高考尖子生培优专题11：指数运算与指数函数10大热点题型（一）讲义-2027届高三数学一轮复习

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题11：指数运算与指数函数10大热点题型（一） 解题技巧一 判断或证明函数的对称性 4 解题技巧二 函数图象对称求参数范围 7 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 10 解题技巧四 函数图象的变换 14 解题技巧五 函数图象的综合应用 17 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 21 第三部分 能力提升 限时训练 23 思维导图 知识点一 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 知识点2 指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 经典重现+解题技巧 题型一 指数运算与化简求值 解题技巧： (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 【例1】（25-26高三·全国·二轮复习）化简下列各式： （1） =___________                    （2）（=__________ （3）设，则的值为_____________ 【答案】 0 / 7 【分析】（1）根据指数幂的运算性质，化简求值，即得答案； （2）将根式化为指数幂的形式，结合指数幂的运算，即可求得答案； （3）将平方，即可求得答案. 【详解】（1） . （2）； （3）因为， . 故答案为：（1）0；（2）；（3）7 【变式1-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确． 【变式1-2】（2025·上海闵行·一模）已知，，化简：__________. 【答案】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 【变式1-3】（2027高三·全国·专题练习）（1）计算：； （2）对于正整数，，和非零实数，，，，有，，求，，的值． 【答案】【小题1】 【小题2】，， 【分析】第（1）问分别利用对数恒等式、对数运算性质、指数与对数互化、根式化简等方法逐项计算，最后合并结果； 第（2）问先设公共值为参数，利用指数运算法则进行变形，代入已知等式化简得到关于底数的关系式，代入已知等式化简得到关于底数的关系式，再根据底数为正整数且满足大小关系，结合因数分解求得具体值. 【小题1】 ． 【小题2】∵，且，为非零实数， ∴，∴． 同理可得，，∴， 即． 又，，，为正整数，且由题意可知， ∴． ∵，∴，，． 题型二 指数函数解析式及其应用 解题技巧： 1.指数函数定义：必须满足 “系数为，底数且”； 2.指数函数图像平移：遵循 “左加右减，上加下减” 原则，注意是对自变量进行操作； 3.指数函数定点问题：令指数部分为，即可求出指数型函数恒过的定点. 【例2】（2027高三·全国·专题练习）（多选）下列选项正确的是（     ） A．函数是指数函数，则 B．指数函数（，且）的值域为 C．函数（，且）的图象可以由的图象向右平移一个单位长度得到 D．函数（，且）恒过定点 【答案】ABD 【分析】本题关键在于： 【详解】对于A，且，，则，A正确； 对于B，不论，还是，值域都为，B正确； 对于C，的图象向左平移一个单位长度得到的图象，C错误； 对于D，令，则，，所以函数（，且）恒过定点，D正确． 故选：. 【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 【变式2-2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）(多选)下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．函数的定义域是 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 【答案】BD 【分析】令，结合指数函数的性质可得A错误；由二次根式下大于等于零可得B正确；设，由对勾函数的单调性可得C错误；先求函数的定义域，再由简单复合函数的单调性可得D正确； 【详解】对于A，函数，当，即时，， 则函数的图象恒过定点，故A错误； 对于B，解得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，， 设，则，又由，结合对勾函数的性质可得在区间上递增，则，故C错误； 对于D，函数，有，解得，即函数的定义域为， 设，则，在区间上，为增函数，在区间上，为减函数， 由于为定义域为的减函数，故有，故函数的单调增区间为，故D正确； 故选：BD. 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数是指数函数． (1)求a； (2)设函数，，记在上的最小值为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】（1）根据指数函数的定义建立方程组即可求解． （2）首先根据题意求出的表达式，再利用换元法，将其转化成二次函数，讨论二次函数对称轴在区间的位置，分别求最小值，然后利用分段函数以及二次函数研究的最小值即可． 【详解】（1）为指数函数，根据定义得，解得． 此时． （2）由（1）可知，，则． 令，， 则只需求在上的最小值． 当，即时，在上单调递增， 此时在处取得最小值； 当，即时，开口向上，在对称轴处取得最小值， 即时，此时； 当，即时，在上单调递减，此时在处取得最小值，． 综上，可得． 由可得，当时，单调递减，在处取最小值； 当时，； 当时，单调递增，在处取最小值． 综上的最小值为1． 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 【例3】（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的定义域、零点、奇偶性以及函数值符号，结合题中图象可得答案. 【详解】对于A选项，对于函数，由可得， 即函数的定义域为，与题中图象不符； 对于B选项，令，可得，即函数只有一个零点，与题中图象不符； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，与题中图象不符； 对于D选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数， 令得，可得， 当时，，则，与题中图象相符. 【变式3-1】（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C，，， 故是偶函数，不符合，排除C； 对于选项A，，求导得， 故在上单调递增， 不符合图像中时先增后减的趋势，排除A； 根据图像，极大值点在左侧， 对于选项B，，求导得， 令，得， 1 0 单调递增 单调递减 故的极大值点为，不符合图像，排除B. D． 【变式3-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇偶性、单调性排除选项求解 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 【变式3-3】（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数性质，利用排除法逐项判断即可得. 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且， 对B：的定义域为，不符，故B错误； 对C：时，，不符，故C错误； 对D：时，，不符，故D错误； 对A：时，，定义域为， 且， 故该函数为奇函数，符合题意，故A正确. 解题技巧四 函数图象的变换 ①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ④y＝ax (a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1). 【例4】（2026·河北沧州·二模）(多选)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．点是曲线的一个对称中心 C．若和在上的单调性相同，则的最大值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据图象变换及余弦函数性质求出函数的解析式，根据三角函数的对称性判断AB；根据三角函数的单调性判断C；利用辅助角公式化简，然后根据正弦函数性质求解最值判断D. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后得到，，由题意， 所以或， ， 所以，或（不恒成立，舍去）， 又，所以， 所以，， 由， 则直线不是曲线的一条对称轴，A错； 因为， 所以点是曲线的一个对称中心，B对； 由，则， 要使在上单调，由正弦函数在上单调递减，可知，所以， 若和在上的单调性相同，由余弦函数在上单调递减， 可知，所以，则的最大值为，C对； 因为，， 所以，其最大值为，D错. 【变式4-1】（2026·四川凉山·二模）函数的定义域为，将曲线向左平移个单位得到函数的图象，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项求出对应后，检验是否满足即可得. 【详解】对A：若，则， 由，故A错误； 对B：若，则， 则， ， 即满足，故B正确； 对C：若，则， 由，故C错误； 对D：若，则， 由，故D错误. 【变式4-2】（2026·河北沧州·一模）先将函数的最小正周期变为原来的倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则、的值分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，结合题意可得出关于、的方程组，结合的取值范围可得结果. 【详解】函数的最小正周期变为原来的倍，即将函数图象上每点的横坐标伸长为原来的倍， 所得函数的解析式为， 再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 即， 所以，解得，， 又因为，故. 【变式4-3】（25-26高三上·河南·阶段检测）(多选)为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 【答案】AC 【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将化为，结合函数图象的变换即可进行判断. 【详解】因为， 即,将函数图象上所有点横坐标变成原来的（纵坐标不变），可得到的图象； 又因为， 所以还可以将函数图象上所有点向上平移1个单位长度，可得到的图象． 故选：AC． 解题技巧五 函数图象的综合应用 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 【例5】2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设方程和的根分别为和，函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用与的对称性解出，得到的解析式并求出导函数，分析函数的单调性，并比较和的大小，再构造函数比较与的大小求解. 【详解】已知方程的根为，则，则， 方程的根为，则，则， 因为图象与图象关于对称， 与垂直，交点为， 所以与关于点对称，则， ，，令，即，解得， 当时，， 则，函数单调递减； 当时，，则，函数单调递增， 因为，所以， 令， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，，在上单调递增， 且，所以， 所以，即， 所以. 【变式5-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 【变式5-2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 【答案】 【分析】先作出函数的图像，结合图像可把问题转化为在上有两个不同实根，，数形结合即可求得答案． 【详解】作出函数图像如图所示： 令，则可化为， 若有6个根， 结合图像可知方程在上有2个不相等的实根， 不妨设，， 则，解得， 故m的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则c的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】先求导确定三次函数单调区间与极大、极小值，再利用水平线与函数图像有三个交点的数形关系，得到介于极小值与极大值之间，求出取值范围 【详解】 令，得或 令，得 在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 在处取得极大值，在处取得极小值， 要使的图象与有三个不同的交点，则， c的取值范围为. 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 （1） 确定函数的定义域； （2）化简函数的解析式； （3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； （4）描点连线，画出函数的图象． 【例6】（2026·河南焦作·模拟预测）已知是函数图象的一条对称轴，且的周期为4，当时，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据的周期性，以及对称性，可得，再结合的解析式，即可求得结果. 【详解】因为的周期为，故； 又是的一条对称轴，则，故； 又当，，则，故. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）(多选)若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 【变式6-2】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）(多选)若直线与函数在上的图象有三个交点，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】在平面直角坐标系中绘制出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】当时，；当时，， 故，有，如下图所示：    由直线与函数有三个交点， 可知或. 故选：AB. 【变式6-3】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）(多选)已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 【答案】ABD 【分析】根据对称中心定义可判断A正确，赋值法代入计算可知B正确，结合奇偶性并根据周期函数定义可得C错误，结合已有分析求出所有零点可知D正确. 【详解】对于A，由得的图象关于点对称，故A正确； 对于B，由，令可得，得，故B正确； 对于C，因为是奇函数，由，可知3是的一个周期，则其最小正周期不大于3，所以的最小正周期不可能是6，故C错误； 对于D，，， ，， 在上至少有9个零点，故D正确． 故选：ABD. 第三部分 能力提升 限时训练 1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平方差公式及分母有理化求解. 【详解】 . 故选：C. 2．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，，，则（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】B 【分析】借助指数与对数运算法则计算即可得. 【详解】由，， 则，， 所以，则， 则，所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知指数函数，其反函数为，下列关于两个函数说法正确的是（   ） A．常数的取值范围为且，函数的定义域为实数集 B．当时，与的图像只有一个交点 C．若两函数图象存在交点，则该交点不一定位于直线上 D．设与两函数图象交点为，，则，等号成立 【答案】C 【分析】对于选项A，求出，从而得到结论；对于选项B，判断出函数的图象在直线上方，再根据反函数图象性质，从而得到结论；对于选项C，举例即可说明；对于选项D，与的交点为，，与的交点为，，则，，由是的反函数，得到在上，从而得到，则，利用基本不等式求解即可得到结论. 【详解】对于选项A，是指数函数，其反函数为，定义域为，故选项A错误； 对于选项B，当时，，则，当时， 易知，所以，所以函数的图象在直线上方， 而的图象与的图象关于直线对称，所以的图象在直线下方， 当时，与的图象没有交点，故选项B错误； 对于选项C，若两函数图象存在交点，则这两个交点不一定在直线上， 比如：函数，，两函数图象有一个交点， 其不在直线上，故选项C正确； 对于选项D，与的交点为，， 与的交点为，， 则，， 是的反函数，在上， ，，，， ，， ，当且仅当，即时，此时， 但是，故等号不成立，，故选项D错误. 故选：C. 5．（2026·河北承德·一模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析各选项中函数的奇偶性、函数值符号、单调性，结合图象分析可得答案. 【详解】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符，故A错误； 对于B选项，， 所以函数为上的增函数，与题中函数图象不符，故B错误； 对于C选项，设，该函数的定义域为， ，故函数为偶函数，与题干中函数图象不符，故C错误； 对于D选项，设，该函数的定义域为， ，所以函数为奇函数， 当时，，， 由，可得；由，可得或， 所以函数的单调递减区间为、，单调递增区间为， 与题中函数图象相符，故D正确. 6．（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为无法通过五点作图得出具体函数图像，所以本题使用奇偶性，特殊值逐项排除得出答案. 【详解】A选项：，为偶函数.题中图像为奇函数，所以A不可能. C选项：同A选项判断方法也可判断C选项为偶函数，C错误. D选项：因为，当足够大时，显然不满足图像显示最后一部分由负到正的急剧递增，且当时，，与图像矛盾. B选项：从奇偶性，特殊值角度分析均有可能满足，因此图像解析式可能为. 7．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D； 【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点）， 选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C. 图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D. 选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）； 时，，，且时，，符合图像左半部分趋势； 时，，，时，符合； 时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征. 8．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数的图象交点问题. 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 又，得函数的图象关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数的图象共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称性求出周期，再数形结合后可求所有根之和. 【详解】由，得函数关于点对称， 又，得函数关于直线对称且， 故，故，所以， 所以，从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，， 又方程的根即与的交点横坐标， 而直线的斜率为，， 故的图像与直线在有且只有一个交点， 又，， 结合的周期性和对称性，在同一坐标系中画出的图像和直线， 如图： 两函数共有个交点，并且关于点对称，故所有根之和为. 10．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式画出的草图，将问题化为的图像与直线和，共有6个交点，数形结合有的图像与直线有2个交点，从而得解. 【详解】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 11．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程得或，数形结合得方程无解，进而得到直线与曲线有个交点，结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由可得或， 当时，； 当时，； 当时，. 作出函数、、的图象如下图所示： 由图可知，直线与曲线有个交点，即方程无解， 所以由题方程有个不同的解，即直线与曲线有个交点，则. 12．（2026高三·全国·专题练习）下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简四个选项函数，依据平移、翻折只改变图像位置与符号、不改变函数类型的规则逐一验证，指数型函数无法经平移翻折变为对数函数，确定答案． 【详解】对于A，和的图像关于直线对称（属于翻折的一种对称变换），沿翻折就能和重合，A不符合题意； 对于B，，把它的图像沿轴翻折，就得到的图像，B不符合题意； 对于C，，这是指数型函数，且底数为、自变量带线性变换，它和对数函数不是通过平移、翻折能互变的类型：平移/翻折不会把指数型函数变成对数函数（二者凹凸性、单调性变化规律、定义域值域结构都无法通过平移翻折统一），无论怎么平移、沿坐标轴翻折，都不能和重合，C符合题意； 对于D，，先沿轴翻折得到，再向上平移1个单位，就得到，D不符合题意． 13．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用函数的图象平移和伸缩变换，可得结论. 【详解】把的图象上所有的点向左平移2个单位长度，得到的函数解析式为， 再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为. 故选：A. 14．（2026·河北张家口·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：由题可知，又，所以. 15．（2026·陕西榆林·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象的平移变换，结合诱导公式求解即可. 【详解】函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，即得到函数的图象， 所以，整理得， 又，所以当时，取最小值，最小值为． 16．（2026·山东济南·模拟预测）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【详解】由题意得， ，是函数的图象的一条对称轴，故A正确， 将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为， 要使为奇函数，则，解得， 又，则的最小值为，故B正确， 令，则，解得， 当时，或， 函数在区间上有2个零点，故C错误， 当时，令， 在上单调递增，函数在区间上单调递增，故D正确. 17．（2026·河北沧州·一模）若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数的奇偶性，再结合函数的单调性解函数不等式. 【详解】因为函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到，且其对称轴为， 所以函数的图象关于直线即轴对称，所以函数为偶函数. 又在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且. 所以当或时，；当时，. 又或， 解得或. 所以所求不等式的解集为. 故选：B 18．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】通过对称性的概念可判断BC.通过特殊点判断AD. 【详解】令，， 对于A，，，显然，A错误， 对于B，，B错误， 对于C，，即两函数图象关于原点对称，C正确， 对于D，，当时，得点， 点关于直线对称点为， 当时，，故D错误. 19．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）(多选)已知定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．是以为周期的周期函数 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，根据对称中心的充要条件即可判断；B选项，结合偶函数与，推得，即可得出周期；C选项，由以及偶函数，推出，即可判断对称轴；D选项，先通过取值判断一个周期的和，而，即可求解. 【详解】对于A：函数图象关于点对称的充要条件是， 由，即，所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B、C：因为，把换成，得，即， 又因为是偶函数，将上式中的换成， 所以，所以，所以的图象关于直线对称， 再将换成，所以，所以是以4为周期的周期函数，故B错误、C正确； 对于D：将代入，得，即； 将代入，得； 将代入，得，即， 所以， 故一个周期的和为， 而从到共2027项，， 所以，故D正确. 20．（25-26高三上·河南周口·阶段检测）计算下列各式的值. (1)； (2)； (3)已知，，计算的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据指数运算和对数运算法则直接求解即可； （2）根据对数运算法则直接化简求解即可； （3）利用对数表示出，代入所求式子，结合对数运算法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3），，，， . 21．（25-26高三上·山东聊城·期中）计算以下各题 (1)； (2) (3) 【答案】(1)84 (2)0 (3) 【分析】（1）根据指数的运算法则及性质求解； （2）根据对数的运算法则及性质计算得解； （3）根据特殊角的三角函数值计算即可. 【详解】（1） . （2） ． （3）. 22．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 23．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数是奇函数，理由： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； (3) 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【详解】（1）令，则，可得， 故函数的图象恒过点； （2）略 （3）当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题11：指数运算与指数函数10大热点题型（一） 解题技巧一 判断或证明函数的对称性 4 解题技巧二 函数图象对称求参数范围 7 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 10 解题技巧四 函数图象的变换 14 解题技巧五 函数图象的综合应用 17 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 21 第三部分 能力提升 限时训练 23 思维导图 知识点一 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 知识点2 指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 经典重现+解题技巧 题型一 指数运算与化简求值 解题技巧： (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． （2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 【例1】（25-26高三·全国·二轮复习）化简下列各式： （1） =___________                    （2）（=__________ （3）设，则的值为_____________ 【变式1-1】（25-26高三上·上海·阶段检测）（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·上海闵行·一模）已知，，化简：__________. 【变式1-3】（2027高三·全国·专题练习）（1）计算：； （2）对于正整数，，和非零实数，，，，有，，求，，的值． 题型二 指数函数解析式及其应用 解题技巧： 1.指数函数定义：必须满足 “系数为，底数且”； 2.指数函数图像平移：遵循 “左加右减，上加下减” 原则，注意是对自变量进行操作； 3.指数函数定点问题：令指数部分为，即可求出指数型函数恒过的定点. 【例2】（2027高三·全国·专题练习）（多选）下列选项正确的是（     ） A．函数是指数函数，则 B．指数函数（，且）的值域为 C．函数（，且）的图象可以由的图象向右平移一个单位长度得到 D．函数（，且）恒过定点 【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【变式2-2】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）(多选)下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．函数的定义域是 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 【变式2-3】（2025高三·全国·专题练习）已知函数是指数函数． (1)求a； (2)设函数，，记在上的最小值为，求的最小值． 解题技巧三 根据函数图象选择解析式 ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 【例3】（2026·山东济南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·辽宁大连·一模）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·天津滨海新区·三模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·天津东丽·二模）已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 解题技巧四 函数图象的变换 ①y＝f(x)y＝－f(x).②y＝f(x)y＝f(－x). ③y＝f(x)y＝－f(－x). 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于轴对称； 函数与函数的图像关于坐标原点对称； ④y＝ax (a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1). 【例4】（2026·河北沧州·二模）(多选)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．直线是曲线的一条对称轴 B．点是曲线的一个对称中心 C．若和在上的单调性相同，则的最大值为 D．的最大值为 【变式4-1】（2026·四川凉山·二模）函数的定义域为，将曲线向左平移个单位得到函数的图象，且，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·河北沧州·一模）先将函数的最小正周期变为原来的倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则、的值分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式4-3】（25-26高三上·河南·阶段检测）(多选)为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点（   ） A．横坐标变成原来的（纵坐标不变） B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变） C．向上平移1个单位长度 D．向左平移1个单位长度 解题技巧五 函数图象的综合应用 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究: (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值; (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性; (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性。 【例5】2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）设方程和的根分别为和，函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高三上·天津南开·阶段检测）已知函数,若关于x的方程有6个根，则m的取值范围为________. 【变式5-3】（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则c的取值范围为_____________． 解题技巧六 根据实际问题作出函数图象 （1） 确定函数的定义域； （2）化简函数的解析式； （3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)； （4）描点连线，画出函数的图象． 【例6】（2026·河南焦作·模拟预测）已知是函数图象的一条对称轴，且的周期为4，当时，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 【变式6-1】（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）(多选)若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【变式6-2】（25-26高三上·河北邢台·阶段检测）(多选)若直线与函数在上的图象有三个交点，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）(多选)已知定义在上的奇函数满足，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C．的最小正周期为6 D．在上至少有9个零点 第三部分 能力提升 限时训练 1．（25-26高三上·广东江门·阶段检测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东·阶段检测）已知，，，，则（    ） A．e B． C．1 D． 3．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4．（2026·辽宁·模拟预测）已知指数函数，其反函数为，下列关于两个函数说法正确的是（   ） A．常数的取值范围为且，函数的定义域为实数集 B．当时，与的图像只有一个交点 C．若两函数图象存在交点，则该交点不一定位于直线上 D．设与两函数图象交点为，，则，等号成立 5．（2026·河北承德·一模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津·一模）已知函数的部分图象如下： 则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江宁波·三模）某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（        ） A． B． C． D． 8．（2026·山东青岛·一模）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 9．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2026·山西临汾·二模）已知函数若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数的图象重合的函数是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末）为了得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C．向左平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） D．向右平移2个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 14．（2026·河北张家口·二模）将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·陕西榆林·三模）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·山东济南·模拟预测）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为 C．函数在区间上有3个零点 D．函数在区间上单调递增 17．（2026·河北沧州·一模）若定义在上的函数在上单调递增，的图象关于直线对称，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 18．（2026·江苏苏州·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 19．（25-26高三上·四川雅安·开学考试）(多选)已知定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．是以为周期的周期函数 C．的图象关于直线对称 D． 20．（25-26高三上·河南周口·阶段检测）计算下列各式的值. (1)； (2)； (3)已知，，计算的值. 21．（25-26高三上·山东聊城·期中）计算以下各题 (1)； (2) (3) 22．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 23．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数. (1)设的图象恒过点，求点的坐标； (2)试判断的奇偶性，并说明理由； (3)当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $