精品解析：福建厦门市翔安第一中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试卷

厦门市翔安第一中学2026-2027学年（上）高三年数学 9月月考试卷（考试时间： 120分钟 满分150 分 ） 注意事项： 1．答卷前，请务必将姓名、班级、班级座号、考生号等信息填写在答题卡和试卷指定位置上； 2．作答选择题时， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.作答非选择题时，请将答案写在答题卡指定位置上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，，则. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，得到，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 则， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：B. 3. 已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，不等式有解，可得出，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】已知命题，，若是真命题，则不等式有解， ，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查利用全称命题的真假求参数，涉及一元二次不等式有解的问题，考查计算能力，属于基础题. 4. 若函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合分段函数解析式依次判断充分性和必要性即可. 【详解】当时，，，充分性成立； 当时，，，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知函数，，则部分图象大致为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性、单调性及排除法可求解. 【详解】因为是奇函数，是偶函数，由图象可知该函数是奇函数， 而不是奇函数，故排除A，B． 若，则． 当时，，故函数在上单调递增，排除C． 故选：D． 6. 函数的单调递减区间为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由条件知函数的定义域为． 因为，则. 当单调递减， 当单调递增. 故选：B. 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由零点个数列出不等式组求解即得答案. 【详解】当时，在上单调递减，函数值的集合为， 当时，在是单调递增，函数值的集合为， 在上单调递减，函数值的集合为，而， 由函数有两个零点，得或，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C 【点睛】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键. 8. 设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用已知条件将转换为，根据时的单调性，比较出的大小关系. 【详解】依题意，所以.因为，且当时，为减函数，所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查对数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式得到，求出，A错误； B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值； C选项，利用得到，求出最小值； D选项，先把变形为，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得：，即，解得：， 当且仅当，即时，等号成立，的最大值为，故A错误； 因为， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4，B正确； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 则，故， 的最小值为，C正确； 因为，所以，故， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，即的最小值为，D正确. 故选：BCD 10. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式、等比数列的性质，结合韦达定理及数列的函数性质求解即可. 【详解】对于A，设等差数列的首项为，则，. 可将，看作方程的两根，解得或. 因为，所以，故，. 公差，. 故通项公式为，A正确. 对于B，，这是开口向上的二次函数，对称轴. 因为，所以当或时，均取最小值，B错误. 对于C，令，则， 所以是首项为、公比为4的等比数列，C正确. 对于D，令，解得， 当时，；当时，， 易知，，，，，，，，，， 所以，D错误. 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再根据函数的性质逐一分析选项. 【详解】，画出的图像如图所示， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， ，所以总成立，故C正确； 对于D，当时，，，此时，关于直线对称， 所以，成立，当时，，成立， 当时，，，，成立. 综上所述，当时，，故D正确. 故答案为：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质， 结合题设条件，代入化简即可． 【详解】当 时，，则 因为 是偶函数，所以 ． 即当 时，． 13. 设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据原函数与导函数的图象关系，分类讨论求解即可得到答案. 【详解】当时，，为减函数，所以，即， 当时，，为增函数，所以，即， 当时，，为减函数，所以，即， 综上的解集为 故答案为： 14. 定义在上的函数，若对任意的两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，给出下列函数： ① ② ③ ④ 其中为“D函数”的所有序号__________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】由题设可等价于函数在上是减函数，进而结合各选项即可. 【详解】由题意，对任意的两个不相等的实数，都有， 可化为，这表明函数在上是减函数. ①对于函数，在上单调递增，在上单调递减， 所以函数不是“函数”； ②对于， 求导得， 因为，所以恒成立， 则函数在上单调递减，是“函数”. ③对于，求导得恒成立， 则函数在上单调递减，是“函数”. ④对于，当时， ，则函数在上不为减函数，不是“函数”. 故答案为：②③. 四、解答题：本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的一个极值点为2． （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最小值，最大值 【解析】 【分析】（1）对求导，根据一个极值点为2可知，即可求解； （2）利用导函数判断的单调性，结合区间求得最值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为的一个极值点为2， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1），， 则， 令，得或， 令，得；令，得或， 所以在上为增函数，在上为减函数， 所以是函数的极大值点，又，，， 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. （1）求角； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设结合正弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）由余弦定理可得，再根据基本不等式可得，进而结合三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理，得， 在中，，则，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，而，， 则，当且仅当时取等号， 所以，则， 故面积的最大值为. 17. 一小微企业生产某种产品.经验表明，当该产品每件的售价为元时，日销售量为（单位：千件），且.已知当售价为2元/件时，日销售量为8千件；当售价为6元/件时，日销售量为2.5千件. （1）求的值； （2）假设每件产品的成本为1元，求为何值时，日利润最大？并求出最大日利润. 【答案】（1）， （2），千元 【解析】 【分析】（1）代入已知数据可求得参数值； （2）求出利润函数，然后利用导数求得最大值. 【小问1详解】 由题知，，即，解得. ，即，解得. 【小问2详解】 设日利润为，则. 由（1）知，当时，，， 所以当和时，单调递增当时，单调递减，又， 所以，当时，的最大值为12. 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立，故. 综上，当时，日利润的最大值为千元. 18. 如图，且，,且，且，，. （1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点P在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长. 【答案】（1）法一：以D为原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系， . 则，，设为平面的法向量， 则 即 ，不妨令，得. 又，因此，又因为直线平面， 所以平面． 法二：如图2，取的中点K，联结，根据题意，得． 所以平面，平面． 而平面平面，所以平面平面． 而平面，所以平面． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）法一：建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证；法二：取的中点K，利用线面平行的判定、面面平行的判定性质推理得证. （2）法一：利用面面角的向量法求解；法二：利用等体积法求出点到平面距离，再利用几何法求解；法三：作出二面角的平面角，进而求出其余弦值即可. （3）法一：利用面面角的向量法列式求解；法二、法三：作出线面角，再利用几何法结合给定线面角列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：依题意，可得，，． 设为平面的法向量， 则 即 ，不妨令z=1，可得． 设为平面的法向量， 则 即 ，不妨令z=1，可得． 因此有，于是． 所以，二面角E–BC–F的正弦值为． 法二：如图2，联结，因为，所以E，B，C，G四点共面，下面求点F到平面的距离h． 在三棱锥中，利用等积法，不难求得． 而平面，所以．又，所以． 所以点F到的距离的值在直角梯形中求得． 设二面角的平面角为，则． 法三：如图3，将几何体补成正方体，S是棱中点，联结，所求二面角为，因为，则为二面角的平面角．，求得． 【小问3详解】 法一：设线段DP的长为，则点P的坐标为， 可得． 易知，为平面的一个法向量， 故，由题意，可得， 解得．所以线段的长为. 法二：如图3，过点B作，垂足为K，联结，则平面． 法三：如图4，取的中点Q，联结，则，平面，所以． 设，则，而，所以． 解之得，即线段的长为． 19. 已知函数． （1）求证：； （2）若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数， （ⅰ）求图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） ∵， ∴ ， ∴． （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）作差，然后配方即可证明； （2）（ⅰ）根据，由等式两边多项式相应系数相等可得；（ⅱ）根据对称性，倒序相加即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）∵， 设的对称中心为，则， 即． 整理得， ∴解得． ∴图象的对称中心为， （ⅱ）由（ⅰ）得， ∵， 又有， 两式相加得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市翔安第一中学2026-2027学年（上）高三年数学 9月月考试卷（考试时间： 120分钟 满分150 分 ） 注意事项： 1．答卷前，请务必将姓名、班级、班级座号、考生号等信息填写在答题卡和试卷指定位置上； 2．作答选择题时， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.作答非选择题时，请将答案写在答题卡指定位置上. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，若是真命题，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4. 若函数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，，则部分图象大致为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为(　　) A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义在上的函数，满足条件，且当时，，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，且，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 11. 设函数 ，则（ ） A. 直线是函数的对称轴 B. 若函数在上单调递减，则 C. 对，不等式总成立 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数是定义域为R的偶函数，当时，，则当时，的表达式为　________　. 13. 设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是___________. 14. 定义在上的函数，若对任意的两个不相等的实数，都有，则称为“函数”，给出下列函数： ① ② ③ ④ 其中为“D函数”的所有序号__________. 四、解答题：本题有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的一个极值点为2． （1）求的值； （2）求函数在区间上的最值． 16. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若且. （1）求角； （2）求面积的最大值. 17. 一小微企业生产某种产品.经验表明，当该产品每件的售价为元时，日销售量为（单位：千件），且.已知当售价为2元/件时，日销售量为8千件；当售价为6元/件时，日销售量为2.5千件. （1）求的值； （2）假设每件产品的成本为1元，求为何值时，日利润最大？并求出最大日利润. 18. 如图，且，,且，且，，. （1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）若点P在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长. 19. 已知函数． （1）求证：； （2）若函数，满足，则函数的图象关于点对称．设函数， （ⅰ）求图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $