精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2027届高三上学期第一次月考数学试题

望城区第二中学2027届高三年级第一次月考 数学 时间：120分钟 总分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出集合，利用补集的定义可得集合. 【详解】因为全集，，故. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念，复数的除法公式和共轭复数得概念，计算求解. 【详解】由得， 则，虚部为. 故选：C. 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，解得， 于是． 4. 将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 【答案】A 【解析】 【详解】先确定甲、乙所在的工作站，共有2种，确定甲、乙所在的工作站后，该工作站已经有2人， 另一个工作站至少有2人，需要从另外3人中选出至少2人到另一个工作站，不同的分配方案数为种， （注意：若另一个工作站只有2人，余下的1人就跟甲乙一组，若另一个工作站只有3人，则甲乙一组）， 所以不同的分配方案共有种. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 6. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，再由，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，即， 则. 7. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 8. 设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出方程，根据，求出的运动轨迹为为圆心，为半径的圆，进而得到圆外点到圆上点距离的最大值，最小值得到答案. 【详解】 因为直线与x轴交于点A，所以， 因为为上一点，所以， 设，， 则，得直线的方程为，故 同理得的方程为，， 故直线的方程为， 因为为中点，所以， 所以方程为，即， 联立， 消得， 所以为为圆心，为半径的圆， 其中点到圆心的距离为， 所以，， 所以的取值范围是， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令直接求解，对于B，当时，，然后与已知的式子相减可求出，对于C，利用进行判断，对于D，利用错位相减法求解即可 【详解】当时，，∴，∴A正确； 当时，， ∴， ∴，∵上式对也成立，∴（），∴B错误； ∵， ∴数列为递减数列，∴C正确； ∵，∴，两式相减得， ∴， ∴．∴D正确． 故选：ACD． 10. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线夹在直线和直线之间 C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D. 曲线上任意两点距离都不超过 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图形，找到9个整点，A正确；B选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图象，得到B正确；C选项，在A选项的基础上，求出和表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，求出所围成的区域面积，得到C正确；D选项，分别就的正负进行分类讨论，画出的图形，数形结合，连接两圆心并延长，求出，D错误. 【详解】A选项，，，有， ，，有， ，时，有， ，时，， 画出图形，如下： 经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确； B选项，曲线， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 其中，， 故，则， 故曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为， 是夹在直线和直线之间，又因为，，故B正确. C选项，由A选项知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，故其面积为， 同理，曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，其面积为， 所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，C错误； D选项，当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 连接两圆心并延长，分别与两圆交于， 则，D错误. 故选：AB 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 联立，得， 易知，则， 又，， 所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又 ， ， 所以， 则，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线， 则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以， 所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得， 易知，则， 所以 ， 综上，，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则； 综上，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为__________. 【答案】240 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令的指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项． 【详解】因为的展开式中，通项公式为， 令，可得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：240. 13. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程得到的取值，结合双曲线的关系推导离心率公式后代入计算即可. 【详解】焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，由题意得. 根据双曲线的基本性质，，离心率， 因此：  ， 将代入得： . 14. 已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】以为圆心，以为半径作圆，过作圆的切线，分别与圆切于点，，连结，，延长与圆交于点，设点，满足，由，则点在的延长线上，若要存在使得，所以的延长线与圆有交点，从而得出点点的轨迹图形，从而可求解. 【详解】以为圆心，以为半径作圆， 过作圆的切线，分别与圆切于点，， 连结，，延长与圆交于点， 存在点以及实数，设点，满足， ，即 由，可知点在的延长线上， 若要存在使得，相当于的延长线与圆有交点， 故只能在图中阴影部分，所以点的轨迹面积， 因为与圆相切于点，所以， 由勾股定理可知，， 所以，同理， 因为，所以， 所以， 综上所述，的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查轨迹问题，圆的几何性质和平面向量的共线的结论的应用，解答本题的关键是设点，满足，由，可知点在的延长线上，由条件得出相当于的延长线与圆有交点，从而得出点点的轨迹图形，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，点在上，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为，，平面，， 所以平面，而平面，则， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定得到面，最后结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面内过点作交于点， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意得，，， ， 则，，，，， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，其中，代入等式，可解出，然后再利用余弦定理求解即可； （2）由余弦定理结合角的取值范围可得出角的值，再结合以及辅助角公式可得出，再利用正弦定理可求得的值. 【小问1详解】 设，，其中． 代入条件，得，即， 解得（舍去）． 由余弦定理得． 【小问2详解】 由，得，且，所以． 由，得， 即，所以． 由正弦定理得，所以． 17. 某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100 名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为 80，乙校学生选择正确的人数为 75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. （1）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的概率及 X 的数学期望. （2）教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能选择正确. ① 求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值； ② 已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率. 【答案】（1）的概率为， X 的数学期望为 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）首先确定甲乙学校学生答对的概率及的可能取值，再应用乘法公式、互斥事件的加法求的概率，进而求对应的期望； （2）①由全概率公式列方程求，②由贝叶斯公式、条件概率的求法求概率. 【小问1详解】 由题意，甲校学生答对的概率为，答错的概率为， 乙校学生答对的概率为，答错的概率为， 设为这2名学生中答对的人数，则的可能取值为， ， 又甲乙学生答对均满足分布，则. 【小问2详解】 ① 设甲校学生掌握该知识点的概率为​，则未掌握的概率为， 若掌握，则答对概率为；若未掌握，则从四个选项中随机盲猜，答对的概率为， 根据全概率公式，甲校学生的实际答对概率为，可得， 所以，即，解得， ② 由题设，求在“答对”的条件下，是“靠盲猜”的概率，即， 由. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的差为2，点，，都在上，为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设直线与的另一个交点为，点P在线段上运动，过点作斜率为的直线与相交于，两点.若直线的斜率为3，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用已知的离心率和长、短轴的关系，建立方程求解，进而得到椭圆方程. （2）设出点得坐标，通过向量的坐标表示得到点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，结合点在椭圆上的条件，通过代数运算推导出直线与的斜率之积即可. （3）先求出直线的方程，设出直线的方程，求出它们的交点的坐标；将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系；再根据点在线段上的条件，对进行变形，结合点的限制条件，即可求出其最大值. 【小问1详解】 由已知， ，则，即，得，所以， 又，解得，所以的方程为. 【小问2详解】 设点，，因为，则点. 因为点在上，则，即. 因为，点，也在上，则，，从而， 得，即，所以. 【小问3详解】 根据已知作图如下，由题意，直线的方程为，设直线的方程为， 联立两方程解得，，，所以点. 将代入，得，即. 设点，，则， 不妨再设，因为点在线段上运动，所以， 所以 . 因为点在轴左侧，则.当时，直线过的左顶点， 直线的方程为，联立，解得，，即点， 该点在椭圆内，且在线段上.所以当时，取最大值. 19. 已知函数． （1）求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在实数，使得在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性，求解极值. （2）对求导，令 ，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性. （3）由题意可得，恒成立，分类讨论的符号，结合恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 由，求导得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为． 【小问2详解】 ． 令 ， 当，即时，恒成立，即，所以在上单调递减． 当，即时，方程有两个不等实根，， 显然，当时，单调递增， 当或时，单调递减． 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减． 【小问3详解】 由题意，当时，恒成立， 即恒成立． 当时，，不等式等价于． 令 ，则已知转化为：存在实数，使得对任意恒成立． 若，当时， ， 当时， ，则，此时不存在满足条件的实数． 若 ， 令，，所以在上单调递减， 所以当时，，所以， 所以，只要即有，符合条件． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 望城区第二中学2027届高三年级第一次月考 数学 时间：120分钟 总分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知均为单位向量，且满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 将含甲、乙在内的5名工程师分配至两间不同的工作站工作．若工程师甲、乙必须安排在同一工作站，且每间工作站至少分配2人，则不同的分配方案共有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 12种 D. 14种 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设直线与x轴交于点A，圆，过l上一点P作圆O的两条切线，，C，D为切点，中点为M，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 的值为2 B. 数列的通项公式为 C. 数列为递减数列 D. 10. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线夹在直线和直线之间 C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D. 曲线上任意两点距离都不超过 11. 已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中常数项为__________. 13. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 则该双曲线的离心率为________. 14. 已知为平面内一定点且，平面内的动点满足：存在实数，使，若点的轨迹为平面图形，则的面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱锥中，点在上，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）若，求； （2）若，求． 17. 某次联考中，有一道四选一的单项选择题考查了某个核心知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各 100 名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为 80，乙校学生选择正确的人数为 75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. （1）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的概率及 X 的数学期望. （2）教育测量学中，常采用如下模型分析单选题：学生如果未掌握该知识点，就会从四个选项中随机盲猜一个作为答案.假设甲校学生只要掌握了该知识点，就能选择正确. ① 求甲校学生真正掌握该知识点的概率估计值； ② 已知抽查到的一名甲校学生该题选择正确，求该生实际上是靠“盲猜”答对的概率. 18. 已知椭圆的离心率为，长轴长与短轴长的差为2，点，，都在上，为坐标原点，且. （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设直线与的另一个交点为，点P在线段上运动，过点作斜率为的直线与相交于，两点.若直线的斜率为3，求的最大值. 19. 已知函数． （1）求的极小值； （2）讨论的单调性； （3）若存在实数，使得在时恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $