湖北省武汉外国语学校2026-2027学年高二上学期期中模拟数学卷

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （测试内容：概率、空间向量、直线和圆、椭圆） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 【分析】先根据条件求出a＝5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论． 【解答】解：设所求距离为d，由题得：a＝5． 根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于2a得：2a＝3+d⇒d＝2a﹣3＝7． 故选：D． 【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口． 2．直线l：x﹣y+1＝0关于x轴对称的直线方程为（　　） A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y+1＝0 C．x+y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0 【分析】直线l：x﹣y+1＝0即y＝x+1关于x轴对称的直线方程为的斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣1，即可得出． 【解答】解：直线l：x﹣y+1＝0即y＝x+1关于x轴对称的直线方程为的斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣1， ∴要求的直线方程为：y＝﹣x﹣1，即x+y+1＝0． 故选：C． 【点评】本题考查了直线的对称性、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（　　） A．13 B．12 C．9 D．6 【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可． 【解答】解：F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|＝6， 所以|MF1|•|MF2|9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，取等号， 所以|MF1|•|MF2|的最大值为9． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题． 4．过点P（1，1）作直线l，若直线l与连接A（2，3），B（3，﹣1）两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为（　　） A．[﹣1，2] B． C． D． 【分析】结合直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系可求． 【解答】解：直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 根据直线的倾斜角与斜率关系可知，直线l的斜率的取值范围为[﹣1，2]． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题． 5．若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞） 【分析】求解圆的圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得到r的范围． 【解答】解：圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）的圆心（0，﹣2），半径为r， 圆心到直线yx+2的距离d2， 圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个， 可得d﹣1＜r＜d+1，即r∈（1，3）． 故选：B． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 6．若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】将直线化成斜截式，可得直线经过点（0，﹣2），将曲线方程化简整理，得该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围． 【解答】解：直线kx﹣y﹣2＝0化成y＝kx﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2） 而曲线，可变形整理为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（x≥1） ∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分 设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k1，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k2． 可得当直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1＜k≤k2． 由点（1，1）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d，解得k1 而k22，由此可得k≤2 故选：A． 【点评】本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 7．如图所示，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD，BC＝2AB＝2CD＝2，点P为棱AC的中点，E，F分别为直线DP，AB上的动点，则线段EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题可得线段EF的最小值即为直线DP，AB之间的距离，由空间中两直线之间的距离求法求解即可． 【解答】解：因为AB⊥平面BCD，∠BCD， 所以以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为z轴，过B且平行于CD的直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为BC＝2AB＝2CD＝2，点P为棱AC的中点， 所以C（2，0，0），A（0，0，1），D（2，1，0），P（1，0，）， 所以，，， 设与DP，AB均垂直的向量， 则，所以， 令y＝1，则x＝﹣1，z＝0，所以， 所以直线DP，AB之间的距离为， 所以线段EF的最小值为． 故选：B． 【点评】本题考查求空间中两点间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．已知圆C：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）在椭圆的内部，直线l：y＝kx+2m交E于A、B两点，并与圆C相切于D点，若D为线段AB的中点，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意利用点差法可得等量关系，利用圆的切线、锐角正切函数的定义以及直线关系，可得斜率，代入等量关系，结合离心率的公式，可得答案． 【解答】解：由题意，记直线l交y轴于点P，连接OD，CD，CP，如下图： 设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）， 则2x0＝x1+x2，2y0＝y1+y2． 又，所以， 所以，即． 由图易知PO，PD与圆C分别相切于O，D，则∠POC＝∠PDC＝90°， 由CP⊥OD，则∠DOC+∠POD＝∠OPC+∠POD，即∠DOC＝∠OPC， 由直线l：y＝kx+2m与圆C：（x﹣m）2+y2＝m，则P（0，2m），C（m，0）， 在Rt△POC中，则， 由OC＝CD，则∠COD＝∠CDO，可得∠BCD＝∠COD+∠CDO＝2∠COD， 所以直线CD的斜率， 因为CD⊥AB，所以直线AB的斜率，即． 又直线OD的斜率为，所以，所以， 所以e． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立 【分析】采用列举法，结合古典概型概率公式可知AB正确；根据互斥事件和独立事件的定义可知CD正误． 【解答】解：对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}， 其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况， ∴，，A正确，B正确； ∵事件A与事件B可以同时发生， ∴事件A与事件B不互斥，C错误； ∵事件A的发生不影响事件B的发生， ∴事件A与事件B相互独立，D正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了互斥事件和独立事件的定义，属于基础题． （多选）10．以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3） B．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线 C．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6＝0 D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线x+y+20上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为 【分析】对A，将点（0，3）代入直线方程中检验即可求解； 对B，判断两圆的位置关系即可求解； 对C，将两圆方程对减即可求解； 对D，根据点到直线的距离公式，切线长公式，函数思想即可求解． 【解答】解；对A选项，∵点（0，3）满足直线方程mx+4y﹣12＝0， ∴直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3），∴A选项正确； 对B选项，∵两圆方程可化为： C1：（x+1）2+y2＝1，C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝16， ∴C1（﹣1，0），r1＝1，C2（2，4），r2＝4， ∴|C1C2|5＝r1+r2， ∴两圆外切，∴两圆恰有三条公切线，∴B选项正确； 对C选项，将两圆方程对减可得公共弦所在的直线方程为： 2x﹣4y+12＝0，即x﹣2y+6＝0，∴C选项错误； 对D选项，∵C（0，0）到直线x+y+20的距离d， ∴|PC|≥d，又圆的半径r， ∴切线长|PA|2，∴D选项错误． 故选：AB． 【点评】本题考查直线过定点问题，两圆的公切线问题，两圆的公共弦问题，圆的切线长问题，函数思想，属中档题． （多选）11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（　　） A．当B1P∥平面A1BD时，B1P可能垂直CD1 B．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当λ＝μ时，的最小值为 D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为[，] 【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算判断A、D； 连接C1P，则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角，根据锐角三角函数得到P的轨迹，即可判断B； 将平面CD1D与平面BCD1A1沿CD1展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C； 【解答】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz， 则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），A1（0，0，1），C1（1，1，1），D1（0，1，1）， 所以（﹣1，0，1），（﹣λ，1，μ﹣1）， 则（﹣1，0，1），（﹣1，1，0），设平面A1BD的一个法向量为（x，y，z）， 所以， 令x＝1，则y＝z＝1，即平面A1BD的一个法向量为（1，1，1）， 若B1P∥平面A1BD，则•0， 即λ＝μ，则当时，•λ+μ﹣1＝0，即P为CD1中点时， 有B1P∥平面A1BD，且B1P⊥CD1，故A正确； B选项：因为B1C1⊥平面CC1D1D，连接C1P，则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角， 若B1P与平面CC1D1D所成角为， 则tan∠B1PC11，所以C1P＝B1C1＝1， 即点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确； C选项：如图，将平面CD1D与平面BCD1A1沿CD1展成平面图形， 线段A1D即为||+||的最小值， 利用余弦定理可知A1D2＝A1D12+DD12﹣2A1D1•DD1•cos2， 所以A1D，故C错误； D选项：正方体经过点A1、P、C的截面为平行四边形A1PCH， 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz， 则A（0，0，0），C（1，1，0），A1（0，0，1），P（0，1，t）， 所以（1，0，﹣t），（1，1，﹣1），1+t，||，||， 所以点P到直线A1C的距离为d， 于是当t时，△PA1C的面积取最小值，此时截面面积为； 当t＝0时或1时，△PA1C的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了用向量法解立体几何问题，也考查了学生的空间想象能力，难点在于作出每一选项所对应的图形，属于难题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若方程表示椭圆，则实数a的取值范围是　（1，5）∪（5，9）　 ． 【分析】根据方程表示椭圆，列出关于a的不等式组，可解得a的取值范围． 【解答】解：由已知得，解得1＜a＜5或5＜a＜9，故实数a的取值范围为（1，5）∪（5，9）． 故答案为：（1，5）∪（5，9）． 【点评】本题主要考查由方程表示椭圆求参数取值范围，属于基础题． 13．在鳖臑（四个面均为直角三角形的三棱锥）S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC⊥BC，SA＝AC＝BC＝1，D，E分别是AB，SC的中点，则异面直线CD与BE所成角的余弦值为　　 ． 【分析】把三棱锥S﹣ABC放置在一个棱长为1的正方体中，以O为原点，求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解． 【解答】解：由题意三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC⊥BC，SA＝AC＝BC＝1，D，E分别是AB，SC的中点， 把三棱锥S﹣ABC放置在一个棱长为1的正方体中，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，可得， 则， 设异面直线CD与BE所成角为θ，则， 所以异面直线CD与BE所成角的余弦值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了异面直线所成角的求法，是中档题． 14．给正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点涂色，规则：从顶点A开始涂色，之后每选取一个未涂色顶点且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色．若涂色3次，则第3次恰好涂在A1点的概率为　　 ． 【分析】按照分步乘法计数原理即可得到结果 【解答】解：给正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点涂色， 从顶点A开始涂色， 之后每选取一个未涂色顶点且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色，涂色3次， 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 从顶点A开始涂色，第一次涂色后，与A不在同一条棱上的顶点有C，C1，B1，D1，共4种选择， 第二次涂色时，需选择一个与第一次所涂顶点不在同一条棱上的顶点． 假设第二次涂C，则第三次可选A1，B1，D1，共3种， 假设第二次涂C1，则第三次可选A1，B，D，共3种， 假设第二次涂B1，则第三次可选D1，C，D，共3种， 假设第二次涂D1，则第三次可选B1，B，C，共3种， ∴总的路径为12种，其中第3次恰好涂在A1点的有2种， ∴第3次恰好涂在A1点的概率为P． 故答案为：． 【点评】本题考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 【分析】（1）设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”，由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，根据互斥事件概率加法公式计算即可； （2）设事件Ai，Bi，∁i，Di表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，i＝1，2．则“两次射击得分之和为8分”为事件（B1B2）∪（A1C2）∪（A2C1），且事件B1B2，A1C2，A2C1互斥，然后分别求出对应的概率，根据互斥事件概率加法公式计算即可． 【解答】解：（1）每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级， 各等级依次奖励6分、4分、2分、0分，评定为等级A，B，C的概率分别是，，， 设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”． 由题意得，事件A，B，C，D两两互斥， ∴． ∴． ∴其得分低于4分的概率为； （2）设事件Ai，Bi，∁i，Di表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，i＝1，2． 则“两次射击得分之和为8分”为事件（B1B2）∪（A1C2）∪（A2C1）， 且事件B1B2，A1C2，A2C1互斥， ，， ∴两次射击得分之和为8分的概率为： ． 【点评】本题考查相互独立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．（15分）已知△ABC的顶点A（4，2），边AB上的中线CD所在直线方程为7x+2y﹣5＝0，边AC上的高线BE所在直线方程为x+y﹣4＝0． （1）求边BC所在直线的方程； （2）求△BCD的面积． 【分析】（1）利用AC⊥BE，求出直线AC的方程，联立CD所在直线方程，解出C（1，﹣1），设B（x0，y0），利用中点坐标公式求解出，又因为B（x0，y0）在直线BE上，D在CD上，求解出B（﹣6，10），从而得到BC所在直线的方程． （2）利用点到直线的距离公式求解D（﹣1，6）到直线BC的距离，再用两点间的距离求解出|BC|，从而求出△BCD的面积． 【解答】解：△ABC的顶点A（4，2），边AB上的中线CD所在直线方程为7x+2y﹣5＝0，边AC上的高线BE所在直线方程为x+y﹣4＝0， （1）因为AC⊥BE，所以设直线AC的方程为：x﹣y+m＝0， 将A（4，2）代入得m＝﹣2，所以直线AC的方程为：x﹣y﹣2＝0， 联立AC，CD所在直线方程：，解得C（1，﹣1）， 设B（x0，y0），因为D为AB的中点，所以， 因为B（x0，y0）在直线BE上，D在CD上， 所以x0+y0﹣4＝0，， 解得x0＝﹣6，y0＝10，所以B（﹣6，10），， 所以BC所在直线的方程为：，即11x+7y﹣4＝0． （2）由（1）知点D（﹣1，6）到直线BC的距离为：， 又，所以． 【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于中档题． 17．（15分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0． （1）求证：直线l与圆C恒有两个交点； （2）设直线l与圆C交于AB两点，当k为何值时，三角形ABC的面积有最大值，并求出该最大值． 【分析】（1）先证明直线l过定点，再说明定点在圆内即可； （2）设圆心C到直线l的距离为d，注意到，又，可以求出△ABC面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由斜率关系可以求出参数k，由此即可得解． 【解答】证明：（1）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0， 因为直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0，可得（2x+y﹣7）k+x+y﹣4＝0， 所以，解得， 所以直线l过定点P（3，1）， 将点P（3，1）代入圆C方程可得（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25， 所以点P（3，1）在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点； 解：（2）设直线l与圆C交于AB两点， 设圆心C（1，2）到直线l的距离为d， 则， ∴， 因为，所以当d2＝5时，三角形ABC的面积最大，最大值为10， 此时CP⊥l，且，则kl＝2，即，解得， 所以当时，三角形ABC的面积最大，最大值为10． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 18．（17分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝4，BC＝2，AC⊥BC，PA＝PB＝PC，M，E，F分别是AB，PA，PB的中点． （1）求证：PM⊥平面ABC； （2）若四面体BCEF的体积为1，求|PM|； （3）在（2）的条件下，若，求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值． 【分析】（1）证明PM⊥MC，PM⊥AB可证线面垂直； （2）由已知四面体体积求得P﹣ABC体积，再由体积公式可得PM； （3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【解答】解：（1）证明：∵PA＝PB＝PC．AB的中点为M，则PM⊥AB． ∵CA⊥CB． ∴AM＝CM，则△PAM≌△PCM， ∴∠PMA＝∠PMC＝90°，即PM⊥MC． ∵PM⊥AB，AB∩MC＝M，AB⊂平面ABC，MC⊂平面ABC， ∴PM⊥平面ABC． （2）∵，∴VP﹣ABC＝4． ∵， ∴， 解得PM＝3． ∴若四面体BCEF的体积为1，则|PM|＝3； （3）过C作z轴垂直平面ABC，以CA，CB方向分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系， 则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，2，0），P（2，1，3），， ∴D（2λ，λ，3λ），， ， 设平面PBC法向量为， 由，得， 取x＝3，得， 设AD与平面PBC所成角为α， 则sinα ， ， ∴， ∴直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值为． 【点评】本题考查线面垂直的判定与性质、等体积法、线面角的正弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（17分）已知椭圆，短轴长为，且经过点．过左焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，MN分别为AB，DE的中点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）证明：直线MN过定点，并求定点坐标； （3）设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值． 【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程； （2）设直线lAB：x＝my﹣1，联立椭圆并应用韦达定理求AB中点M坐标，利用垂直关系确定N坐标，进而写出直线lMN的方程，即得定点； （3）由，结合（2）及弦长公式求|AB|，|DE|关于m的表达式，最后应用基本不等式求面积的最值． 【解答】解：（1）因为椭圆C的短轴长为，且经过点， 所以， 解得， 则椭圆C的标准方程为； （2）证明：易知直线l斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为x＝my﹣1， 联立，消去x并整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0， 由韦达定理得， 此时， 因为点M为线段AB的中点， 所以， 因为lDE⊥lAB， 同理得， 所以， 所以， 整理得， 此时直线MN过定点， 当m＝1时，取，， 则直线MN过定点； 当m＝﹣1时，取，， 则直线MN过定点， 综上，直线MN过定点； （3）因为点M，N分别为AB，DE的中点， 此时 ， 由（2）知， 同理得， 所以， 当且仅当3m2+4＝4m2+3，即m＝±1时，等号成立． 则△GMN面积的最小值为． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （测试内容：概率、空间向量、直线和圆、椭圆） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知椭圆上一点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（　　） A．2 B．5 C．6 D．7 2．直线l：x﹣y+1＝0关于x轴对称的直线方程为（　　） A．x+y﹣1＝0 B．x﹣y+1＝0 C．x+y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0 3．已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（　　） A．13 B．12 C．9 D．6 4．过点P（1，1）作直线l，若直线l与连接A（2，3），B（3，﹣1）两点的线段总有交点，则直线l的斜率的取值范围为（　　） A．[﹣1，2] B． C． D． 5．若圆x2+（y+2）2＝r2（r＞0）上到直线yx+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞） 6．若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，∠BCD，BC＝2AB＝2CD＝2，点P为棱AC的中点，E，F分别为直线DP，AB上的动点，则线段EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．已知圆C：（x﹣m）2+y2＝m2（m＞0）在椭圆的内部，直线l：y＝kx+2m交E于A、B两点，并与圆C相切于D点，若D为线段AB的中点，则椭圆E的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．事件A与B互斥 D．事件A与B相互独立 10．以下四个命题表述正确的是（　　） A．直线mx+4y﹣12＝0（m∈R）恒过定点（0，3） B．圆C1：x2+y2+2x＝0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣8y+4＝0恰有三条公切线 C．两圆x2+y2+4x﹣4y＝0与x2+y2+2x﹣12＝0的公共弦所在的直线方程为x+2y+6＝0 D．已知圆C：x2+y2＝2，P为直线x+y+20上一动点，过点P向圆C引条切线PA，其中A为切点，则PA的最小值为 11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，点P满足，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的是（　　） A．当B1P∥平面A1BD时，B1P可能垂直CD1 B．若B1P与平面CC1D1D所成角为，则点P的轨迹长度为 C．当λ＝μ时，的最小值为 D．当λ＝1时，正方体经过点A1、P、C的截面面积的取值范围为[，] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若方程表示椭圆，则实数a的取值范围是　 　 ． 13．在鳖臑（四个面均为直角三角形的三棱锥）S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AC⊥BC，SA＝AC＝BC＝1，D，E分别是AB，SC的中点，则异面直线CD与BE所成角的余弦值为　 　 ． 14．给正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点涂色，规则：从顶点A开始涂色，之后每选取一个未涂色顶点且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色．若涂色3次，则第3次恰好涂在A1点的概率为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，． （1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率； （2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率． 16．（15分）已知△ABC的顶点A（4，2），边AB上的中线CD所在直线方程为7x+2y﹣5＝0，边AC上的高线BE所在直线方程为x+y﹣4＝0． （1）求边BC所在直线的方程； （2）求△BCD的面积． 17．（15分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0． （1）求证：直线l与圆C恒有两个交点； （2）设直线l与圆C交于AB两点，当k为何值时，三角形ABC的面积有最大值，并求出该最大值． 18．（17分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝4，BC＝2，AC⊥BC，PA＝PB＝PC，M，E，F分别是AB，PA，PB的中点． （1）求证：PM⊥平面ABC； （2）若四面体BCEF的体积为1，求|PM|； （3）在（2）的条件下，若，求直线AD与平面PBC所成角的正弦值的最大值． 19．（17分）已知椭圆，短轴长为，且经过点．过左焦点F的直线l交C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，MN分别为AB，DE的中点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）证明：直线MN过定点，并求定点坐标； （3）设G为直线AE与直线BD的交点，求△GMN面积的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $