湖南省长沙市长郡中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学一参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 B D A C A C B C 1.B【解析】集合M与N的公共元素为2,3，所以M∩N={2,3}. 2.D【解析】计算得=-1+i,故|=√(-1)2+1=√2 3.A【解析】因为a·b=1×2+2×(-1)=0,所以a⊥b. 4.C【解析】先从5人中选1人担任组长，再从其余4人中选2人参赛，共有5×C=30种选派方法 5.A 【解析】由cosa=号，可知sina-45,t 分，tana=4W3,且tana= 2tan 2 -tam2号 邮得m号号或-2（合. 6.C【解析】由题意知，b=a2=2十(2一1)d,即2,2十d,2十3d,2十7d,…,对于A,相邻两项的差不为常数，错 误.对于B,D,由于数列{b}单调递增，不是等比，也不可能是常数列，错误.对于C,由bs+1一b=(2+1一2)d= 2d,故{b+1一b}是公比为2的等比数列. 7.B【解析】因为PA⊥面ABC,AB⊥BC,可将三棱锥放入长方体中，其中长、宽、高分别为1,1,2，且PC为长方 体的体对角线，故PC为三棱锥外接球的直径.|PC1=√+12+2=√6，所以|MP|2+|MC2是定值6. 8.C【解析】原方程等价于：(e-3)2十(ex-3)2=r2,令t=e+e≥2，当t等于2时，仅对应x等于0；当t大 于2时，对应两个互为相反数的实数x.又e2x十e2r=2一2，代入并整理得，(t一3)2=r2一7，要使原方程有四个 不同的实数解，关于t的方程必须有两个不同且均大于2的实根.1=3一√一7,2=3十√2一7，因此应同时 满足r2-7>0,3-√2-7>2，解得，√7<r<2√2，故选C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 题号 9 10 答案 ABD ABC BCD 9.ABD【解析】对于A,由nS+1-(n十1)Sn=n(n十1)，S2=8,可得S2一2S1=2,即S1=a=3,A正确； 对于B条件支衫有一-1，所以各是以3为首项1为公蒸的等差最列，则子-十2 n 所以Sn=m2+2n,Sn-8n=n2-6n,n∈N*, 由二次函数的对称性可知=3时Sm一8m取最小值，故B,D正确； 对于C,由S=n2+2m,Sn-1=(n-1)2+2(n-1),(n≥2)，作差得am=2n十1(n≥2)， 而S,=a=3,符合上式，所以，=2m十1.号=2+7即份}不是等差鼓列，故C错误. 1 10.ABC【解析】由题意知，∠AOP=t,∠BOP=3t,故∠AOB=2t, 故f(t)=|AB|=√/TOA2+OB2-2OA·OB cos2t=√/2-2cos2t=2sint川，A正确. 由f(t)=2sint,对任意t>0,都有f(t+π)=2sin(t+π)|=2sint=f(t),B正确. 两人相遇即为f(t)=0,解得t=nπ，且t=nπ恰好是f(t)的第n个零，点，C正确. Sw=号0·0B1·sn2=号sn2,当sin2=1时，S的最大值为分此时1-牙，平积牙，故 有四个时刻可以取到最大值，D错误. 11.BCD【解析】对于A,当直线AB斜率为0时，AB=2a=4,故A错误. 对于B,由于满足AB引=m的直线l恰有3条，则必有2条交于左右两支，这两条直线关于x轴对称，另有一 条交于右支的两点，也关于x轴对称，故斜率不存在.所以m为通径长，等于12，故B正确. 对于C,当AB斜率为0时，易知AF·|BF|=3|AB引成立. 当AB斜率不为0时，当直线AB与C交于同一支时，|AF·|BF|=3AB|等价于 数学参考答案(27J)-1 1F1·B=3F+BF).即十动号 设AB:x=my十4，A(y1),B(x2,y2), 联立/r=my+4, %+= 3.x2-y2=12, 得(3m2-1)y2+24my十36=0，则 36 y=3m2-1' 则|AF|=√1十m21yl,BF|=√1+m2|y2|, 以而南债喷)广南· 1 1 √(y十2)2-4y2 m2+1 Iyy 代入根与系数关系并化简得AF十BF可一√m干 1 1 1 √/(24m)2-4X36(3m-1)_1 36 31 当直线AB与C交于左右两支时，不妨设A在左支，AF·BF=3AB等价于BFAF-方， 1 1 1 同上运步捧可得，的宁成立，故C正确 1 11 对于D,当直线AB与C交于右支时，A可十B丽=3 当直线AB与C交于左右两支时，不坊设>>0，一厅<<0， 扇+威扇南+☆)南· 1· 24ml yy2√m2+1 36 31+ m 由于六E03》+京∈（片号）当直线AB斜率为0时，十即专+日号 1 1+1=2 禁上的十京的取值范因为片，号]，故D正确 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.40【解析】(1+2x)5中，x的系数为C2,乘以(1一x)之后，x3的系数为C23×1+C2×(一1)=40. 13.16【解析】由题可得显然Q(5,4)在拋物线内部， M 过点Q作QT垂直准线x=一2，交准线于T点， 所以|MQ|+|MN|≥|MQ+|MC-r=|MQ+|MTI-1,当且仅当M,N,C三，点 共线且，点N在，点M,点C之间时取等号，又|MQ|十|MT≥|TQ|,当且仅当M,Q, T三点共线时取等号，此时C(2,0),M(2,4),Q(5,4),所以CM·C0=16. 14.一号【解析】设三个点横坐标的中项为m,公差为d, 则xA=m一d,xB=m,xc=m十d(>0), 设以AC为直径的圆的圆心为O,由等差数列中项的性质，0-c-m=x, 2 由于以AC为直径的圆与该曲线在，点B处相切，因此圆与曲线在，点B处的切线与y轴垂直. 即f(m)=3m2+k=0,得k=-3m2. 点B在以AC为直径的圆上，由圆周角定理可知AB垂直于BC 因为A(m-d,(m-d)3+k(m-d)),B(m,m3十km), kkm-(m d)km-d)m(m2-3m d+3md-d)+kd 3m'd-3mdetd3md m-(m-d) d d =d2-3md, 用d代一d可得kc=d+3md, 由两直线垂直，得(d-3md)(d+3md)=-1, 签理得，d(9nm2-d)-1.8nm-d+≥2. 则k=一3m<-号等号成立的条件为：d=1,m=号 9 数学参考答案(27J)一2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)如图，设AC,BD交于点O,连接PO,因为正方形ABCD中，AC⊥BD,…2分 因为△PAC为等腰三角形，则POLAC,…4分 且PO∩BD=O,所以ACL平面PBD.…5分 (2)PD+DC2=PC2,PD2+DA2=PA2, 所以PD⊥DC,PD⊥DA,且DA∩DC=D,故PD⊥平面ABCD. …6分 以D为原点，DA,DC,DP为x,y,之轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， …7分 则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,1). D AP=(-2,0,1),AB=(0,2,0),…8分 0 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 B AP·n=-2x十x=0, ……9分 AB·n=2y=0, 取n=（1,0,2), 又因为ACL平面PBD, 所以平面PBD的法向量可取AC=(一2,2,0)， …………………………………………10分 设二面角A-PB-D的大小为0， cos 0-lcos(AC,n)1=-1-2110 10· …12分 √5×22 由图可知，二面角为锐二面角，故所成余弦值为 10 ………13分 【另解（等体积法）】由PD2+DA=PA,PD+DC=PC,得PD⊥DA,PD⊥DC,故PD⊥平面ABCD. …6分 由正方形边长为2，得DB=2√2；又PB2=PD十DB2=9,故PB=3. 7分 PA2+AB2=PB2,所以SAPAB=√5；同理S△PDB=√2. 8分 四面体P-ABD的体积V=号X5.wnXPD=- 2 3 …9分 3V 设二面角A-PB-D为0，则，点D到平面PAB的距离h1= …10分 SAPAB /5 点D到直线PB的距离h,=2S△mB=22 PB 3· …11分 由垂直于棱PB的截面关系，sin0==3 12分 h2√/10 由图可知0为锐角，故cos0=个一sim0=1 _10 10 10 13分 16.【解桥】1)证明：由三角形面积公式S-sinC-之。 豆Q2得，bsin C-=a,…3分 由正弦定理得，sinA=sin Bsin C. ……5分 (2)方法一：由于C=π-(A十B),故sinC=sin(A十B),条件化为sinA=sin Bsin(A十B),…6分 展开并两边除以cosA(cosA≠0)得tanA(1-sin Bcos B)=sinB,…8分 sin2B 1-cos 2B tan A-1-sin Bcos B 2-sin 2B' …10分 令y=tanA,x=2B,则y(2-sinx)=1-cosx, 整理为ysin a--cosx=2y-1,即/y2+1sin(x-p)=2y-1, 11分 要使这样的x(2B)存在，须2y一1≤V小了+1，即(2一1)P≤+1，化简得3y-4y0,即0≤≤号 …13分 所以1anA的最大值为号，此时sin2B-号60s2B=一号对应B-C,即等腰三角形.…15分 数学参考答案(27J)-3 方法二：由sin Bsin C-osB=C,sB+O<1oB+O=sir(B生9)， ……8分 即smA≤sin(B9）-cos(份）=1+g4， 2 ………9分 上式化简为2sinA-cosA≤1，即5sin(A-g)≤1，其中tanp=2, …10分 当S如(A-g）=写，即1m(A-g）=2时A一g达最大，此时anA最大，…12分 am-w.A-p+p)品。号 …15分 方法三：S=6csmA=,则e·simA-d2-十e-2c·0sA、6分 所以bc·sinA+2bc·cosA=b2+c2≥2bc, 7分 得：SinA十2c0SA2,…8分 则(sinA+2cosA)2=sinA+4sinA·cosA+4cos2A≥4(sinA+cos2A), 10分 2即：3sin2A-4sinA·C0sA≤0，…12分 因为sinA≠0，所以3sinA-4c0sA≤0，…13分 得：3anA-4<0,所以anA≤专 …15分 (注：其它方法对应给分) 17.【解析】1)由题意知，十b+号-1，E()=0+b+1 5 4 2分 解得a=}= … 3分 (2)设事件A=恰有1台摄像头识别出该障碍物，B:=有i(i=0,1,2)台摄像头正常工作， 由全概率公式知， P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2).................. 5分 =×0+×号+3×C2(1-2）)= 7分 故P(B,|A)= P(AB2) ×c1-) 。。t。。。。 P(A) …9分 38 (3)因为P(5=0,Y=0)=子，P(g=1.Y=0)=十×(1-p),P(=2.Y=0)=号X1-p)只..12分 所以PY=0)=+(1-p）+21-p)=号p2-号+1.…13分 若要P(0Y1)≥0.8，则P0Y=0)≤0.2，即2p2-号b十10.2.…14分 上式化简为10p2一25p十16≤0，△=（一25）2-4×10×16=-15<0，故此不等式无解，故不能达到要求。 ……15分 (说明：此问没有任何解析，仅有答案“不可能”的得1分) 18.【解析】(1)由题意知，c2=a2-b=1, 1分 将点1,2)代入描国方程得+品=1，解得。=4.心=3， …3分 所以摘圆C的方程为十兰白1，分 (2)(i)易知直线PQ斜率不为0，设PQ:x=my十1，P(1y1),Q(x2y2), -6m 我之1g得or++g一g-0. y1+y2= 3m2+4' …6分 -9 yy2=3m+4' 设过点P的切线为y=k(x一x1)十y1, 联立-x)+得3十42)2十8(-k)x十4-k)2-12=0,…7分 3x2+4y2=12 数学参考答案(27J)-4 令上式中△=0，结合椭圆方程可解得，k=一8四，（说明：这里直接用二级结论得出切线方程，没有△说明的， 4y1 扣1分)… …8分 故切线方程可化为PT:+号=1， 3 同理可得过Q点的切线方程为QT:+学=1， …9分 3 联立3x1x十y-12化简得3Cm十1)x+3y-12· 3.x2x+4y2y=12 3(my2+1)y1x+4y1y2y=12y, 两式相减得3(2一y1)x=12(一为)，即x=4,所以，点T在定直线x=4上.… 11分 (i)将x=4代入PT方程，得y=33五=33(my+1D=-3m,所以T4,-3m）.…12分 y -3m 再由十为及=my叶1得，PQ中点M(3n3》…13分 因为kr=m=一职，所以O.M,T三点共线 …14分 所以1oMom=V+(3m小·√+(×4-15 3m2+4 =3+3m+:…16分 4 4 因为m≥0，所以3m+∈(0,1，所以0M·OT1∈(3,41 …17分 19【解析)由题意f)=hx+2女，令g)=f),得g(0=- xx>0,…1分 所以0<x<1→g(x)<0;x>1→g'(x)>0,… …2分 因此f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调通增，并在x=1处取得最小值，即∫(x)≥∫(1)=2： …3分 由A的定义，A=(0,十o∞)，或{xx>0. …4分 (2)(1)由于u∈A=A,故f(u)≥f(o);由于v∈A=A,故f(o)≥f(u),因此f'(u)=f(o).…6分 所以h叶2-h叶0得h名站嘉-，7分 令x=ln乙>0，则=ue, 将=心代入上式，分别得到心=1=1， 2z 则uu=e一e 2· …9分 当>0时，设o(x)=e-e-2x, 故p()=e十e-2-eD>0,故g()在[0，十o0)上单调通增， e 因为p(0)=0,所以o()>0,即e-e>2→uw>1.…10分 (i)令-n是由>eu,得=n≥l,又因为uwee,所以入≤w引 e-e-22,…12分 2 设(x)=e--2兰，(g)=-3》e+(十3》e+4, 23 ……… 2g4 13分 令H(z)=(x-3)e+(x+3)e+4z, 下面逐层判断H(z)的符号：令H1(x)=H'(x)=(x-2)e-(x十2)e+4, H2(z)=H1'(x)=(之-1)e*+(x+1)e*,当>0时，H2'()=(e-e)>0,…14分 又H(0)=H1(0)=H2(0)=0, 由H2'(之)>0，依次得到H2(之)>0，H1()>0,H(之)>0.……15分 因此Φ'()>0，>0，所以Φ(x)在(0，十∞)上单调递增. …16分 由于≥l,故重n(e)=(1)=ee-2」 2 因此imx=e-e,2_e-e-1 2 17分 2 数学参考答案(27J)一5高三数学一 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.设集合M=(1,2,3),N=(2,3,4),则M∩N= A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(1,4) 2.已知复数z=(1十i)i,则|z|= A.1 B.2 C.2√2 D.√2 3.已知向量a=(1,2),b=(2,一1)，则a在b方向上的投影向量为 A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.0 4.某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方 法共有 A.10种 B.20种 C.30种 D.60种 5.已知cosa=号，且a∈(0，)，则tan号- A号 B号 c29 D.-2③ 3 6.已知等差数列(an)的首项a1=2,公差d为正数，取子数列bs=at,(k=0,1,2,…),则 A.{bk)是等差数列 B.{b)是等比数列 C.(bs+1一b)是公比为2的等比数列 D.存在>0，使(bs)既是等差数列又是等比数列 7.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC,AB⊥BC,AB=BC=1,PA=2.点M是该三棱锥外接 球面上的任意一点，则|MP|2+|MC2 A.有最大值12，最小值0 B.是定值6 C.是定值3 D.随M变化，取值范围为[0,6] 数学试题(27J)第1页（共5页） 8.在平面直角坐标系中，对任意实数x,定义向量a=(e2,ex),b=(3,3),若r>0,方程|a一b= x有四个不同实数解，则r的取值范围是 A.0<<7 B.0<<2√2 C.√7<r<22 D.≥22 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.记Sn为数列{an)的前n项和，已知nSn+1一(n十1)Sn=n(n十1)，S2=8,则 A.a1=3 B.S=n2++2n C(-}是等差数列 D.Sn一8n取最小值时n=3 10.如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点P(1,0)同时出发，都沿舞台 边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为1rad/s与3rad/s.运动t秒后，甲位 于点A、乙位于点B,两人之间的距离为f(t).下列说法正确的是 A.f(t)=2 sin t B.对任意>0，均有f(t十π)=f(t) C.两人自出发后第n次相遇的时刻为t=nπ(n∈N') D.记△OAB的面积为S,则S的最大值为2，且在区间∈(0,2π)内恰有两个时刻取到该最 大值 1.已知双曲线C:苦-益-1的右焦点为R,过F的直线1与C交于A,B两点，则下列说法正确 的是 A.|AB|的取值范围为[12，十∞) B.若满足|AB=m的直线l恰有3条，则m=12 C.IAF|·IBF=3|AB|恒成立 D十前的取值范围为[号，] 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.（1十2x)5(1一x)的展开式中x3的系数为 13.已知点M在抛物线Y=8x上，点Q(5,4),点N在圆C:(x-2)2+y2=1上，当1MQ1+|MN 取得最小值时，CM.CQ= 14.若曲线y=x3十x上存在横坐标依次成等差数列的三个不同点A,B,C,且以AC为直径的圆 与该曲线在点B处相切，则k的最大值为 数学试题(？7J)集？页(1、、 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=PC=√5，PD=1. (1)证明：AC⊥平面PBD; (2)求二面角A-PB-D的余弦值 D 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为Q,c,其面积S=2a2. (1)求证：sinA=sin Bsin C; (2)求tanA的最大值， 数学试题(？1)· 17.(本小题满分15分) 某自动驾驶车队路测，某次路测场景中仅有1个需要识别的障碍物.能正常工作的摄像头数 为随机变量，其分布列如下表所示，且()=是.每个正常工作的摄像头独立地以的概率识 别出障碍物（否则漏检）.记识别出障碍物的摄像头数为Y. € 0 1 2 P a 2 (1)求a,b; (2)已知某次路测中恰有1台摄像头识别出该障碍物，求此时有2台摄像头正常工作的概率. (3)工程师想通过提升单台识别率到p,使至少有1台摄像头识别出该障碍物的概率P(Y≥1) 达到0.8，这可能吗？请说明理由， 18.(本小题满分17分) 已知椭图C苔+芳-1a>6>0)的右焦点为F1,0,且经过点(1，是》， (1)求椭圆C的方程， (2)过F的直线（不与x轴重合）交C于P,Q两点，分别过P,Q作C的切线，两切线交于点 T,记PQ的中点为M,O为坐标原点. (ⅰ)证明：点T在定直线上 (Ii)求1OM1·IOT的取值范围 数学试题(27J)第4页（共5西） 19.(本小题满分17分) 设函数f)=hx一x2对任意>0，记A=(xf(x≥f0. (1)求集合A,; (2)若0<u<1<v,A.=A (i)证明：u>1; （i)当心eu,求实数入的最大值，使得不等式u>1十血)恒成立，其中e为自然对 数的底数. 数学试题(27J)第5页（共5页）