精品解析：湖南省长沙市郡系 2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025年下学期学情分析 八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的定义（沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）． 根据轴对称图形的定义，逐一判断各选项图形是否能沿某条直线对折后完全重合． 【详解】A、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． B、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． C、存在一条竖直直线，沿该直线对折后，图形两部分能完全重合，是轴对称图形． D、无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形． 故选：C． 2. 如图，画边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高的概念，三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念判断即可． 【详解】解：过点A作边的垂线段，即画边上的高，如图， 故选：C． 3. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，只需验证每组中最小的两边之和是否大于最大边即可． 【详解】解：A、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； B、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； C、∵，∴，，长的三根木棒不能摆成三角形； D、∵，∴，，长的三根木棒可以摆成三角形． 故选：D 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 5. 某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（ ） A. 对称性 B. 三角形的内角和为180° C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答本题即可． 【详解】解：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性， 故选：D 6. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，不能证明，原选项符合题意； 故选：． 7. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ， 两个三角形全等，与是对应角， ， 故选：C． 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 直角都相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 三角形的外角和为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假和平行线的判定与性质，多边形的外角和，不等式等知识点，熟记性质与定义是解题的基础，会举反例判断假命题是解题的关键． 先写出各命题的逆命题，再分别根据平行线的判定与性质，多边形的外角和，不等式等知识点逐项判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：若，则，错误，是假命题，当时满足，但不满足，故本选项不符合题意； B、逆命题为：相等的角都是直角，错误，是假命题，故本选项不符合题意； C、逆命题为：两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，故本选项符合题意； D、外角和为的图形是三角形，错误，是假命题，任意多边形外角和都是，故本选项不符合题意， 故选：C． 9. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形； ②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形； ③由，可得，那么，能确定是直角三角形； ④因为，所以，则，所以是直角三角形； ⑤设，因为，所以， 由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个， 故选：C． 10. 如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（ ） A. 5 B. 6.8 C. 7.5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中线的性质得出，根据角平分线的性质得出，进而得出，即可得结论． 【详解】解：如图， 过点作，垂足分别为， ∵是角平分线， ∴，设， ∵的面积是，是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查了垂线段的性质在实际生活中的应用．根据垂线段最短解答． 【详解】解：测量的依据是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 12. 在中，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4， ∴BC=AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半． 13. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴轴对称的点的坐标的特点是解决此题的关键； 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点在第一象限， ∴点P在第四象限，符号为， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 【答案】10 【解析】 【详解】解：因为2+2=4， 所以腰长为2时不能构成三角形； 所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2， 周长：4+4+2=10， 答：它的周长是10， 故答案为：10． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，则的周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线，， ，， ∵的周长为18， ， ， ∴的周长， 故答案为：26． 16. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知三角形三个内角的度数比为，求这个三角形三个内角的度数． 【答案】（1） （2）、、， 【解析】 【分析】本题考查含实数的混合运算和三角形的内角和定理． （1）先计算绝对值，根式，乘方，把除法化成乘法，再按照四则运算法则运算即可； （2）先根据三个内角度数的比设未知数，根据三角形的内角和为列方程求出x的值即可解答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵三角形三个内角的度数比为， ∴设此三角形三个内角的度数为，，， 则， ， ， 则三个内角分别为、、， 18. 人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【答案】（1）；（2）④． 【解析】 【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【点睛】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. （1）在平面直角坐标系中作关于y轴对称的. （2）写出点，，的坐标. （3）求的面积. 【答案】（1） 如图所示： （2），，； （3）4 【解析】 【分析】（1）先找出点A、B、C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）结合直角坐标系即可求出点的坐标； （3）利用割补法求面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）中的图形可知：，，； 【小问3详解】 解：将填补成如下图形： 则． 【点睛】本题考查轴对称图形的画法，直角坐标系，求网格中图形面积，解题的关键是掌握轴对称的性质，直角坐标系． 20. 如图，在中，于点，于点E，、相交于点F，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线定义，三角形内角和定理，连接，根据垂线定义得出，根据，，得出，根据，求出即可． 【详解】解：连接， ∵于点，于点E， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理的逆定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定证明，所以，再根据角平分线的性质定理的逆定理，即可证明结论； （2）根据直角三角形全等的判定证明，可得，进一步即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ，， ， ． 22. 如图，等腰中，，点D在上，点E在延长线上，连接，且． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求得，利用三角形的外角性质即可证明结论成立； （2）作于点F，证明是等边三角形，求得，，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点F， ∵等腰中，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|=0． （1）求A点坐标； （2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP=60°； （3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由． 【答案】(1) A（6，6）；(2) 当t=2.4时，∠OCP=60°；（3）当t=3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，四边形APDQ的面积为27． 【解析】 【分析】（1）由题意可得a，b的值，即可求点A的坐标； （2）根据等边三角形的性质可得AO=BO=AB=12，∠AOB=∠ABO=60°=∠A，根据“ASA”可证△AOQ≌△OBP，可得OP=AQ，即可求t的值； （3）过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD，通过证明△ODF≌△BDE，Rt△DFP≌Rt△DEQ，可得OF=BE，DF=DE，PF=EQ，可得AP+AQ=2AF，可求t的值，根据三角形面积公式可求四边形APDQ的面积． 【详解】（1）∵（a﹣6）2+|a﹣b|=0， 又∵(a﹣6)2≥0，|a﹣b|≥0， ∴a=6，b=6 ∴点A（6，6）； （2）如图1中， ∵△AOB是等边三角形，点A（6，6） ∴AO=BO=AB=12，∠AOB=∠ABO=60°=∠A， ∵∠OCP=60°=∠AOB， ∴∠AOB=∠QOB+∠AOQ=∠QOB+∠PBO=∠PCO=60°， ∴∠AOQ=∠PBO，且AO=BO，∠A=∠AOB=60°， ∴△AOQ≌△OBP（ASA）， ∴OP=AQ， ∴12﹣2t=3t， ∴t=2.4， ∴当t=2.4时，∠OCP=60°； （3）如图2中，过点D作DF⊥AO，DE⊥AB，连接AD， ∵△ABO是等边三角形，D是OB中点，点A（6，6） ∴OD=BD=6，∠AOB=∠ABO=60°，AD=6， 又∵∠DFO=∠DEB=90°， ∴△ODF≌△BDE（AAS） ∴OF=BE，DF=DE， ∵AO=AB， ∴AO﹣OF=AB﹣BE ∴AF=AE， ∵DF=DE，PD=DQ， ∴Rt△DFP≌Rt△DEQ（HL） ∴PF=EQ， ∵OD=6，∠AOD=60°，∠DFO=90°， ∴∠ODF=30°， ∴OF=3，DF=OF=3， ∴AF=AO﹣OF=9=AE，BE=OF=3， ∵AP+AQ=AP+AE+EQ=AP+PF+AE=AF+AE=2AF=18， ∴2t+3t=18， ∴t=3.6， ∴当t=3.6时，D，P，Q三点是能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形， ∵Rt△DFP≌Rt△DEQ， ∴S△DFP=S△DEQ， ∴S四边形APDQ=S四边形AFDQ=S△AOB﹣2S△OFD =×12×6﹣2××3×3 =27． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 24. 阅读下列材料，完成（1）～（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，，，，垂足为，，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】在上面问题的基础上，老师补充： 如图2，延长交于点G，如果，所在直线交于点F，过F作交延长线于点P，交于点Q，试探究线段，之间的数量关系，并说明理由． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小彤：“通过观察和度量，发现与有某种数量关系；” 小强：“通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．” ...... 阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证：； （2）猜想与的数量关系，并证明； （3）探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2） 解：； 证明如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即； （3） 解：线段之间的数量关系为； 证明如下：过点B作交的延长线于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点M， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）证，则，，由即可得证； （2）猜想；由可证明，则有，再由等腰三角形的性质得，结合，即可证得； （3）线段之间的数量关系为；过点B作交的延长线于点K，由证明，则得，设交于点M，再由证明，得，，最后证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期学情分析 八年级数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，画边上的高，下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（ ） A. 对称性 B. 三角形的内角和为180° C. 两点确定一条直线 D. 三角形具有稳定性 6. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 直角都相等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 三角形的外角和为 9. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，中，是角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是（ ） A. 5 B. 6.8 C. 7.5 D. 8 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是________． 12. 在中，，，，则________． 13. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是______． 14. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是_______． 15. 如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，则的周长为______． 16. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）已知三角形三个内角的度数比为，求这个三角形三个内角的度数． 18. 人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，. （1）在平面直角坐标系中作关于y轴对称的. （2）写出点，，的坐标. （3）求的面积. 20. 如图，在中，于点，于点E，、相交于点F，若，求的度数． 21. 已知：如图，在四边形中，，过点C作于E，于F且． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22. 如图，等腰中，，点D在上，点E在延长线上，连接，且． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|=0． （1）求A点坐标； （2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP=60°； （3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ=120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由． 24. 阅读下列材料，完成（1）～（3）题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，，，，垂足为，，交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】在上面问题的基础上，老师补充： 如图2，延长交于点G，如果，所在直线交于点F，过F作交延长线于点P，交于点Q，试探究线段，之间的数量关系，并说明理由． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小彤：“通过观察和度量，发现与有某种数量关系；” 小强：“通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．” ...... 阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证：； （2）猜想与的数量关系，并证明； （3）探究线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $