第9讲 勾股定理 讲义 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册

第9讲 勾股定理 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 思维导图 课程目标 掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 了解勾股定理的多种证明方法（赵爽弦图、面积法、出入相补） 掌握勾股定理的逆定理，能判断三角形是否为直角三角形 理解勾股数的概念，能判断并构造勾股数 会运用勾股定理解决实际应用问题（最短路径、梯子、芦苇等） 知识梳理 🔹 1. 勾股定理 定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²＝c²。 变形：a²＝c²−b²，b²＝c²−a²，已知任意两边可求第三边。 几何意义：以直角三角形的三边为边作正方形，两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。 【概念辨析·典型例题】 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） 答案：5 解析：由勾股定理，斜边c满足c²＝3²+4²＝9+16＝25，所以c＝5。 🔹 2. 勾股定理的证明 赵爽弦图：以斜边c为边长作正方形，内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成。 面积法：大正方形面积＝4个直角三角形面积＋小正方形面积，即c²＝2ab+(b−a)²，化简得c²＝a²+b²。 “出入相补”原理：图形经过割补后面积不变，是证明勾股定理的经典思路。 【概念辨析·典型例题】 简述用赵爽弦图证明勾股定理的基本思路。 答案：c²＝2ab+(b−a)²＝a²+b² 解析：设直角三角形两直角边为a、b（a＞b），斜边为c。大正方形面积为c²，它由四个全等直角三角形（面积共2ab）和中间小正方形（边长为b−a，面积(b−a)²）组成，所以c²＝2ab+(b−a)²＝2ab+b²−2ab+a²＝a²+b²，勾股定理得证。 🔹 3. 勾股定理的逆定理 定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，c为斜边。 使用步骤：先找出最大边，再验证最大边的平方是否等于另外两边平方之和。 角的条件也可判定直角：两个角互余（∠A+∠B＝90°）则第三个角为直角。 【概念辨析·典型例题】 已知△ABC的三边长分别为a＝1.2cm，b＝1.6cm，c＝2cm，则最长边上的高为____cm。 答案：0.96 解析：因为1.2²+1.6²＝1.44+2.56＝4＝2²，由勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，c＝2为斜边。由面积法：最长边上的高h＝ab÷c＝1.2×1.6÷2＝0.96cm。 🔹 4. 勾股数 定义：满足a²+b²＝c²的三个正整数叫做一组勾股数。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；8,15,17；7,24,25。 性质：勾股数组同时乘以同一个正数，仍满足a²+b²＝c²（扩大后的三个数仍是勾股数）。 【概念辨析·典型例题】 写出以5为边长的两组勾股数。 答案：3，4，5；5，12，13 解析：勾股数是三个正整数。3²+4²＝9+16＝25＝5²，所以3、4、5是一组；5²+12²＝25+144＝169＝13²，所以5、12、13是另一组。 🔹 5. 勾股定理的应用 实际问题建模：从实际情境中抽象出直角三角形，再用勾股定理计算。 立体图形最短路径：把侧面展开成平面，转化为平面内两点间距离。 动点问题：用含t的代数式表示边长，由勾股定理列方程求解，注意分类讨论。 【概念辨析·典型例题】 如图，在高为5m、坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）m。 答案：17 解析：由勾股定理求楼梯的水平宽度：√(13²−5²)＝√(169−25)＝12m。铺地毯需覆盖所有台阶的水平面与垂直面，总长＝水平宽+垂直高＝12+5＝17m。 📋 知识总结表 核心概念 定义或公式 注意事项 勾股定理 a²+b²＝c²（直角三角形） 已知两边可求第三边，c为斜边 勾股定理证明 面积法：c²＝2ab+(b−a)²＝a²+b² 赵爽弦图、出入相补 逆定理 a²+b²＝c²→直角三角形 先找最大边再验证 勾股数 满足a²+b²＝c²的三个正整数 常见：3,4,5；5,12,13等 实际应用 构造直角三角形建模 注意单位统一与分类讨论 核心考点 【考点1】勾股定理（第1-5题） 已知两直角边求斜边：c＝√(a²+b²)；已知斜边和一直角边求另一直角边。 正方形面积问题：两直角边上的正方形面积和＝斜边上的正方形面积。 半圆、等边三角形类图形：面积关系同样满足“勾股”形式。 1．（2025秋•三明期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 2．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝22.5°，AD是△ABC的高，AE为BC边上的中线．若AD＝4，则边BC的长为（　　） A． B．8 C． D．16 3．（2025秋•英德市期末）已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 4．（2025秋•越城区期末）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 5．（2025秋•黄岩区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 【考点2】勾股定理的证明（第6-12题） 面积法：用两种方式表示同一个图形面积，列出等式。 赵爽弦图：大正方形＝小正方形+4个直角三角形，化简证a²+b²＝c²。 判断图形能否验证勾股定理：看能否用面积关系推出c²＝a²+b²。 6．（2025秋•淄博期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 7．（2025秋•长春期末）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　） A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2 8．（2026春•东川区期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 9．（2025春•洪山区期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝75，则EF的长是（　　） A． B．4 C．5 D． 10．（2025秋•浦东新区期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为_____________ ． 11．（2026•东莞市校级一模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的，如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG、四边形AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4，则GF＝ _____ ． 12．（2026春•息县月考）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 【考点3】勾股定理逆定理（第13-19题） 三边验证：最大边的平方＝另两边平方和，则构成直角三角形。 角条件：两角互余或比例符合内角和分配时判断直角。 与全等、面积综合：先证直角再用面积法求高。 13．（2025秋•辽中区期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：1： C．AB＝0.5cm，BC＝1.2cm，AC＝1.3cm D．∠A＝38°，∠C＝52° 14．（2026•苍南县二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 15．（2025秋•朝阳区校级期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 16．（2023秋•沈阳月考）如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝________ ． 17．已知△ABC的三边长分别为a＝1.2cm，b＝1.6cm，c＝2cm，则最长边上的高为 ___________ ． 18．（2025秋•石景山区期末）如图，在△ABD和△BCD中，∠ABD＝∠CBD，AB＝4，BC＝7，，AD＝3．求证：AD⊥AB． 19．（2026春•惠城区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【考点4】勾股数（第20-25题） 判断勾股数：验证两较小数平方和等于最大数平方，且都是正整数。 构造勾股数：记住常见组合，或对已知勾股数同乘整数倍。 含大数计算时注意运算准确，如2025²+2026²型。 20．（2026春•封开县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 21．（2026春•越秀区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C． D．4，5，6 22．（2025秋•新安县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（　　） A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形 C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 23．（2025秋•梅县区期末）下列各组数中，勾股数是（　　） A．13，14，15 B． C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 24．（2025秋•成都期末）若a，b，c是一组勾股数，且a＝20252+20262，b＝4050×2026，a＞c，则c＝_________ ． 25．写出以5为边长的两组勾股数 ____________________ ． 【考点5】勾股定理的应用（第26-30题） 实际问题：画出直角三角形，设未知数列方程。 楼梯地毯：总长＝水平宽+垂直高。 方位角问题：先用逆定理判断角度，再确定方向。 26．（2025秋•长清区期末）如图，公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝11km，CB＝16km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（　　）km． A．9.8 B．16 C．11 D．15.2 27．（2025秋•儋州期末）如图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝15分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为（　　） A．4分米 B．分米 C．分米 D．分米 28．（2026春•交城县期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 29．（2026春•东城区校级期中）2023年7月23日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合﹣2023”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60° 30．（2026春•道里区校级期中）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO下滑________ m． 创新及压轴题（第31-33题） 面积关系探究：以三边为边作正方形、半圆、等边三角形，均有S₁+S₂＝S₃。 建模思想：把实际问题抽象为直角三角形，再求解。 台风影响类问题：先由逆定理判直角，再计算受影响范围与时间。 31．（2026春•北京期中）阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有_____ 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系，并说明理由． 32．（2026春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为________________ ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为_______ km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 33．（2023秋•南海区期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 随堂检测 34．（2026•雁塔区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 35．（2025秋•双流区期末）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 36．（2026春•呼兰区期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数3的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝2（如图）．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 37．（2025秋•桃源县期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 38．（2023秋•竞秀区期中）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）根据题意，CD＝_____ m，BC＝_____ m，BF＝________ m； （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 _____ m． 课后巩固 ❤复习建议 ·熟记a²+b²＝c²及其变形，已知直角三角形任意两边即可求第三边。 ·使用勾股定理逆定理时先找最大边，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方。 ·勾股数必须是正整数，常见组合（3,4,5；5,12,13；8,15,17等）要熟练记忆。 ·实际问题关键在于构造直角三角形：立体图形展开、作垂线、建立模型。 ·注意分类讨论：第三边可能是直角边也可能是斜边，不确定时要分情况求解。 【作业 1】（2025秋•蓬莱区期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2026春•城东区校级期中）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．4 【作业 3】（2026秋•宝安区校级同步）一根长度为25cm的吸管放入底面直径为12cm，高为9cm的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【作业 4】（2025秋•临汾期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【作业 5】（2026春•四川校级期中）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿B→C→A方向运动，设运动时间为t秒，当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间是______________ s． 【作业 6】（2026春•徐闻县期中）有一个水油，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 _______ 尺． 【作业 7】（2025秋•祁阳市校级期末）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是_____ cm． 【作业 8】（2026•道里区模拟）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，则点A到BC的距离为____________________ ． 【作业 9】（2026春•德州月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，若点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，且时间为t． （1）当出发2秒时，求△PQB的周长． （2）运动过程中，直线PQ可否将△ABC的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 勾股定理 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 思维导图 课程目标 掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 了解勾股定理的多种证明方法（赵爽弦图、面积法、出入相补） 掌握勾股定理的逆定理，能判断三角形是否为直角三角形 理解勾股数的概念，能判断并构造勾股数 会运用勾股定理解决实际应用问题（最短路径、梯子、芦苇等） 知识梳理 🔹 1. 勾股定理 定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²＝c²。 变形：a²＝c²−b²，b²＝c²−a²，已知任意两边可求第三边。 几何意义：以直角三角形的三边为边作正方形，两直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积。 【概念辨析·典型例题】 已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） 答案：5 解析：由勾股定理，斜边c满足c²＝3²+4²＝9+16＝25，所以c＝5。 🔹 2. 勾股定理的证明 赵爽弦图：以斜边c为边长作正方形，内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成。 面积法：大正方形面积＝4个直角三角形面积＋小正方形面积，即c²＝2ab+(b−a)²，化简得c²＝a²+b²。 “出入相补”原理：图形经过割补后面积不变，是证明勾股定理的经典思路。 【概念辨析·典型例题】 简述用赵爽弦图证明勾股定理的基本思路。 答案：c²＝2ab+(b−a)²＝a²+b² 解析：设直角三角形两直角边为a、b（a＞b），斜边为c。大正方形面积为c²，它由四个全等直角三角形（面积共2ab）和中间小正方形（边长为b−a，面积(b−a)²）组成，所以c²＝2ab+(b−a)²＝2ab+b²−2ab+a²＝a²+b²，勾股定理得证。 🔹 3. 勾股定理的逆定理 定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形，c为斜边。 使用步骤：先找出最大边，再验证最大边的平方是否等于另外两边平方之和。 角的条件也可判定直角：两个角互余（∠A+∠B＝90°）则第三个角为直角。 【概念辨析·典型例题】 已知△ABC的三边长分别为a＝1.2cm，b＝1.6cm，c＝2cm，则最长边上的高为____cm。 答案：0.96 解析：因为1.2²+1.6²＝1.44+2.56＝4＝2²，由勾股定理逆定理知△ABC是直角三角形，c＝2为斜边。由面积法：最长边上的高h＝ab÷c＝1.2×1.6÷2＝0.96cm。 🔹 4. 勾股数 定义：满足a²+b²＝c²的三个正整数叫做一组勾股数。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；6,8,10；8,15,17；7,24,25。 性质：勾股数组同时乘以同一个正数，仍满足a²+b²＝c²（扩大后的三个数仍是勾股数）。 【概念辨析·典型例题】 写出以5为边长的两组勾股数。 答案：3，4，5；5，12，13 解析：勾股数是三个正整数。3²+4²＝9+16＝25＝5²，所以3、4、5是一组；5²+12²＝25+144＝169＝13²，所以5、12、13是另一组。 🔹 5. 勾股定理的应用 实际问题建模：从实际情境中抽象出直角三角形，再用勾股定理计算。 立体图形最短路径：把侧面展开成平面，转化为平面内两点间距离。 动点问题：用含t的代数式表示边长，由勾股定理列方程求解，注意分类讨论。 【概念辨析·典型例题】 如图，在高为5m、坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）m。 答案：17 解析：由勾股定理求楼梯的水平宽度：√(13²−5²)＝√(169−25)＝12m。铺地毯需覆盖所有台阶的水平面与垂直面，总长＝水平宽+垂直高＝12+5＝17m。 📋 知识总结表 核心概念 定义或公式 注意事项 勾股定理 a²+b²＝c²（直角三角形） 已知两边可求第三边，c为斜边 勾股定理证明 面积法：c²＝2ab+(b−a)²＝a²+b² 赵爽弦图、出入相补 逆定理 a²+b²＝c²→直角三角形 先找最大边再验证 勾股数 满足a²+b²＝c²的三个正整数 常见：3,4,5；5,12,13等 实际应用 构造直角三角形建模 注意单位统一与分类讨论 【考点1】勾股定理（第1-5题） 已知两直角边求斜边：c＝√(a²+b²)；已知斜边和一直角边求另一直角边。 正方形面积问题：两直角边上的正方形面积和＝斜边上的正方形面积。 半圆、等边三角形类图形：面积关系同样满足“勾股”形式。 1．（2025秋•三明期末）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（　　） A．25 B．49 C．81 D．100 【分析】由勾股定理即可求出答案． 【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 2．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝22.5°，AD是△ABC的高，AE为BC边上的中线．若AD＝4，则边BC的长为（　　） A． B．8 C． D．16 【分析】先由直角三角形斜边中线的性质得到，然后由等边对等角以及三角形的外角性质得到△ADE为等腰直角三角形，再由勾股定理求解AE即可． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AE为BC边上的中线， ∴， ∴∠C＝∠EAC＝22.5°， ∴∠AED＝∠C+∠EAC＝45°， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE为等腰直角三角形，AD＝DE＝4， ∴， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 3．（2025秋•英德市期末）已知一个直角三角形两直角边长分别为3和4，则它的斜边长为（　　） A．5 B．4 C．3 D． 【分析】由直角三角形两直角边长分别为3和4，由勾股定理即可得它的斜边长5． 【解答】解：由直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它的斜边长5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确应用勾股定理． 4．（2025秋•越城区期末）勾股定理被称为“几何学的基石”，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边长，分别向外作出正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”．如图，设大正方形Y的边长为定值y，四个小正方形MNPQ的边长分别为m，n，p，q，且三个直角三角形中∠1＝∠2＝∠3＝α，当α变化时，以下说法错误的是（　　） A．n＝p B．m+q＝y C．y＝mq D．m2+n2+p2+q2＝y2 【分析】连接BF，过点E作EC⊥BF于点C，先证△EBF和△EHI全等得BF＝HI＝y，∠4＝∠1，证△KAB和△ECB全等得AB＝EC＝n，AK＝BC＝m，证△FDT和△ECF全等得FD＝EC＝p，DT＝CF＝q，从而得AB＝EC＝FD，则n＝p，据此可对选项A进行判断；再由BF＝BC+CF＝m+q，BF＝HI＝y可对选项B进行判断；由于y＝m+q正确，显然y＝mq不正确，据此可对选项C进行判断；在Rt△BEC中由勾股定理得m2+n2＝BE2，在Rt△ECF中由勾股定理得p2+q2＝BF2，在Rt△BEF中，由勾股定理得BE2+BF2＝BF2＝y2，据此可对选项D进行判断． 【解答】解：连接BF，过点E作EC⊥BF于点C，如图所示： 依题意得：EB＝EH＝KB，EF＝EI＝FT，∠BEF＝∠HEI＝90°， ∠BAK＝90°，∠FDT＝90°， 在△EBF和△EHI中， ， ∴△EBF≌△EHI（SAS）， ∴BF＝HI＝y，∠4＝∠1， ∵∠1＝∠2＝∠3＝α， ∴∠4＝∠1＝∠2＝∠3＝α， ∵EC⊥BF于点C， ∴∠ECB＝∠ECF＝90°， ∴∠BAK＝∠ECB＝90°，∠ECF＝∠FDT＝90°， 在△KAB和△ECB中， ， ∴△KAB≌△ECB（AAS）， ∴AB＝EC＝n，AK＝BC＝m， ∵∠4+∠BEC＝90°，∠BEC+∠CEF＝90°， ∴∠4＝∠CEF， ∴∠3＝∠CEF， 在△FDT和△ECF中， ， ∴△FDT≌△ECF（AAS）， ∴FD＝EC＝p，DT＝CF＝q， ∴AB＝EC＝FD， 即n＝p， 故选项A正确， ∵BF＝BC+CF＝m+q， 又∵BF＝HI＝y， ∴y＝m+q， 故选项B正确； ∴y＝m+q正确，显然y＝mq不正确， 故选项C不正确： 在Rt△BEC中，BC＝AK＝m，EC＝n， 由勾股定理得：BC2+EC2＝BE2， 即m2+n2＝BE2， 在Rt△ECF中，EC＝FD＝p，CF＝q， 由勾股定理得：EC2+CF2＝BF2， 即p2+q2＝BF2， 在Rt△BEF中，BF＝y， 由勾股定理得：BE2+BF2＝BF2， 即m2+n2+p2+q2＝y2， 故选项D正确． 故选：C． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解决问题的关键，难点是根据题意正确地作出辅助线，构造全等三角形． 5．（2025秋•黄岩区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（　　） A．AB＝AC B．2AB＝AC C．2AB＝BC D．2AC＝BC 【分析】由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，再求出S1+S2＝S△ABCAB•AC，然后证明（AB﹣AC）2＝0，得出AB＝AC即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2， ∴S1+S2π（AB）2π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABCAB•AC， ∵4（S1+S2）＝S3， ∴4AB•AC＝BC2＝AB2+AC2， 即2AB•AC＝AB2+AC2， ∴（AB﹣AC）2＝0， ∴AB＝AC， 故选：A． 【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，求出S1+S2＝S△ABC是解题的关键． 【考点2】勾股定理的证明（第6-12题） 面积法：用两种方式表示同一个图形面积，列出等式。 赵爽弦图：大正方形＝小正方形+4个直角三角形，化简证a²+b²＝c²。 判断图形能否验证勾股定理：看能否用面积关系推出c²＝a²+b²。 6．（2025秋•淄博期末）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（　　） A． B． C． D．S1＝S2 【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【解答】解：由勾股定理可得a2+b2＝c2， 由题意，可得， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 7．（2025秋•长春期末）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明图解．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为3，中间小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（　　） A．a+b＝5 B．ab＝8 C．a2+b2＝12 D．a﹣b＝2 【分析】根据三角形的面积和正方形的面积即可得到结论． 【解答】解：由题意得，ab＝3，（b﹣a）2＝1， ∴ab＝6，a2+b2＝（b﹣a）2+2ab＝1+12＝13， ∵（b+a）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25， ∴b+a＝5（负值已舍）， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． 8．（2026春•东川区期中）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【解答】解：A、中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意； B、梯形的面积（a+b）（a+b）＝2abc2， ∴化简得，a2+b2＝c2，不符合题意； C、不能证明勾股定理，本选项符合题意； D、中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×ab， ∴化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了学生对定理的证明和对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用． 9．（2025春•洪山区期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝75，则EF的长是（　　） A． B．4 C．5 D． 【分析】利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解． 【解答】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，斜边长为c，则：c2＝a2+b2， 由题意，得：S1＝（a+b）2，S2＝c2，S3＝（a﹣b）2， ∴S1+S2+S3＝（a+b）2+c2+（a﹣b）2， ＝a2+2ab+b2+c2+a2﹣2ab+b2 ＝c2+c2+c2 ＝3c2＝75， ∴c2＝25， 即EF2＝25， ∴EF＝5， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，掌握勾股定理是解题的关键． 10．（2025秋•浦东新区期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记BF＝a，AF＝b，AB＝c．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形ABCD与六边形MNDEFB的面积相等，由此可得关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2 ． 【分析】六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为c， ∴ ∵六边形MNDEFB可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为2ab．中间小正方形的边长为b﹣a，面积为 （b﹣a）2． ∵正方形ABCD与六边形MNDEFB面积相等： ∴c2＝2ab+（b﹣a）2， ∴c2＝a2+b2． 所以关于a，b，c的等式为c2＝a2+b2． 故答案为：c2＝a2+b2． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题时注意数形结合思想的运用． 11．（2026•东莞市校级一模）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的，如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、四边形BEFG、四边形AHIG均为正方形．若S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4，则GF＝ 　4　 ． 【分析】先根据S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4得AG2＝20，AB2＝4，在Rt△ABG中，由勾股定理可求出GB＝4，据此可得GF的长． 【解答】解：∵S正方形AHIG＝20，S正方形ABCD＝4， ∴AG2＝20，AB2＝4， ∵四边形BEFG为正方形， ∴∠GBE＝90°，GF＝GB， ∴∠ABG＝180°﹣∠GBE＝90°， ∴△ABG是直角三角形， 由勾股定理得：GB4， ∴GF＝GB＝4． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解决问题的关键． 12．（2026春•息县月考）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设CA＝x千米，则AH＝（x﹣18）千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）AH为y米，在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果． 【解答】解：（1）∵， 又∵， ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）设CA为x米，则AH＝（x﹣18）米，AB＝AC＝x米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵在Rt△CHA中，CH＝24米，∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， 即x2＝242+（x﹣18）2， 解得：x＝25， ∴CA＝25（米）， ∴CA﹣CH＝25﹣24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米． （3）由题意设：AH为y米， 又∵AB＝21米，AC＝15米，BC＝18米， ∴HB＝AB﹣AH＝（21﹣y）米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，∠CHA＝90°， CH2＝AC2﹣AH2＝152﹣y2， 在Rt△CHB中，∠CHB＝90°， CH2＝CB2﹣HB2＝182﹣（21﹣y）2， ∴152﹣y2＝182﹣（21﹣y）2， 解得：， ∴若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，则AH的长度为米． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【考点3】勾股定理逆定理（第13-19题） 三边验证：最大边的平方＝另两边平方和，则构成直角三角形。 角条件：两角互余或比例符合内角和分配时判断直角。 与全等、面积综合：先证直角再用面积法求高。 13．（2025秋•辽中区期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝1：1： C．AB＝0.5cm，BC＝1.2cm，AC＝1.3cm D．∠A＝38°，∠C＝52° 【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理判断． 【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°， 则△ABC不是直角三角形，符合题意； B、设AB＝x，则BC＝x，ACx， ∵x2+x2＝（x）2， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、AB2+BC2＝0.52+1.22＝1.69，AC2＝1.32＝1.69， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A+∠C＝38°+52°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 14．（2026•苍南县二模）如图，点A，B，C，D，M，P，Q都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．若将点M分别与点A，B，C，D连接，则下列选项正确的是（　　） A．AM⊥PQ B．BM⊥PQ C．CM⊥PQ D．DM⊥PQ 【分析】根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM，进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【解答】解：由勾股定理可得，AM，CM＝PQ＝DM，BM＝3， 由图可知，DM∥PQ， 过P作PH∥MC， 在△PHQ中，PH＝PQ＝CM，QH， ∴PH2+PQ2＝HQ2， ∴PH⊥PQ， ∴CM⊥PQ， 故选：C． 【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出AM，CM，PQ，DM，BM解答． 15．（2025秋•朝阳区校级期末）△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．c2﹣a2＝b2 【分析】先根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误，再根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误即可． 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC为直角三角形， 故A不符合题意； B、设∠A＝3α，∠B＝4α，∠C＝5α， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3α+4α+5α＝180°， 解得：α＝15°， ∴∠C＝5α＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故B符合题意； C、∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴c2＝a2+b2， ∴△ABC为直角三角形， 故C不合题意； D、∵c2﹣a2＝b2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形， 故D不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（2023秋•沈阳月考）如图，△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AD为△ABC的角平分线，则CD＝　4.5　 ． 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠C＝90°，然后根据角平分线的性质可得DC＝DE，最后根据△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积，进行计算即可解答． 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AC2+BC2＝92+122＝225，AB2＝152＝225， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠C＝90°， ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE， ∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ADB的面积， ∴AC•BCAC•CDAB•DE， ∴AC•BC＝AC•CD+AB•DE， ∴9×12＝9CD+15DE， ∴CD＝DE＝4.5， 故答案为：4.5． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．已知△ABC的三边长分别为a＝1.2cm，b＝1.6cm，c＝2cm，则最长边上的高为 　0.96cm ． 【分析】设△ABC最长边上的高为h，由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，c为斜边，再由三角形面积求出h的长即可． 【解答】解：设△ABC最长边上的高为h， ∵1.22+1.62＝22， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，c为斜边， ∴S△ABCchab， ∴h0.96（cm）， 即最长边上的高为0.96cm， 故答案为：0.96cm． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形面积公式，根据勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形是解题的关键． 18．（2025秋•石景山区期末）如图，在△ABD和△BCD中，∠ABD＝∠CBD，AB＝4，BC＝7，，AD＝3．求证：AD⊥AB． 【分析】在BC上取一点E，使EB＝AB＝4，连接DE，则EC＝3，依据“SAS”判定△EBD和△ABD全等得ED＝AD＝3，∠DEB＝∠A，利用勾股定理的逆定理证明△EDC是直角三角形得∠DEC＝90°，进而得∠DEB＝∠A＝90°，据此即可得出结论． 【解答】证明：∵AB＝4，BC＝7， ∴在BC上取一点E，使EB＝AB＝4，连接DE，如图所示： ∴EC＝BC﹣BE＝3， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠ABD， 在△EBD和△ABD中， ， ∴△EBD≌△ABD（SAS）， ∴ED＝AD，∠DEB＝∠A， ∵AD＝3， ∴ED＝3， 在△EDC中，ED＝3，EC＝3，CD＝3√2， ∵ED2+EC2＝32+32＝18，CD218， ∴ED2+EC2＝CD2， 根据勾股定理的逆定理得：△EDC是直角三角形，即∠DEC＝90°， ∴∠DEB＝180°﹣∠DEC＝90°， ∴∠DEB＝∠A＝90°， ∴AD⊥AB． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握全等三角形是解决问题的关键． 19．（2026春•惠城区期中）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t秒． （1）证明：△ABC是直角三角形； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求t的值； （3）另有一动点Q，从点B开始，按顺时针方向走一圈回到点B，且速度为1cm/s．若P、Q两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，动点P从点B出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈，回到点B后停止，速度为2cm/s，则： ∵在△ABC中，AB2+BC2＝62+82＝36+64＝100，AC2＝102＝100， ∴AB2+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形； （2）①若点P在BC上，则BP＝2t，AB＝BP， ∴6＝2t，t＝3； ②若点P在AC上，则CP＝2t﹣8，AP＝AC﹣CP＝18﹣2t， （i）当AB＝AP时，6＝18﹣2t，t＝6； （ii）当AB＝BP时，作BD⊥AC于点D， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当t＝3或或t＝6时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形． （3）∵△ABC的周长为AB+BC+AC＝24cm，24÷2＝12． ①当0≤t≤4时，点P在BC上，点Q在AB上， 则BP＝2t，BQ＝t，BP+BQ＝3t， ∴3t＝12， 解得t＝4， 如图所示，此时点P刚好运动到点C； ②当4＜t≤6时，点P在AC上，点Q在AB上， 由①得，此时BQ+BC+CP＞12，不符合题意； ③当6＜t≤12时，点P、Q都在AC上，PQ＜AC＝10，10＜12，不符合题意； ④当9＜t≤12时，点P在AB上，点Q在AC上， 则AP＝2t﹣18，AQ＝t﹣6， AP+AQ＝3t﹣24， ∴3t﹣24＝12， 解得t＝12， 如图所示，此时点P刚好回到点B． 综上所述，当t为4或12时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，正确进行计算是解题关键． 【考点4】勾股数（第20-25题） 判断勾股数：验证两较小数平方和等于最大数平方，且都是正整数。 构造勾股数：记住常见组合，或对已知勾股数同乘整数倍。 含大数计算时注意运算准确，如2025²+2026²型。 20．（2026春•封开县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【分析】需依据勾股数的定义：若三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，则称这三个数为勾股数，通过计算各选项中两小边的平方和是否等于最大边的平方来判断即可． 【解答】解：根据勾股数定义逐项分析判断如下： A、22+32＝4+9＝13，42＝16，13≠16，不是勾股数， B、32+42＝9+16＝25，52＝25，25＝25，是勾股数， C、42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，不是勾股数， D、52+62＝25+36＝61，72＝49，61≠49，不是勾股数， 故选：B． 【点评】本题考查勾股数的判定，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2026春•越秀区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C． D．4，5，6 【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一判断即可． 【解答】解：根据勾股数的定义逐项分析判断如下： 选项A中，0.6，0.8不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项B，32+42＝9+16＝25＝52，且三个数均为正整数，是勾股数，符合题意． 选项C中，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项D，42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，不是勾股数，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查勾股数的定义，熟练掌握定义是解题关键． 22．（2025秋•新安县期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，有下列说法错误的是（　　） A．如果a：b：c＝7：24：25，则∠C＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC为直角三角形 C．如果a，b，c长分别为6，8，10，则a，b，c是一组勾股数 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，勾股数的定义进行分析判断即可． 【解答】解：A、∵a：b：c＝7：24：25， ∴设a＝7k，b＝24k，c＝25k， ∵a2+b2＝（7k）2+（24k）2＝625k2，c2＝（25k）2＝625k2， ∴a2+b2＝c2， ∴∠C＝90°， 故不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°×＝75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故符合题意； C、∵a，b，c长分别为6，8，10， ∴a2+b2＝c2，且a，b，c长都是正整数， ∴a，b，c是一组勾股数． 故不符合题意； D、∵∠A﹣∠B＝∠C①， ∠A+∠B+∠C＝180°②， 将①代入②得：2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理是解题的关键． 23．（2025秋•梅县区期末）下列各组数中，勾股数是（　　） A．13，14，15 B． C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵132+142＝169+196＝365，152＝225， ∴132+142≠152， ∴13，14，15三个数不是勾股数，不符合题意； B、∵不是正整数， ∴1，1，三个数不是勾股数，不符合题意； C、∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5三个数不是勾股数，不符合题意； D、∵82+152＝64+225＝289，172＝289， ∴82+152＝172， ∴8，15，17三个数是勾股数，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 24．（2025秋•成都期末）若a，b，c是一组勾股数，且a＝20252+20262，b＝4050×2026，a＞c，则c＝　4051　 ． 【分析】根据勾股数的概念计算即可． 【解答】解：∵a，b，c是一组勾股数，a＞c， ∴c ＝4051， 故答案为：4051． 【点评】本题考查的是勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 25．写出以5为边长的两组勾股数 　3，4，5或5，12，13（答案不唯一）　 ． 【分析】根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方解答即可． 【解答】解：以5为边长的两组勾股数为3，4，5或5，12，13， 故答案为：3，4，5或5，12，13（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了勾股数的定义，已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 【考点5】勾股定理的应用（第26-30题） 实际问题：画出直角三角形，设未知数列方程。 楼梯地毯：总长＝水平宽+垂直高。 方位角问题：先用逆定理判断角度，再确定方向。 26．（2025秋•长清区期末）如图，公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝11km，CB＝16km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（　　）km． A．9.8 B．16 C．11 D．15.2 【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【解答】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝112+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝162+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：112+x2＝162+（25﹣x）2， 解得：x＝15.2km． 所以AE的长为15.2km． 故选：D． 【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 27．（2025秋•儋州期末）如图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝15分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为（　　） A．4分米 B．分米 C．分米 D．分米 【分析】延长DC交直线l于点G，根据垂直定义可得：∠ABG＝∠EOG＝90°，从而可得：∠BOG＝90°﹣∠BOE＝30°，再利用直角三角形的两个锐角互余，∠CGF＝60°，然后在Rt△BOG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出CG的长，最后在Rt△CGF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，即可解答． 【解答】解：延长DC交直线l于点G，如图2， ∵AB⊥CD，OE⊥l， ∴∠ABG＝∠EOG＝90°， ∵∠BOE＝60°， ∴∠BOG＝90°﹣∠BOE＝30°， ∴∠CGF＝90°﹣∠BOG＝60°， 在Rt△BOG中，OB＝15分米， ∴BG＝BO•tan30°＝155（分米）， ∵BC＝4分米， ∴CG＝BG﹣BC＝（54）分米， 在Rt△CGF中，CF＝CG•sin60°＝（54）分米， ∴点C到水平线l的距离CF为分米， 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 28．（2026春•交城县期末）如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　） A．13m B．17m C．18m D．26m 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解答】解：∵高为5m，坡面长为13m的楼梯， 由勾股定理得：楼梯的水平宽度为：12（m）， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是12+5＝17（m）． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 29．（2026春•东城区校级期中）2023年7月23日，随着锚地防御演练顺利完成，“北部•联合﹣2023”演习圆满落幕．如图．演习中，两艘战舰从同一港口O同时出发，一号舰沿南偏西30°方向以12海里/小时的速度航行，二号舰以16海里/小时的速度航行，离开港口0.5小时后它们分别到达A，B两点，相距10海里，则二号舰航行的方向是（　　） A．南偏东30° B．北偏东30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【分析】由题意可知OA＝6，OB＝8，由勾股定理逆定理可知∠AOB＝90°，结合方位角即可确定出二号舰的航行方向． 【解答】解：如图： 由题意得：OB＝16×0.5＝8，OA＝12×0.5＝6， ∵AB＝10， ∴OA2+OB2＝62+82＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵∠AOC＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣30°＝60°， ∴二号舰航行的方向是南偏东60°， 故选：C． 【点评】本题考查了方位角、勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解本题的关键． 30．（2026春•道里区校级期中）如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m．如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端沿墙AO下滑　0.4　 m． 【分析】根据勾股定理，可得OA，OC，即可求解． 【解答】解：根据题意可得：AB＝CD＝2.5m，OB＝0.7m，BD＝0.8m，∠AOD＝90°， ∴OD＝OB+BD＝0.7+0.8＝1.5（m）， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：OA2.4（m）， 在直角三角形COD中，由勾股定理得：OC2（m）， ∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣2＝0.4（m）， ∴梯子顶端沿墙AO下滑0.4m， 故答案为：0.4． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 创新及压轴题（第31-33题） 面积关系探究：以三边为边作正方形、半圆、等边三角形，均有S₁+S₂＝S₃。 建模思想：把实际问题抽象为直角三角形，再求解。 台风影响类问题：先由逆定理判直角，再计算受影响范围与时间。 31．（2026春•北京期中）阅读下列材料，并按要求完成相应任务：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载． （1）如图①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有　3　 个． （2）如图④所示，分别以直角三角形的三边a，b，c为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系，并说明理由． 【分析】（1）如图①，，可得S1+S2＝S3；如图②，，故得S1+S2＝S3．如图③，如图，对于等边△GFH，若边长为a，过点H作HI⊥GF，垂足为I，可求得，．同理，，．可证得S1+S2＝S3； （2）如图④，，可证得S1+S2＝S3． 【解答】解：（1）以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形， 如图，， ∵a2+b2＝c2， ∴S1+S2＝S3． 如图，， ∵a2+b2＝c2， ∴． 如图，对于等边△GFH，若边长为a，过点H作HI⊥GF，垂足为I， Rt△GHI中，，， ∴． ∴． 同理有：，． ∵由勾股定理得a2+b2＝c2， ∴； 故图①②③中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个． 故答案为：3； （2）S1+S2＝S3，理由如下： 设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3， ， ． ∵a2+b2＝c2， ∴a2+b2﹣c2＝0， ∵， ∴S1+S2＝S3． 【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 32．（2026春•惠城区期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　18　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【分析】任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF，则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小，当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD，过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形，根据勾股定理即可得到结论． 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形，求得BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ，当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′，过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E．根据勾股定理即可得到结论； 任务三．根据题意弧长图形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小， 当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD， 过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH中，AD， ∴的最小值为， 故答案为：； 任务二．过点B作BD⊥河岸于点D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′， 过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′13（km）， 则从A到B的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q到B的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y， ∴x（负值舍去）． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 33．（2023秋•南海区期中）今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形；利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由： ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； 过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴300×400＝500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口， ∵ED（km）， ∴EF＝2ED＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 随堂检测 34．（2026•雁塔区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，，则DE的长为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】先由面积法求出BD，则BC＝2，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出AD，然后由勾股定理即可得出结果． 【解答】解：∵S△ABD，AE是边BC上的高，AE＝2， ∴BD×2， ∴BD， ∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2， ∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线， ∴ADBC2， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE1， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 35．（2025秋•双流区期末）如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S3+S1﹣S2＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，根据勾股定理得c2＝a2+b2，继而S3＝S1+S2，结合已知条件得S1＝6，然后根据S△ABNS1＝3即图中阴影部分的面积． 【解答】解：如图所示： 设BC＝a，AC＝b，AB＝c， ∴依题意得：S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， ∵S3+S1﹣S2＝12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：c2＝a2+b2， ∴S3＝S1+S2， ∴S1+S2+S1﹣S2＝12， ∴S1＝6， ∴S△ABNS1＝3， 即图中阴影部分的面积为3． 故选：A． 【点评】此题主要考查了勾股定理，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，正方形的性质是解决问题的关键． 36．（2026春•呼兰区期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数3的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝2（如图）．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（　　） A． B． C． D． 【分析】由勾股定理求出OB，则OP＝OB，即可得出结论． 【解答】解：如图， ∵AB⊥OA， ∴∠OAB＝90°， ∴OB， ∴OP＝OB， ∴点P所表示的数是， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理以及实数与数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 37．（2025秋•桃源县期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC＝12dm，AB+BC＝24dm． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了7dm，求此时物体C升高了多少dm？ 【分析】（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出AB的长，即可解决问题． 【解答】解：（1）设AB＝xdm，则BC＝（24﹣x）dm， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即122+（24﹣x）2＝x2， 解得：x＝15， ∴AB＝15dm， ∴AB+AC＝15+12＝27（dm）， 答：绳子的总长度为27dm； （2）如图2， 由（1）得：DE＝9dm， 由题意可知，BE＝7dm，AD＝12dm，AB+AC＝27dm， ∴BD＝BE+DE＝7+9＝16（dm）， 由勾股定理得：AB20（dm）， ∴AC＝AB+AC﹣AB＝27﹣20＝7（dm）， ∴CD＝AD﹣AC＝12﹣7＝5（dm）， 答：此时物体C升高了5dm． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 38．（2023秋•竞秀区期中）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）根据题意，CD＝　1　 m，BC＝　3　 m，BF＝　1.6　 m； （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度． （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　4　 m． 【分析】（1）由题意得BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE＝BF＝1.6m，则CD＝CE﹣DE＝1m； （2）设秋千的长度为x m，则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m，则CD＝CE﹣DE＝2m，得AC＝AD﹣CD＝3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可． 【解答】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m， ∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是矩形， ∴CE＝BF＝1.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m）， 故答案为：1，3，1.6； （2）∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， 设秋千的长度为xm， 则AB＝AD＝xm，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣1）2+32＝x2， 解得：x＝5（m）， 即秋千的长度是5m； （3）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m， ∵DE＝0.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m）， 由（2）可知，AD＝AB＝5m， ∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4（m）， 即需要将秋千AD往前推送4m， 故答案为：4． 【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键． 课后巩固 ❤复习建议 ·熟记a²+b²＝c²及其变形，已知直角三角形任意两边即可求第三边。 ·使用勾股定理逆定理时先找最大边，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方。 ·勾股数必须是正整数，常见组合（3,4,5；5,12,13；8,15,17等）要熟练记忆。 ·实际问题关键在于构造直角三角形：立体图形展开、作垂线、建立模型。 ·注意分类讨论：第三边可能是直角边也可能是斜边，不确定时要分情况求解。 【作业 1】（2025秋•蓬莱区期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算即可． 【解答】解：∵72＝49，152＝225，202＝400，242＝576，252＝625， ∴72+242＝252，152+202＝252， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 【作业 2】（2026春•城东区校级期中）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为（　　） A． B． C．或 D．4 【分析】先利用非负数的性质求出m，n的值，再分情况结合勾股定理计算第三边长，注意分类讨论避免漏解． 【解答】解：∵绝对值和算术平方根都是非负数，且满足， ∴|m﹣2|＝0，， 解得m＝2，n＝4， ①当n为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； ②当第三边长为直角三角形的斜边长时 由勾股定理得，第三边长为； 综上，第三边长为或． 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理，非负数的性质：算术平方根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2026秋•宝安区校级同步）一根长度为25cm的吸管放入底面直径为12cm，高为9cm的圆柱形水杯中，露在外面的最短长度为（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 【分析】为了使露在外面的长度最短，需使吸管在杯内的部分尽可能长．根据勾股定理求得杯子内吸管的最大长度，进而求得露在外面的最短长度． 【解答】解：∵圆柱形水杯底面直径12cm，高9cm， ∴杯子内吸管的最大长度为， ∴露在外面的最短长度为25﹣15＝10cm， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 4】（2025秋•临汾期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.8m，将它往前推3m至C处时（即水平距离CD＝3m），踏板离地的垂直高度CF＝2.6m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A．3.2m B．3.4m C．3.6m D．3.8m 【分析】设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm，故AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m．在直角△ADC中利用勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意可知，CF＝2.6m，BE＝0.8m， ∴BD＝1.8m． 设AC的长为xm，则AB＝AC＝xm， 所以AD＝AB﹣BD＝（x﹣1.8）m． 在直角△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x﹣1.8）2+32＝x2， 解得：x＝3.4， 即绳索AC的长是3.4米． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用，找到直角三角形并利用勾股定理构造方程是解题的关键． 【作业 5】（2026春•四川校级期中）如图，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点Q是△ABC边上的一个动点，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿B→C→A方向运动，设运动时间为t秒，当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间是　5.5或6或6.6　 s． 【分析】点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t； ②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t； ③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【解答】解：△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm， ∴AC10cm． 分三种情况： ①当CQ＝BQ时，如图1所示： 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°， ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝5， ∴BC+CQ＝11， ∴t＝11÷2＝5.5（秒）． ②当CQ＝BC时，如图2所示： 则BC+CQ＝12， ∴t＝12÷2＝6（秒）． ③当BC＝BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE4.8（cm）， ∴CE3.6（cm）， ∴CQ＝2CE＝7.2（cm）， ∴BC+CQ＝13.2（cm）， ∴t＝13.2÷2＝6.6（秒）． 由上可知，当运动时间为5.5或6或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形． 故答案为：5.5或6或6.6． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定，难度适中，注意分类讨论思想的应用． 【作业 6】（2026春•徐闻县期中）有一个水油，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 　12　 尺． 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答． 【解答】解：水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇高出水面1尺，如图， 则AB＝5尺， 设水深AC为x尺，则芦苇长BC为（x+1）尺， 由勾股定理得：52+x2＝（x+1）2， 解得：x＝12， ∴水的深度是12尺， 故答案为：12． 【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理解决实际问题是解答本题的关键． 【作业 7】（2025秋•祁阳市校级期末）如图，一个底面半径为8cm，高为15cm的圆柱形饮料罐，将一根长为20cm的吸管从顶面正中心的小圆孔，按如图所示紧贴底部侧面插入饮料罐，若罐壁厚度和顶部圆孔直径均忽略不计，则吸管露在饮料罐外部的长度是　3　 cm． 【分析】先根据勾股定理求解出吸管在饮料罐内部的长度，再根据吸管的总长度求解即可． 【解答】解：∵AO＝8cm，BO＝15cm，∠BOA＝90°， ∴吸管在饮料罐内部的长度为：， ∵吸管的总长度为20cm， ∴吸管露在饮料罐外部的长度为20﹣17＝3（cm）， 故答案为：3． 【点评】本题考查了勾股定理解三角形，解决本题的关键是先求解出吸管在饮料罐内部的长度． 【作业 8】（2026•道里区模拟）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，则点A到BC的距离为　或6　 ． 【分析】分两种情况讨论：当AC为直角边时和当AC为斜边时． 【解答】解：（Ⅰ）当AC为直角边时，过点A作BC的垂线，交BC于点D，线段AD的长度即为点A到BC的距离． ． 因为， 所以． （Ⅱ）当AC为斜边时，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，线段AB的长度即为点A到BC的距离，即点A到BC的距离为6． 综上所述，点A到BC的距离为或6． 故答案为：或6． 【点评】本题主要考查勾股定理和点到直线的距离，正确进行计算是解题关键． 【作业 9】（2026春•德州月考）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，若点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，且时间为t． （1）当出发2秒时，求△PQB的周长． （2）运动过程中，直线PQ可否将△ABC的周长分成相等的两部分，若可以，请求出运动时间，若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP和BQ，再求出BP，用勾股定理求得PQ即可； （2）由勾股定理求出AC，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论 【解答】解：（1）由题意得：当t＝2秒时，AP＝1×2＝2，BQ＝2×2＝4， 又∵AB＝8，∠B＝90°， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣2＝6cm． 在Rt△PQB中，由勾股定理得： cm． ∴cm， 所以△PQB的周长为（10+2）cm； （2）∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：cm， ∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝6+8+10＝24cm， ∴当0≤t≤3时，P在AB上，Q在BC上， ∴BQ＝2t，AP＝t， ∴BP＝AB﹣AP＝8﹣t， 由题意得：． ∴2t+8﹣t＝12， 整理得，t＝12﹣8， 解得t＝4． 不符合0≤t≤3，故舍去． 当3＜t≤8时，P在AB上，Q在AC上， ∴AQ＝BC+AC﹣2t＝16﹣2t，AP＝t， 由题意得：， ∴16﹣2t+t＝12， 整理得，t＝16﹣12， 解得t＝4． ∴综上所述，当t＝4时，直线PQ将△ABC的周长分成相等的两部分． 【点评】本题考查了勾股定理，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $