专题二 全等三角形的判定【（挑战压轴题）导图知识卡片+十九大考点讲练+思维拓展训练 共58题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦全等三角形的判定这一核心知识点，系统梳理从尺规作图、基本判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）到性质与判定综合应用，再到辅助线模型（连接两点、倍长中线等）及综合问题的递进式学习支架。 该资料以“思维导图+十九大考点讲练+思维拓展训练”为特色，58题覆盖19个考点，结合网格求角度、倍长中线模型等实例。通过思维导图培养抽象能力与几何直观（数学眼光），分层练习提升推理能力（数学思维），实际问题应用增强模型意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 全等三角形的判定 【思维导图+十九大考点讲练+思维拓展训练 共58题〔解析版〕】 目 录 【压轴考点01】尺规作图—作三角形 3 【压轴考点02】用SAS证明三角形全等(SAS) 4 【压轴考点03】全等的性质和SAS综合(SAS) 6 【压轴考点04】用ASA(AAS)证明三角形全等（ASA或者AAS) 7 【压轴考点05】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 10 【压轴考点06】用SSS间接证明三角形全等（SSS) 12 【压轴考点07】全等的性质和SSS综合(SSS) 14 【压轴考点08】用HL证全等(HL） 17 【压轴考点09】全等的性质和HL综合(HL) 21 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 23 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 25 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 27 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 30 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 33 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 36 【压轴考点16】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 40 【压轴考点17】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 45 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题） 50 【压轴考点19】全等三角形综合问题 54 【压轴考点01】尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，用直尺和圆规作，使． 【答案】如图，即为所求 【思路引导】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：的全等三角形的判定和性质）和作相等线段，利用的全等三角形的判定方法确定． 【对应练习】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【答案】即为所求， 【思路引导】先作，再分别截取线段，使得，，则即为所求． 【压轴考点02】用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【答案】 【思路引导】连接，，根据正方形的性质可得，，，结合利用同角的余角相等证得，进而证明，得到，设，则，利用三角形面积公式构建关于的代数式，根据完全平方公式变形求最大值． 【规范解答】解：连接，， 四边形是正方形，为中心， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ，且， ∴， 的最大值为．, 【对应练习】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， 即， 在和中， ； (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【规范解答】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又， ． 【压轴考点03】全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【答案】证明：在和中， ∵， ∴， ∴． 【思路引导】利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【规范解答】略 【对应练习】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点．求证： ． 【答案】证明：， ， ． 又， ． 在和中， ． 【思路引导】由两边同时加上推导出；由推导出；最后根据证明两个三角形全等即可． 【规范解答】见答案 【压轴考点04】用ASA(AAS)证明三角形全等（ASA或者AAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是线段上的点，．求证：．图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 图中还有其他的全等三角形，如、， 理由：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【思路引导】利用“”证明，再利用“”证明，“”证明即可． 【对应练习】（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【思路引导】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【规范解答】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 【压轴考点05】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，和全等吗？和相等吗？试说明理由． 【答案】 和全等，和相等，理由如下： 在和中， ， ， ． 【思路引导】根据题干中给出条件和公共角即可证明，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题． 【对应练习】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【答案】(1)解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； (2)解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3)5 【思路引导】（1）利用证明即可； （2）证明，即可得出结果； （3）作于点，由全等得到，由（1）可知，进而得到，根据线段的和差关系得到，即可得出结果. 【规范解答】 （3）解：作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【压轴考点06】用SSS间接证明三角形全等（SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是_____． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线的作图方法与作图原理，解题的关键是要理解作图过程得出，，． 连接、，由作图可证，则，而证明的条件就是作图的依据． 【规范解答】解：如图④所示：连接、 在与中，由作图可知： 故答案为：． 【对应练习】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 【答案】(1) 解：如图，即为所求： (2) 解：如图，点即为所求： (3) 解：如图，点即为所求： 【思路引导】本题考查了三角形的高，中线等分面积，全等三角形判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）取格点T，连接并延长与相交，交点即为点D，可根据证明，再根据全等三角形的对应角相等结合网格特征即可得到； （2）取的中点即为点E，根据三角形的中线等分面积即可说理； （3）可通过证明，则，再由即可说理． 【压轴考点07】全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）按如图所示的尺规作图的作法，证明． 【答案】证明：由作法可知，在与中， ∴， ∴． 即． 【思路引导】根据作法分别得到三对边分别相等，从而可证明两个三角形全等，再根据全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】略． 【对应练习】（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【思路引导】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【规范解答】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【压轴考点08】用HL证全等(HL） 【典例精讲】已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【答案】(1) (2)．证明如下： 如图，延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， (3) 【思路引导】（1）根据已知角度关系推出，结合、公共斜边，利用证明两个直角三角形全等，进而得到； （2） 采用截长补短作辅助线，构造全等三角形，先证，再证，通过线段等量代换，推导出； （3） 构造全等三角形，先证，再证，结合四边形内角和与角度转化，推导出与的数量关系． 【规范解答】（1）解：，， ， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略； （3）如图，延长到点，使得，连接， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题核心为截长补短构造全等的经典几何模型，通过两次全等完成线段、角度的转化，同时结合四边形内角和进行角度推导，需灵活运用模型变式解题． 【对应练习】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， 在和中， ， ； (2)3 【思路引导】（1）根据，得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得的长． 【规范解答】（1）略 （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【压轴考点09】全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【答案】3 【思路引导】设，先证明得到，，再证明得到，进而列方程求得x的值即可． 【规范解答】解：设, 是角平分线，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ∴， ∵，， ∴，解得 即． 【对应练习】．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【答案】 【思路引导】先证明，，求解，可得，可得，进一步求解即可． 【规范解答】解：，，， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【规范解答】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 【对应练习】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) (3)或或 【思路引导】本题考查作图—画轴对称图形，坐标与图形的变化—轴对称，轴对称的性质，全等三角形的判定，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点，关于y轴对称的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交轴于点P，则点P即为所求，再根据平面直角坐标系写出点P坐标即可； （3）根据全等三角形的判定可画出图形，再根据图形可直接写出符合条件的点D坐标． 【规范解答】（1）略 （2）解：如图，在（1）基础上，连接，交轴于点P，则点P即为使的距离最小的点． 由图可知； （3）解：如图：以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点D的坐标为：或或． 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：已知，且． 选项A中，根据可判定，不符合题意； 选项B中，根据可判定，不符合题意； 选项C中，此时为边边角（），不能判定，符合题意； 选项D中，根据可判定，不符合题意． 【对应练习】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ，， 理由如下；∵点和的运动速度是，运动的时间是， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)存在，，或，． 【思路引导】（1）判定，推出，，由直角三角形的性质得到，因此，求出，即可证明； （2）当，时，，求出，；当，时，，求出，，即可得到答案． 【规范解答】（1）略 （2）解：存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等， ∵， 当，时，， ∴，， ∴，； 当，时，， ∴，， ∴，． 综上，或，． 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】A 【规范解答】解：对于结论①：，，且两个三角形周长相等，即， ， ，故①正确； 对于结论②：已知条件为，，，属于两边及其中一边的对角对应相等（）的情况，不能判定三角形全等，可构造出满足条件但不全等的两个三角形，故②错误； 综上，①正确，②错误． 【对应练习】利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【答案】C 【思路引导】甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明；乙同学的钝角三角形要先延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点，证明，再证明，然后即可证明；丙同学的锐角三角形，先过点作交于点，过点作交于点，证明，因缺少条件无法证明，逐一判断即可． 【规范解答】选项A，甲同学的直角三角形可以根据“HL”证明，故选项A不符合题意； 选项B，乙同学的钝角三角形，如图，延长，过点作交的延长线于点，延长，过点作交的延长线于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故选项B不符合题意； 选项C，丙同学的锐角三角形，如图，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵缺少条件证明，故选项C符合题意； 选项D，综上各个选项，选项D不符合题意． 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【思路引导】本题考查了用圆规作图和全等三角形判定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法逐选项进行判断，即可求解； 【规范解答】解：由图示知，小海第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小华第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 选项D表述为“小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长”明显错误，符合题意， 故选：D． 【对应练习】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)直接写出的面积为________； (2)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 【答案】(1) (2) 解：如图，即为所作， 由图可知 (3) 解：如图，即为所作． 理由：取点，，，连接，，，，延长交于点F， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴即为的高线． 【思路引导】（1）利用长方形面积减去3个小三角形面积求解即可； （2）找出各顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，结合图形即可得出点E的坐标； （3）取点，，，连接，，，，延长交于点F，证明，即得出，再结合对顶角相等和余角的性质即可证明，即即为的高线． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）略 （3）略 【考点剖析】本题考查利用网格求三角形面积，作图—轴对称，作图—作三角形的高，三角形全等的判定和性质，余角的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【答案】(1) 如图，为所求． (2) 如图，为所求． (3) 【思路引导】本题考查作图，三角形的中线和高，三角形的面积，全等三角形的判定及性质． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）取格点M，N，连接，交于点E，则E为的中点，根据三角形的中线的定义画图即可； （3）由三角形中线的性质得到即可求解． 【规范解答】（1）略 （2）解：由图可得，，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴是中边上的中线，即为所求． （3）解：由图可得，， ∴， ∵是中线， ∴． 故答案为：． 【对应练习】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【规范解答】（1）略 （2）略 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到． 【规范解答】解：由图1可得平分， 则， 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴嘉嘉的作法正确； 由淇淇的尺规作图痕迹可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴淇淇的作法正确， 故选：A． 【对应练习】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【答案】(1)证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)不成立，， 理由：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即：． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握利用半角模型去截长补短是解题的关键． （1）延长至点，使，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明； （2）在上截取，构造，得出，，再利用，得出，证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【压轴考点16】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【思路引导】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【规范解答】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是 ； ②， ， ， ， ， ； 【对应练习】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】(1)B (2) (3) 【思路引导】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【压轴考点17】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【规范解答】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【考点剖析】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【对应练习】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6， 理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)12 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【规范解答】（1）解： ，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）略 （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1) 解：示意图如图所示．     (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【思路引导】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【规范解答】（1）略 （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【对应练习】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AF＝AD+BD 【思路引导】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【规范解答】解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）略 （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 【压轴考点19】全等三角形综合问题 【典例精讲】如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，线段的端点也在格点上．    (1)以为一边画，使得与全等； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】(1)如图（答案不唯一）    (2)如图 【思路引导】（1）利用网格画出即可； （2）根据旋转的方法找出对应点，然后顺次连接即可． 【对应练习】按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【思路引导】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 1．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【规范解答】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】C 【规范解答】解：由作图可知平分，， ，， ， ， ， ． 3．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【规范解答】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【思路引导】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由 求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【规范解答】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 【答案】 【思路引导】根据平移的性质，平移前后的两个图形全等，对应角相等．由题意可知平移后得到，且与是对应角． 【规范解答】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， 沿方向平移，使点与点重合，点平移至点， ， 平移前后对应角相等， ， ， ， ． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 【答案】 【思路引导】利用判定，从而得出对应边相等． 【规范解答】解：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 8．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【思路引导】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【规范解答】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 9．（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】 ①③④ 【思路引导】证明，得到，据此可判断①；证明，得到，据此可判断③④；过点作于点，证明，得到，可证明，推出，则可证明，再由，得到，据此可判断②． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 综上所述，正确的有①③④ ． 10．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【思路引导】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【规范解答】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 11．（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【思路引导】根据线段的和差关系得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据全等三角形的性质即可得出． 【规范解答】略 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴． 【思路引导】根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】略 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 【答案】证明：在和中， ， ∴， ∴． 【思路引导】利用“”证明，再利用全等三角形的性质证明出结论． 【规范解答】略 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由： ，， ， 又 ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【思路引导】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 15．（25-26七年级下·福建福州·期末）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 【答案】(1)①；②； (2) 【思路引导】（1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角的和差关系可得答案； ②过点作交延长线于，可证明，得到，根据三角形面积计算公式可得，求解即可； （2）过点作于，连接，利用证明，得到和，即可证明，得到，结合已知得到，，，以及，设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为，列方程求得和，即可求得三角形面积． 【规范解答】（1）解：①在中，； ∴； ∵； ∴； ②过点作交延长线于点，如图， ∴， 由①得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，负值舍去； （2）解：过点作于，连接，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴，， ∴， 设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为， ，解得， 则三角形面积． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二全等三角形的判定 【思维导图+十九大考点讲练+思维拓展训练共58题〔原卷版)】 目录 【压轴考向一全等三角形的判定方法(SSS、SAS、SAS、AAS、HL)】 【压轴考点01】尺规作图一作三角形★★★ .3 【压轴考点02】用SAS证明三角形全等(SAS)★★★ .3 二【压销考点O3】全等的性质和sAs综合SAs)★★女女 二【压轴考点OA】用ASAIAS)证明三角形全等(ASA或者AMS★女女 ..5 【压轴考点O5】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)★★★★ 6 二【压辅考点O6】用55间接证明三角形全等(5s★★★ 0.7 二【压销考点O7】全等的性质和s$5综合S5s★女★女 .7 【压轴考点08】用HL证全等HL)★★★.9 忐 【压轴考点09】全等的性质和HL综合H★★★★.10 【压轴考向二综合运用全等三角形的判定方法证明】 二【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图胸★女★ .10 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）★★★★ .12 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）★★★★…13 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）★★★…3 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题）★★★ ….15 二【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问慰）★女女★ .16 第1页共29页 【压轴考向三全等三角形的解题模型】 二【压轴考点161倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）★★★女 …17 怎【瓜轴考点1】重线根型（全等三角形的辅助线问慰）★女女★ ...19 二【乐拍考点18】其他模到全等三角形的辅助线问题)女女★ .21 s 【压轴考点19】全等三角形综合问题★★★★ .23 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 【专题复习思维导图指引】 边边边(SSS) 三边分别相等的两个三角形全等 △ABC和△ABC中 1咒装品挂货擦 6-0 全等三角形的性质 表合渍懒完市法5S5.5A5, AC=AC 若△ABC 则AABC≌△ABC(SSS) 全等三角形的 猫见、短连步维里有 边角边(SAS】 全等三角形的 BC=B'C.AC=A'C': 判定思路 两个架的角分别相等的 五个基本判定方法 ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C ,共顶点型两三角形有公共顶成，常连公共点构遗对称， 例：OA=OB,OC=OD,求证：△OAC世△OBD. 若在△ABC和△AB'C中 ∠A=∠A 则△ABC≌△ABC(SAS 挑战压轴题专鬆02 几何模型与辅助线 3.对顶角型利用对顶角相等构全等 角边角(ASA) 全等三角形的判定 常见类型 例：∠1=∠2，结合其他条件证全等 两和它们的爽边分别相等的 若在△ABC和△AB'C中， 24-28 全等三角形的常用结论 AB=A'B 则△ABC≌△A'BC(AS, 1.全等三角形对应边相等，对应角相等 倍长中线型延长中线构造全等 例：将AD延长到E,使DE=AD,常用于证明 2全等三角形的周长相等。面积相等。 角角边(AAS) 3全等三角形对应高。中线。角平分线 两角和其中 角的对边分别相等的 相等。 不能直接判定全等的情形 “三角分别相第”(AAA)不能定全第，只到相 若在△ABC和△ABC中， 4全等三角形对应的中点.重心.外心 睡心等特林点相关线段相等。 27 ·一边和两角分别相等”(SSA)不能判定全等。 ∠A=∠A 可能有0个，1个或2个满足条件的三角形. 3.“两边和一角分别相等(SSA)也不能判定全等。 群△ABC2△ABC(AAS] 4.。“三边分别相等”(SSS)可以判定全等。 (压轴题考点技巧 直角边分别相等的两个 1.条件挖属，善于发隐含条 2.员活添加辅助线 3构造全等，化复杂为简单 4,分类讨论，避免适 5.敬形结合，验证与理 将复致围形分制、折合或 过全等转化为已如模生 ,着AD△ABC的中线 可得AB、AC的关系 政角平分线等。 到Rt△ABC2Rt△A'B'C(HL) 模况1】 (情况2】 温馨提标 方法选择▣决 华习目标 。书写推理时，注意格式规范：已知、求证，证明过程要清谢 三边相等用SSS 已掌握五种基本判定方法(SSS、SAS、ASA.AAS、HL) 。欧题时先定性（选方法），再定置（找条件），最后得结论. 能根据已如条件选择合适方法证明三角形全等 。多画图、多观察。多总结，熟练掌握判定方法的灵活运用】 条件不全要添线 已会添加助线解决压轴，发展几何推理能力 第2页共29页 【压轴考向一全等三角形的判定方法(SSS、SAS、SAS、AAS、HL)】 【压轴考点01】尺规作图一作三角形★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·陕西安康·阶段检测)如图，用直尺和圆规作△ABC,使∠B=∠Q,∠C= ∠B,BC=m. 0 【对应练习】(25-26七年级下·山东青岛·期末)已知：如图，△ABC,点D在BC边上.请用直尺、圆 规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.求作：△FDE,使△FDE≌△ABC,并满足点E在BC的延长线上， FD II AB. 【压轴考点02】用SAS证明三角形全等SAS)★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·陕西西安·期中)如图，直角△FEG的直角顶点E与正方形ABCD的中心 重合，两直角边EF,EG分别交BC,DC于点M,N.若正方形ABCD的边长为6，则△CMN面积的最大值为 第3页共29页 【对应练习】(25-26八年级上·河南周口·期末)如图，点E在边CD上，BC与AE交于点F,AB=CB,BE= BD,∠1=∠2. A F E D (1)求证：△ABE≌△CBD: (2)若AE=8,CE=5,求ED的长. 【压轴考点03】全等的性质和SAS综合5AS)★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，有一池塘.要测池塘两端A、B间的距离，可先 在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到点D,使CD=CA.连接BC并延长到点E,使 CE=CB.连接DE,那么DE的长就是A、B间的距离，你知道其中的道理吗？ 己知：AD与BE相交于点C,CD=CA,CE=CB. 求证：DE=AB. E 第4页共29页 【对应练习】(25-26八年级上·福建莆田·阶段检测)如图，已知B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE, AB∥DE,BE=CF,AC与DE交于点G.求证：△ABC≌△DEF. A s 【压轴考点04】用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，点C、D是线段AB上的 点，AD=BC,AF=BE,CF=DE.求证：△ACF兰△BDE.图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由. D C B 【对应练习】(26-27八年级上·全国·课后作业)根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两 个三角形全等？ ① ② ③ ④ (1)如图①，线段AD与BC相交于点O,A0=D0,B0=C0.△AB0和△DC0. (2)如图②，AC=AD,BC=BD.△ABC和△ABD (3)如图③，线段AC与BD相交于点O,∠A=∠C,∠B=∠D.△ABO和△CD0, (4)如图④，∠CAB=∠DBA,∠1=∠2.△ABC和△BAD. 第5页共29页 【压轴考点05】全等的性质和ASA(AAS)综合ASA或者AAS)★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，∠A=∠B,CA=CB,△CAD和△CBE全等吗？CD 和CE相等吗？试说明理由. E D 【对应练习】(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)已知△ABC,∠B=90°，CD平分∠ACB交AB于点D B (1)如图1，过点D作DE1AC于点E,说明：△BCD兰△ECD: (2)如图2，在(1)的条件下，延长ED交CB的延长线于点F,说明：CF=AC; (3)如图3，点H为AC上一点，连接DH,AC+CH=10,AD=DH,求BC的长 第6页共29页 【压轴考点06】用SSS间接证明三角形全等(SSS)★★★ 【典例精讲】(24-25八年级上·山东济宁·阶段检测)角平分线的作法（尺规作图） ①以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A、OB于C、D两点： ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P: ③过点P作射线OP,射线OP即为所求. A B —B D—B D B 作角平分线的作法依据的是。 【对应练习】(24-25七年级下·江苏苏州·期中)如图，网格中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点 A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： 图1 图2 (1)在图1中作△ABC的高CD: (2)在图1中在BC上取点E,使△ABE与△ACE面积相等： (3)在图2中取格点F,使得△BFC≌△CAB(F不与A重合)， 【压轴考点07】全等的性质和SSS综合SsS)★★★★ 【典例精讲】(26-27八年级上全国课后作业)按如图所示的尺规作图的作法，证明∠A'0'B'=∠A0B. B C'A 第7页共29页 【对应练习】(25-26七年级下·广东清远·期末)综合探究 【初步探索】 B 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG= BE.再连接AG,先说明△ABE兰△ADG,再说明△AEF兰△AGF,可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且EF=BE+FD, 上述结论是否仍然成立？请说明理由， 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长 线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,若∠C=62°，求∠EAF的度数. 第8页共29页 【压轴考点08】用HL证全等(HL)★★★ 【典例精讲】已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AB=BC D D D B B 图1 图2 图3 【问题背景】 (1)如图1，连接BD,若∠BAD=90°，AD=6,求DC的长； 【类比探究】 (2)如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足∠PBQ=∠ABP+∠QBC,探究PQ,AP,CQ之间的数量 关系，并证明： 【拓展应用】 (3)如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，满足PQ=AP+CQ,请直接写出∠PBQ与∠ADC 的数量关系为 【对应练习】(25-26七年级下江苏苏州期末)如图，已知Rt△ABC兰Rt△DBE,其中∠C=∠DEB=90°， DE的延长线与AC相交于点F,连接BF, D (1)求证：△BCF兰△BEF: (2)若EF=1,DE=4,求AF的长. 第9页共29页 【压轴考点09】全等的性质和HL综合HL)★★★★ 【典例精讲】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D,过D作DE1BA于点E, 点F在AC上，且BD=DF.若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长 【对应练习】.(25-26七年级下·重庆期中)如图，在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE=90°，∠BAC= ∠EAD,AB=AE,线段ED的延长线交BC于点F,连接AP.若SAAEF=12,AC=4,CF= ,则线段BF的 长度为 E B 【压轴考向二综合运用全等三角形的判定方法证明】 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·浙江绍兴·期中)如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个 “蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠B0C=180°；②∠B0F=∠COE: ③∠BOC=∠AOB;④∠BOD=90°.正确结论的个数是( 第10页共29页 F B C A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【对应练习】(24-25八年级上·福建厦门·期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，△ABC的三个顶点的 坐标分别是A(2,3),B(1,0),C(1,2) 3 2 -5-4-3-2-101 1B2345x 2 3 4 (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1; (2)在y轴上有一动点P,使PA+PB的距离最小，直接写出P点的坐标. (3)如果要使以BCD为顶点的三角形与△ABC全等，直接写出所有符合条件的点D坐标. 第11页共29页 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下四川达州期末)如图，己知OA=OB,添加下列条件，不能使△A0C兰△B0D 的是( D B A.OC=OD B.∠OCA=ODB C.AC=BD D.∠A=∠B 【对应练习】(24-25八年级上·江西吉安·期中)如图，AB=8cm,AC=BD=6cm,∠CAB=∠DBA=a, 点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当P,Q 中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为ts连接CP,PQ. D B P 图1 图2 (1)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当a=90°，t=2时，写出PC与PQ的数量关系与位 置关系，并说明理由： (2)如图2，当a=60时，设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使以A,C,P为项点的三角形与以B, P,Q为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，请说明理由. 第12页共29页 品【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的剂刹定综合）★★★★ 【典例精讲】(25-26七年级下·河北邯郸·期末)在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在△A1B1C1 与△A2B2C2中：①若A1B1=A2B2,B1C1=B2C2,且它们的周长相等，则△A1B1C1兰△A2B2C2;②若∠B1= ∠B2,A1C1=A2C2,B1C1=B2C2,则△A1B1C1兰△A2B2C2对于上述的两个结论，下列说法正确的是 ( ) A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①，②都错误 D.①，②都正确 【对应练习】利用尺规作图作△A'B'C'兰△ABC,已知甲、乙、丙三位同学所参照的△ABC分别为直角 三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 A 参照三角形 B 作图步骤 第一步：作A'B'=AB;第二步：作∠A'B'C′=∠ABC:第三步：作A'C'=AC. 下列说法正确的是( ) A.甲同学所作△A'BC′与△ABC不一定全等 B.乙同学所作△A'B'C'与△ABC不一定全等 C.丙同学所作△A'B'C'与△ABC不一定全等 D.甲、乙、丙三位同学所作△A'B'C都与△ABC全等 二【压轴考点13】结合尺规作图的全等同题（全等三角形的判定综合）★女★ 【典例精讲】(25-26八年级上·上海·阶段检测)在课堂上，李老师发给每人一张印有t△ABC(如图) 的卡片，要求学生们画一个Rt△A'B'C′，使得Rt△A'B'C'兰Rt△ABC,小海和小华先画出了 ∠MB'N=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示.对这两种画法的描述中，错误的是( 第13页共29页 N O B B' -M B 第一步 第二步 第一步 第二步 小海 小华 A.小海作图判定Rt△ABC兰Rt△A'B'C'的依据是直角三角形全等的判定定理 B.小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 C.小华作图判定Rt△ABC兰Rt△A'B′C'的依据是SAS D.小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段AC的长 【对应练习】(24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶 点都在边长为1的小正方形的顶点上，A(-3,3),B(-4,-2),C(0,-1) (1)直接写出△ABC的面积为 (2)画出△ABC关于y轴的对称的△DEC(点D与点A对应，点E与点B对应)，点E的坐标为 (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出△ABC的高线AF(保留作图痕迹并写出理由)· 第14页共29页 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题）★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·江西宜春·阶段检测)如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1， 点A,B,C在小正方形的顶点上. A B (1)画出△ABC中边AB上的高CD: (2)画出△ABC中边AB上的中线CE: (3)△ACE的面积为 【对应练习】(24-25八年级上·重庆大足·期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，在Rt△ECD 中，∠ECD=90,BC=CD,∠BAC=∠DEC. 4 图1 图2 (1)求证：AB=DE: (②)连接AD,连接BE交AC于点F,若点F恰好是BE的中点，求证：AD=2CF. 第15页共29页 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）★★★★ 【典例精讲】课堂上老师给出问题：在△ABC中，∠C=90°，使用尺规在AB上作出点P,使 得AC+BP=AB.如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正 确的是( 嘉嘉 淇淇 图1 图2 A.嘉嘉，淇淇的作法都对 B.嘉嘉，淇淇的作法都不对 C.嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D.嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【对应练习】(24-25八年级上·山东威海·期末)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,点E,点F分别 在边BC,CD上，己知∠EAF=∠DAB,∠ABC+∠ADC=180°. A E B B C F 图1 图2 (1)求证：EF=BE+DF: (2)如图2，若点E,点F分别在边CB,DC的延长线上，其它条件不变，(1)中的结论还成立吗？若成立， 请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由， 第16页共29页 【压轴考向三全等三角形的解题模型】 【压轴考点16】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题）★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末)【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出 了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根 据小明的方法思考并解答： B D 图1 图2 图3 图4 (1)①由己知和作图能得到△ADC兰△EDB,依据是_； A.SSS B.SAS C.AAS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移 线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中， 【类比运用】 (2)如图3，E是BC中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE,求证：AB=CD; 【拓展运用】 (3)如图4，己知直线mIn,点A、D是直线m上两点，点B、C是直线n上两点，点P是线段CD中点，且AP1BP, 两平行线m、n间的距离为4.求证：PAPB=2AB. 第17页共29页 【对应练习】(25-26七年级下·山东枣庄·期末)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考： 图① 图② (1)由已知和作图能得到△ADC兰△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中. 【灵活运用】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF,若EF=6,EC=4,求线段BF的长 第18页共29页 【压轴考点17】垂线模型（全等三角形的辅助线问题）★★★★ 【典例精讲】(25-26八年级上·云南昭通·阶段检测)阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直， 所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形 B、 E D B AO 图1 图2 图3 (1)问题解决： 如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E, 则CD与BE的数量关系是 (2)问题探究： 如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点 E,AD=3cm,DE=1.8cm,求BE的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，A(-1,0),C(1,2.5),△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， AC=BC,求B点坐标. 第19页共29页 【对应练习】(25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测)如图，在直角坐标系xOy中，点A(0,6),点B为x 轴正半轴上一个动点，以AB为边作△ABC,使BC=AB,∠ABC=90°，且点C在第一象限内. E D 图1 图2 图3 (1)如图1，若B(2,0),求点C的坐标 (2)如图2，过点B向x轴上方作BD1OB,且BD=B0,在点B的运动过程中，探究点C,D之间的距离是否 为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由 (3)如图3，过点B向x轴下方作BD 1 OB,且BD=BO,连结CD交x轴于点E,当△ABD的面积是△BEC 的面积的3倍时，求OE的长. 第20页共29页 【压轴考点18】其他模型（全等三角形的辅助线问题）★★★ 【典例精讲】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一5G信号塔，他想 知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从A点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处： ②从D处左转90°向正南方向行走，到E处时停止行走.此时发现信号塔R树C与自己所处的位置E恰好 在一条直线上： ③从A到E小淇共走了140步 北 ·C A (1)根据题意，画出示意图： (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程. 第21页共29页 【对应练习】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC-∠ABD=90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上 的一点，且AC-AE,连接CE交直线AB于点G,过点A作AFLAD交直线CB于点F (I)求证：△AGE≌△AFC: (I)若AB-=AC,求证：AD=AF件BD: (II)如图2，若AB-AC,点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD,AF,BD的数 量关系. F A ED ED 图1 图2 第22页共29页 【压轴考点19】全等三角形综合问题★★★★ 【典例精讲】如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，线段DE 的端点也在格点上. D (1)以DE为一边画△DEF,使得△DEF与△ABC全等： (2)将△ABC绕点D顺时针旋转90°得到△A'B'C',画出△A'B'C′. 【对应练习】按要求解答问题： D B E 图① 图② 备用图 备用图 (1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点， 且∠EAF=∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系： -一一二； (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF= ∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程： 第23页共29页 (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且∠EAF= 号∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：一 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，要使△ABC兰△DCB,下面是四个同学补充的条件，其 中错误的是( B A.AB=CD B.AC=BD C.∠ABC=∠DCB D.∠ABD=∠ACD 2.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90,按以下步骤作图：①以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N,在分别以点M、N,为圆心，大于MN的长为半 径画弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点D②以点D为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点M1、N1 在分别以M1、N1为圆心，大于M1N1的长为半径作弧，两弧交于点Q,作射线DQ交AB于点E,若AC=5, AB=12,则BE的长为( B A.5 B.6.5 C.7 D.8 3.如图，BA=BE,BC=BD,再添加一个条件，使得△ABC兰△EBD,所添加的条件不正确的是( 第24页共29页 A.∠A=∠E B.∠ABD=∠EBC C.∠C=∠D=90 D.AC=DE 4.(25-26七年级下·福建泉州·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜 边BC上两点，且∠DAE=45°，过点A作AF1AD,垂足是A,过点C作CF1BC,垂足是C,交AF于点F,连 接EF,下列结论：①△ABD兰△ACF;②DE=EF;③若S△ADB=15,SAcF=6,则S△ABC=36;④BD+CE= DE,其中正确的是( D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 5.(25-26七年级下·山东青岛·期末)如图，在△ABC中，AD为中线，过B作BE1AD,垂足为E,过C 作CF L AD,垂足为F.在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD. G A B 给出下面四个结论： ①BE=CF; ②AG=2DE; ③∠ABD+∠FCD=∠FCG: ④S△ABD+S△CDF=S△GCP· 上述结论中，正确结论的序号有( 第25页共29页 A.③④ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 6.(26-27八年级上·全国·课后作业)如图，AD II BC,AD=BC,AE1BC,将△ABE沿AD方向平移，使 点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则△ABE兰一-，∠F=一一 D E 7.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，过点B作BE1AD, 交AD的延长线于点E,过点C作CF L AD交AD于点F,若BE=6,则CF的长为 B D 8.(25-26七年级下·甘肃张掖·期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为6，BD平 分∠ABC.若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 M 9.(26-27八年级上·吉林长春·开学考试)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC, BE⊥AD于点E,交AC的延长线于点F.给出下面四个结论：①AD=BF;②BE=CF;③BF=2BE:④AC+ CD=AB.上述结论中，正确结论的序号是 B 10.(25-26八年级上·福建莆田·阶段检测)如图，已知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米， CD=14厘米，∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点 运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE 与以C、PQ三点所构成的三角形全等， 第26页共29页 D E B C 11.(26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试)如图，AB1BD,AB‖CD,点B,F,E,D在一条直线上， 且BF=DE,AE=CF.求证：AB=CD D F E 12.(26-27八年级上·全国·课后作业)证明：全等三角形对应边上的高相等 已知：如图，△ABC≌△A'BC',AD、A'D'分别是△ABC的边BC和△A'B'C'的边B'C'上的高. 求证：AD=AD', 第27页共29页 13.(26-27八年级上全国课后作业)如图，∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC.求证：△ABC兰△DCB,AB= DC. D 14.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)求解下列各题： G 图1 图2 (1)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD上， 连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明：∠BAD=2∠EAF: (2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接AG,请 探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由 第28页共29页 15.(25-26七年级下·福建福州·期末)点A,B为坐标轴上两点，点C为坐标平面内一点，0A=OB,连 接AB,OC,AC,BC. y个 yA 0 A主 图1 图2D (1)如图1，点C在△0AB内，满足∠0CA=90°. ①若∠OAC=35°，求∠B0C的度数： ②若S△oBc=18,求0C的长： (2)如图2，OA=OB=4,C为OB中点，点P在线段OA上，连接BP并延长至点D,使得DP=BP,AC、BD 交于点M,连接AD,若AD1AC,求△MAB的面积. 第29页共29页 2026-2027学年苏科版数学八年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题二 全等三角形的判定 【思维导图+十九大考点讲练+思维拓展训练 共58题〔原卷版〕】 目 录 【压轴考点01】尺规作图—作三角形 3 【压轴考点02】用SAS证明三角形全等(SAS) 3 【压轴考点03】全等的性质和SAS综合(SAS) 4 【压轴考点04】用ASA(AAS)证明三角形全等（ASA或者AAS) 5 【压轴考点05】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 6 【压轴考点06】用SSS间接证明三角形全等（SSS) 7 【压轴考点07】全等的性质和SSS综合(SSS) 7 【压轴考点08】用HL证全等(HL） 9 【压轴考点09】全等的性质和HL综合(HL) 10 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 10 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 12 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 13 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 13 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 15 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 16 【压轴考点16】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 17 【压轴考点17】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 19 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题） 21 【压轴考点19】全等三角形综合问题 23 【压轴考点01】尺规作图—作三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，用直尺和圆规作，使． 【对应练习】（25-26七年级下·山东青岛·期末）已知：如图，，点在边上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．求作：，使，并满足点在的延长线上，． 【压轴考点02】用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，直角的直角顶点与正方形的中心重合，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为6，则面积的最大值为___________． 【对应练习】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【压轴考点03】全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，有一池塘．要测池塘两端间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到点D，使．连接并延长到点E，使．连接，那么的长就是间的距离．你知道其中的道理吗？ 已知：与相交于点． 求证：． 【对应练习】（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知，，，在同一条直线上，， ，，与交于点．求证： ． 【压轴考点04】用ASA(AAS)证明三角形全等（ASA或者AAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，点是线段上的点，．求证：．图中还有其他的全等三角形吗？说明你的理由． 【对应练习】（26-27八年级上·全国·课后作业）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【压轴考点05】全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，和全等吗？和相等吗？试说明理由． 【对应练习】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）已知，，平分交于点D (1)如图1，过点D作于点E，说明：； (2)如图2，在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，说明：； (3)如图3，点H为上一点，连接，，，求的长 【压轴考点06】用SSS间接证明三角形全等（SSS) 【典例精讲】（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）角平分线的作法（尺规作图） ①以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于、两点； ②分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③过点作射线，射线即为所求． 作角平分线的作法依据的是_____． 【对应练习】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在格点上，只用无刻度直尺，根据网格特征作图： (1)在图1中作的高； (2)在图1中在上取点E，使与面积相等； (3)在图2中取格点F，使得（F不与A重合）． 【压轴考点07】全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（26-27八年级上·全国·课后作业）按如图所示的尺规作图的作法，证明． 【对应练习】（25-26七年级下·广东清远·期末）综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【压轴考点08】用HL证全等(HL） 【典例精讲】已知在四边形中，，． 【问题背景】 (1)如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 (2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 (3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【对应练习】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，其中，的延长线与相交于点，连接． (1)求证：； (2)若， ，求的长． 【压轴考点09】全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】如图，在中，，是的平分线，交于点D，过D作于点E，点F在上，且．若，，求线段的长． 【对应练习】．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【压轴考点10】利用全等图形求正方形网格中角度之和（全等图形) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【对应练习】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．    (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)在y轴上有一动点P，使的距离最小，直接写出P点的坐标． (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标． 【压轴考点11】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合) 【典例精讲】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，已知，添加下列条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【对应练习】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，与此同时，点在线段上由点向点运动，当，中的一点到达终点时，两点都停止运动，它们的运动时间为连接，． (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当，时，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由； (2)如图2，当时，设点的运动速度为，是否存在实数，使以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形全等？若存在，求出相应的，的值；若不存在，请说明理由． 【压轴考点12】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在学习全等三角形时，小明发现有两个结论：在与中：①若，，且它们的周长相等，则；②若，，，则对于上述的两个结论，下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【对应练习】利用尺规作图作，已知甲、乙、丙三位同学所参照的分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同。 同学 甲 乙 丙 参照三角形          作图步骤 第一步：作；第二步：作；第三步：作． 下列说法正确的是（   ） A．甲同学所作与不一定全等 B．乙同学所作与不一定全等 C．丙同学所作与不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作都与全等 【压轴考点13】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在课堂上，李老师发给每人一张印有RtABC（如图）的卡片，要求学生们画一个，使得，小海和小华先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中，错误的是（    ） A．小海作图判定的依据是直角三角形全等的判定定理 B．小海第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小华作图判定的依据是 D．小华第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【对应练习】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． (1)直接写出的面积为________； (2)画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； (3)用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 【压轴考点14】连接两点构造全等三角形（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，，在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)的面积为___________． 【对应练习】（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【压轴考点15】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对 C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【对应练习】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【压轴考点16】倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【对应练习】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【压轴考点17】垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【对应练习】（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【压轴考点18】其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【典例精讲】如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【对应练习】如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【压轴考点19】全等三角形综合问题 【典例精讲】如图，在由小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，线段的端点也在格点上．    (1)以为一边画，使得与全等； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【对应练习】按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 1．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 3．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 5．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（     ） A．③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 6．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 7．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，为的中线，过点作，交的延长线于点，过点作交于点，若，则的长为________． 8．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 9．（26-27八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 10．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 11．（26-27八年级上·辽宁辽阳·开学考试）如图，，，点，，，在一条直线上，且，．求证：． 12．（26-27八年级上·全国·课后作业）证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，．求证：． 14．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 15．（25-26七年级下·福建福州·期末）点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． (1)如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； (2)如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $