精品解析：湖北省武汉市部分重点中学2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷

武汉市部分重点中学2025-2026学年度上学期期中联考 高二数学 命题单位：湖北省武昌实验中学 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市武钢三中 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2025年11月11日下午14：00-16：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（ ） A. 0或6 B. 或7 C. 6 D. 7 5. 已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，点在圆：上.若椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，且的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆：与圆：有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 11. 在长方体中，，，为中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时， D. 的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为______. 13. 已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______. 14. 已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上高所在的直线方程； （2）若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 16. 已知圆C过点和，且圆心Cy轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 17. 已知椭圆：长半轴长等于焦距，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形面积的取值范围. 18. 如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 19. 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于点，且点在第一象限，直线与直线交于点，过点且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求直线的斜率； （ⅱ）轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市部分重点中学2025-2026学年度上学期期中联考 高二数学 命题单位：湖北省武昌实验中学 审题单位：圆创教育研究中心 武汉市武钢三中 本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟. 考试时间：2025年11月11日下午14：00-16：00 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角关系，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率， 由题意可得，解得. 故选：C. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可 【详解】，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求出点，结合空间中的两点间的距离公式求解即可. 【详解】点P与点A关于平面对称，则，所以； 故选：A 4. 已知直线过定点，点到直线的距离的最大值为5，则实数（ ） A. 0或6 B. 或7 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据定点到动直线的距离最大值列式求解即可. 【详解】设定点，则点到直线的距离的最大值为， 解得或6. 故选：A 5. 已知椭圆左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解. 【详解】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，已知点，，，且动点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的轨迹图形，然后利用圆心到的距离求解即可. 【详解】设动点的坐标为 因为，故, 即，化简得：， 故点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 故， 且故. 故选：D 7. 已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由有，即曲线表示以为圆心，半径为的半圆，设与直线平行的直线为，由直线上的点到直线的距离为，解出，作出图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由有，所以曲线表示以为圆心，半径为的半圆. 又直线，圆心到直线上的距离为：， 所以设与直线平行的直线为，使得直线到直线的距离为， 所以，解得，所以， 由圆心到直线的距离为： ，所以直线与曲线相交， 圆心到直线的距离为： ， 所以直线与曲线相交， 作出图象： 由图可知，曲线上有个点到直线的距离为， 故选：C. 8. 已知椭圆：的右焦点为，点在椭圆上，点在圆：上.若椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，且的最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的值，利用椭圆的定义结合三点共线可求得的值，利用椭圆的定义结合圆的几何性质，利用点共线的条件即可求解. 【详解】由于椭圆的长轴长恰与圆的直径长相等，所以，即， 设椭圆的左焦点，由椭圆的定义可知， 所以， 所以，解得或5， 因为，所以，故,, ，当且仅当共线，且在之间时取等号， 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆：与圆：有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由给定条件可得两圆相交，进而求出的范围即可. 【详解】圆：的圆心，半径；圆：的圆心，半径， 则，由圆与圆有且仅有两条公共切线，得圆与圆相交， 因此，选项中符合题意. 故选：ABC 10. 已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为1 B. 为定值 C. 直线和的斜率的乘积为 D. 当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断D，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解C即可. 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A错误； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于D，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故D错误； 对于C，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故C正确． 故选：BC． 11. 在长方体中，，，为的中点.动点P满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 点P一定在平面内 B. 当时，点P轨迹的长为 C. 当，，三点共线时， D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用及共面向量基本定理即可判断；对B，取的中点，即可得出，计算长度即可；对C，由向量共线的性质得解；对D，利用基底表示，运算得解. 【详解】对于A，由， 所以， 所以共面，即故点在平面内，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则，又， 所以，则四边形为平行四边形， 当时，，， 可知此时点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，由及三点共线，故，故C错误； 对于D，由题为一组基底，所以， 所以 ， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 与直线垂直，且在y轴上的截距为2的直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线垂直的斜率关系，及直线的斜截式方程即可求解. 【详解】设该直线方程为， 直线与垂直，则， 直线在y轴上的截距为2，则， 所以该直线方程为. 故答案为：. 13. 已知正方体的棱长为，点是棱上的动点，则的面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量法求出的夹角，再利用三角形面积公式求解. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，， 设， 所以 所以， 设直线与的夹角为， 则，所以 所以 所以当时，的面积的最小值为， 故答案为： 14. 已知从椭圆：外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为，且称该直线为点P关于椭圆C的极线.如图，两个椭圆，的方程分别为：和：，离心率分别为，.设椭圆在椭圆内，且椭圆上任意一点关于椭圆的极线为.若坐标原点到直线的距离为定值1，则的最大值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用设动点，可得极线方程，即可求原点到极线的距离，通过距离为定值1，得到相等关系，再通过动点在椭圆上得相等关系，由于这两个等式恒成立，则可得系数关系，最后转化到离心率上求最值即可. 【详解】设椭圆，则． 设椭圆，，则． 设，由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以． 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则，， 当时，取得最大值， 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求边上的高所在的直线方程； （2）若直线l过点C，且对直线l上异于点C的任意一点P都满足和的面积相等，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式以及垂直关系，结合点斜式即可求解方程， （2）根据面积相等，可得直线与平行或过的中点，即可求解直线方程. 【小问1详解】 设边上的高为， ∵直线与垂直，又直线的斜率， ∴的斜率. 又∵直线过点， ∴的方程为，整理成一般方程为. 【小问2详解】 ∵对直线上异于点的任意一点都满足，则，两点到直线的距离相等， ∴直线与平行或过的中点. ①当直线与平行时，的斜率与的斜率相等且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为； ②当直线过中点时，直线的斜率且过点， 则直线的方程为，整理成一般方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 已知圆C过点和，且圆心C在y轴上. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l过点，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程为，将和代入求解即可;（2）讨论直线斜率存在与否，当直线斜率存在时，设：，根据圆的弦长公式求得直线方程. 【小问1详解】 ∵圆的圆心在轴上，不妨设圆的标准方程为， 代入点，，得, 解得,即圆的标准方程为. 【小问2详解】 ∵直线被圆截得的弦长为，且圆的半径为4， ∴圆心到直线的距离为. ①当直线斜率不存在，即直线为时，满足； ②当直线斜率存在时，设：， 则由，解得，即直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 17. 已知椭圆：的长半轴长等于焦距，且过点. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，过椭圆C的右焦点F作一条直线与椭圆交于M，N两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可求解； （2）不妨设直线：，，，联立方程由韦达定理可得：，化简四边形的面积，结合不等式即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的长半轴长等于焦距，且过点， 得,又，解得， 则椭圆的方程为； 【小问2详解】 当直线与轴重合时，四边形显然不存在. 不妨设直线，，， 将直线方程与椭圆联立，得， 显然恒成立，则，且，异号. 则四边形的面积， 令，四边形的面积可化为. ∵函数在上单调递增，则， ∴四边形的面积的取值范围为. 18. 如图1，在梯形中，，，，点E是上的点，且.现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面； （2）设的中点为M，的中点为N. （ⅰ）经过C，M，N三点的平面交于点F，求； （ⅱ）在平面内取一点Q，使得直线平面，求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）（ⅰ）6；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作于点，连接，利用边长关系以及勾股定理可得， 从而可得平面，即可证明平面平面； （2）过点作的平行线交于点，易得. 以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （ⅰ）设，即，分别表示出各点坐标，利用四点共面得，从而求出即可求解； （ⅱ）利用得到，利用线面垂直的空间向量关系即可求解. 【小问1详解】 在平面内过点作于点，连接. 在梯形中，由，，， 易得，则，，即. 在中，由余弦定理，得 . ∵，且， ∴，又，得平面. ∵平面∴平面平面. 【小问2详解】 过点作的平行线交于点，易得. 以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. 由已知，得 ，，，， 则的中点，的中点. （ⅰ）设，即，由，得， 则. ∵，，，四点共面，∴，即 ， 得，解得，即. （ⅱ）设， 则，. ∵直线平面，得，解得. 则， ∴. 19. 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于点，且点在第一象限，直线与直线交于点，过点且平行于的直线与直线交于点. （ⅰ）若，求直线的斜率； （ⅱ）轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）（ⅰ）由可得，代入椭圆方程则可得，从而可得点坐标，再利用两点间斜率公式计算即可得；（ⅱ）可猜想，使得平分，设，则可计算出点坐标，再分斜率存在与否，得到，最后利用相似三角形的性质可得点符合要求，即可得. 小问1详解】 由题意，得，解得，则， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）由，且，，三点共线，则， 则，解得，又，则， 由，则直线，即， 令，则，故，又，则直线； （ⅱ）设直线与轴的交点为，由（ⅰ）猜想平分， 由直线不与轴重合，可设，， 联立，消去得， 则，即， 将直线的方程与直线联立，则，则， ①当斜率不存在时，由（ⅰ）得； ②当斜率存在时，，则， 又，故； 由，得，则， 设点关于直线的对称点为，则，则， 由，则， 又，故，则， 故轴上存在定点，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $