“超超”的总费用不低于1000元且不高于1060元，列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个“超超”需要x元，则购买一个“湘湘”需要元， 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 所以购买一个“湘湘”需要15元，购买一个“超超”需要5元； 【小问2详解】 设购买“超超”m个，则购买“湘湘” 个， 依题意，得： ， 解得： ， 为整数， 或15或16， 商店有3种购买方案， 方案①： 购进“湘湘” 66个， “超超” 14个， 方案②： 购进“湘湘” 65个， “超超” 15个， 方案③： 购进“湘湘”64个，“超超”16个． 23. 如图， 是等边三角形， ，与交于点P， 于Q． （1）求证: ; （2）求的度数; （3）若 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等． （1）先证，再证，即可得出； （2）由 (1) 得，推出，进而即可求解； （3）先求出，可得，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ， 又∵，，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解: 由 (1) 得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解: ∵， ， ∴， ， 又∵， 24. 不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． （1）判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（ ） ②分式 与 互为和谐分式；（ ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（ ） （2）当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； （3）已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 【答案】（1）① ×；②√；③ × （2） （3）或 或或 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解二元一次方程组，因式分解的应用，分式的加法运算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据和谐分式和和谐整式的定义可判断①②；根据和谐分式的定义可得方程，解方程可判断③； （2）根据和谐分式的定义可得，则可得到，进而得到，解之即可得到答案； （3）根据题意可得，则可推出，再把5分解成2个整数的乘积，则可得到关于x、y的方程组，解方程组即可得到答案． 【小问1详解】 解：①， ∵对于任意的x，的值不一定为1， ∴整式与对任意x不一定具有和谐关系，故错； ②， ∴分式 与 互为和谐分式，故对； ③当分式与互为和谐分式时，则， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，故错； 【小问2详解】 解：∵当时， 如果分式与始终互为和谐分式， ， ∴， ∴， ∵当时，等式恒成立， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵与互和谐整式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵都整数， ∴都是整数， ∵， ∴或 或 或 解得或 或或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，且满足，若点为边上一动点，不与，重合． （1）填空：______，______，的大小为______； （2）当平分时，求证：； （3）当点运动时，作交的延长线于，连接，请判断下面两个结论的正误，并说明理由． ①的大小不变； ②为定值． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）①正确，见解析；②正确，见解析 【解析】 【分析】此题考查坐标与图形、绝对值的非负性、等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定及性质，熟练掌握绝对值的非负性、等腰直角三角形的判定和构造全等三角形的方法是解决此题的关键． （1）利用完全平方公式，根据平方及绝对值的非负数的性质，得出且，求出，，可得，即可得出，可得答案； （2）过点作于，根据角平分线的性质得出，根据得出是等腰直角三角形，，利用证明，得出，利用线段的和差关系即可得结论； （3）①过点作交于点，利用直角三角形两锐角互余，结合得出，，利用证明，得出，是等腰直角三角形，即可得出，判断①正确；②利用①中证明，得出，，代入即可判断②正确． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴且， 解得：，， ∴， ∴． 故答案为：，， 【小问2详解】 解：如图，过点作于， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 和中，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①正确，且，理由如下： 过点作交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即． ②正确，且，理由如下： 由①可知，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级期末检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．下列新能源汽车车标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某种碳纳米管的直径为0.0000000018米， 将数据0.0000000018用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 5，12，13 B. 2，4，7 C. 3，5，8 D. 1，7，9 5. 将分式中的，的值同时扩大为原来的2026倍，则变化后分式的值（ ） A. 扩大为原来的2026倍 B. 缩小为原来的 C. 保持不变 D. 以上都不正确 6. 对任意整数，都能（　　） A. 被3整除 B. 被4整除 C. 被5整除 D. 被6整除 7. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，已知， 点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）． A 5 B. 10 C. D. 3 9. 已知实数x满足 ，则代数式 的值为（ ）． A. B. 0 C. 1 D. 10. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于点，平分交于点，交于点，连接交于点，且．有下列结论：①；②；③；④是等边三角形；，其中正确的结论有（ ） A. ①③⑤ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11. 使二次根式 有意义的实数x的取值范围是______． 12. 分解因式：______． 13. 分式的值为0，则___________ 14. 如图， 在中，，， 为边上的高，则 ________． 15. 已知，，则的值为______． 16. 如图，三角形中，直线l垂直平分，点P是l上一点，点D是上一点，连接， 若三角形的面积为10，，则的最小值______． 三、解答题(本大题共8个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算： ． 18 解分式方程： （1） （2） 19 如图所示， 已知，，． （1）作出关于轴对称的； （2）在轴上求作一点，使得最小(不写画法，保留作图痕迹)； （3）求出的面积． 20. 已知与 是同类项，先化简，再求值． 21. 如图， 在中，平分， 过线段上一点作，交于点，交延长线于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，， 求的度数． 22. 湖南省足球联赛(简称“湘超”)已完美谢幕，最后决赛更是一票难求，贺龙体育馆附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．决赛期间，某商店也准备销售文创产品，计划购进吉祥物“湘湘”和吉祥物“超超”，购买1个“湘湘”比购买1个“超超”多花10元，并且花费300元购买“湘湘”和花费100元购买“超超”的数量相等． （1）求购买一个“湘湘”和一个“超超”各需要多少元? （2）商店准备购买吉祥物“湘湘”和吉祥物“超超”共80个，若“湘湘”的数量不少于“超超”数量的4倍，并且购买吉祥物“湘湘”和吉祥物“超超”的总费用不低于1000元且不高于1060元，那么商店有哪几种购买方案? 23. 如图， 等边三角形， ，与交于点P， 于Q． （1）求证: ; （2）求的度数; （3）若 求的长． 24. 不妨定义：如果两个代数式A，B的值满足，则称A，B具有和谐关系．当具有和谐关系的两个代数式A，B都是整式时，则称A，B互为和谐整式；当具有和谐关系的两个代数式A，B都是分式时，则称A，B互为和谐分式． （1）判断下列说法的正误，对的打“√”，错误的打“×”． ①整式与对任意x都具有和谐关系；（ ） ②分式 与 互为和谐分式；（ ） ③如果分式与互为和谐分式，则．（ ） （2）当时， 如果分式与始终互为和谐分式，求a和b的值； （3）已知x，y都是整数，当整式与互为和谐整式时，求x、y的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，且满足，若点为边上一动点，不与，重合． （1）填空：______，______，的大小为______； （2）当平分时，求证：； （3）当点运动时，作交的延长线于，连接，请判断下面两个结论的正误，并说明理由． ①大小不变； ②为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $