周周测12 4.5函数与方程＋章末复习（数学人教A版必修第一册）

**基本信息** 以函数与方程为核心，融合香农公式、核污染废水等现实情境，通过模型选择、二分法应用等题型，考查数学建模与数据分析能力 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|函数模型选择、二分法求近似解|结合肉价数据、华为5G技术等情境，考查模型应用| |多项选择|3/18|零点存在性、函数性质判断|以蜥蜴体温、视力表为背景，体现跨学科联系| |填空|3/15|二分法次数计算、零点区间判断|快递包装垃圾增长问题，培养数据意识| |解答题|5/77|函数单调性证明、实际问题建模|行星距离模型构建、单株利润函数优化，突出数学应用与创新|

2026-2027学年高一上学期数学周周测12 4.5函数与方程＋章末复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2023年，通过市场调查，得到肉价在8~11四个月的市场平均价(单位：元/斤)与时间 (单位：月)的数据如下： 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并估计2023年12月份的肉市场的平均价为（　　） A．28 B．25 C．23 D．21 【答案】A 【分析】先利用数据的性质得到最合适的函数模型，再利用二次函数的对称性即可得解. 【详解】第二组数据近似为，第四组数据近似为， 根据四组数据，，，， 可得先增后减， 而和都是单调函数，故不符合要求， 所以选， 由第二组数据，和第四组数据，可得的图像关于对称， 故时，. 故选：A. 2．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625 1.0986 0.512 0.215 0.066 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（    ） A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75 【答案】A 【分析】利用零点存在定理，找到两个端点值，使得，并使得，从而得到或为方程的近似解. 【详解】由表格的数据得：， 因为函数在单调递增， 所以在存在唯一的零点，且， 所以方程的近似解可取区间内任意数，故可取. 故选A. 【点睛】本题考查函数零点存在定理的运用、函数零点与方程根的转化关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，求解时注意对近似解精确度的要求. 3．用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 4．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 5．华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可. 【详解】由题意， 由参考数值可得：， 大约增加了， 故选：B 6．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据及物体经过物体的温度为得出的值，再求出时的值即可． 【详解】由题意得，，，代入， ，即， 所以， 所以， 由题意得，，代入， 即，得， 即， 解得， 即若使物体的温度为，需要冷却， 故选：C． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】ACD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 8．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（    ） A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 【答案】BD 【分析】由，求出函数模型，判断选项A、B； 对于C、D：直接由得到的函数模型代入判断即可. 【详解】当时，代入得：，代入得：. 故选择函数模型②.A错误；B正确. 对于C：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C错误； 对于D：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 10．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______. ① 有且只一个零点       ②的零点在内 ③ 的零点在内        ④的零点在内 【答案】①② 【分析】函数为上的增函数，结合， 可知①、②正确， 因 ，故 的符号为两正一负或全负，从而③、④错误． 【详解】因为 ，均为上的单调增函数，故为上的增函数． 因为，，由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内，故①、②正确． 因 ，故 的符号为两正一负或全负， 而，故或者， 若，则零点在内； 若，则零点在内．故③、④错误． 综上，填①②． 【点睛】本题考查函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取． 4、 解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程可求得的值； （2）由题意可得，有两个不同的实数根，设，则在有两个不同的解，再利用二次函数的性质求得的范围． 【详解】（1）当时，有, 所以，即，即， 解得，所以解集为． （2）因为方程有两个不同的实数根， 即有两个不同的实数根， 设，则在有两个不同的解． 令，只需： 解得：，即的范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测12 4.5函数与方程＋章末复习 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2023年，通过市场调查，得到肉价在8~11四个月的市场平均价(单位：元/斤)与时间 (单位：月)的数据如下： 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并估计2023年12月份的肉市场的平均价为（　　） A．28 B．25 C．23 D．21 2．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625 1.0986 0.512 0.215 0.066 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（    ） A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75 3．用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 4．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 6．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．） 7．下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 8．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（    ） A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 10．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______. ① 有且只一个零点       ②的零点在内 ③ 的零点在内        ④的零点在内 4、 解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测12 4.5函数与方程＋章末复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2023年，通过市场调查，得到肉价在8~11四个月的市场平均价(单位：元/斤)与时间 (单位：月)的数据如下： 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并估计2023年12月份的肉市场的平均价为（　　） A．28 B．25 C．23 D．21 【答案】A 【分析】先利用数据的性质得到最合适的函数模型，再利用二次函数的对称性即可得解. 【详解】第二组数据近似为，第四组数据近似为， 根据四组数据，，，， 可得先增后减， 而和都是单调函数，故不符合要求， 所以选， 由第二组数据，和第四组数据，可得的图像关于对称， 故时，. 故选：A. 2．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625 1.0986 0.512 0.215 0.066 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（    ） A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75 【答案】A 【分析】利用零点存在定理，找到两个端点值，使得，并使得，从而得到或为方程的近似解. 【详解】由表格的数据得：， 因为函数在单调递增， 所以在存在唯一的零点，且， 所以方程的近似解可取区间内任意数，故可取. 故选A. 【点睛】本题考查函数零点存在定理的运用、函数零点与方程根的转化关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想的运用，求解时注意对近似解精确度的要求. 3．用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 【答案】A 【分析】根据题意数据结合二分法分析求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且函数在定义域内单调递增， 则函数在定义域为内单调递增，所以函数至多有一个零点， 因为，，可知在内有零点，且； 第一次等分，可得，可知在内有零点，且； 第二次等分，可得，可知在内有零点，且； 第三次等分，可得，可知在内有零点，且； 第四次等分，可得，可知在内有零点，且， 所以对区间最少等分次数为4，零点近似值为. 故选：A. 4．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用零点存在定理结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 由，，，得在内有零点 所以经过3次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 5．华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可. 【详解】由题意， 由参考数值可得：， 大约增加了， 故选：B 6．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据及物体经过物体的温度为得出的值，再求出时的值即可． 【详解】由题意得，，，代入， ，即， 所以， 所以， 由题意得，，代入， 即，得， 即， 解得， 即若使物体的温度为，需要冷却， 故选：C． 7．2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（    ）（参考数据：） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】A 【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解. 【详解】由题意得，解得，所以， 当时，得，即， 两边取对数得， 所以， 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要43年. 故选：A. 8．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数的图象，从而确定的取值． 【详解】令，则原函数等价为． 做出函数的图象如图，   图象可知 当时，函数有一个零点． 当时，函数有三个零点． 当时，函数有四个零点． 当时，函数有三个零点． 当时，函数有两个零点． 要使关于的函数有6个不同的零点， 则函数有两个根，， 且，或，， 令，则由根的分布可得， 将，代入得：， 此时的另一个根为，不满足，， 若，，则， 解得：， 故答案为：． 故选：D﹒ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】ACD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 10．蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（    ） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃ 【答案】AC 【详解】因为太阳刚落山时，蜥蜴的体温为，所以，解得. 因为，所以，所以太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于，A正确. 函数在上单调递减，，所以太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终不低于，B错误. ，，从到，蜥蜴的体温下降了，C正确. 令，即15，化简得，该方程的两个根为负数， 所以不存在太阳落山后的时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降，D错误. 11．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（    ） A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 【答案】BD 【分析】由，求出函数模型，判断选项A、B； 对于C、D：直接由得到的函数模型代入判断即可. 【详解】当时，代入得：，代入得：. 故选择函数模型②.A错误；B正确. 对于C：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为1.0.故C错误； 对于D：当时，由解得：，则小明视力的小数记录数据为0.8.故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 【答案】9 【分析】经过次二分以后区间长度为，若近似解的绝对误差不超过0.01，则，求解可得二分区间的次数，即至少需要计算中点函数值的次数. 【详解】设要使近似解的绝对误差不超过0.01，至少需要计算次中点函数值. 因为区间的长度为，所以经过次二分以后区间长度为. 所以，化简得. 因为，且，所以. 所以至少需要计算次中点函数值. 故答案为：. 13．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______. ① 有且只一个零点       ②的零点在内 ③ 的零点在内        ④的零点在内 【答案】①② 【分析】函数为上的增函数，结合， 可知①、②正确， 因 ，故 的符号为两正一负或全负，从而③、④错误． 【详解】因为 ，均为上的单调增函数，故为上的增函数． 因为，，由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内，故①、②正确． 因 ，故 的符号为两正一负或全负， 而，故或者， 若，则零点在内； 若，则零点在内．故③、④错误． 综上，填①②． 【点睛】本题考查函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取． 14．有关数据显示，2022年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%．由此可知，如果不采取有效措施，则从_______年（填具体年份）开始，快递行业产生的年包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：，） 【答案】2028 【分析】根据题意可知我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列，公比为1.5,写出年份及包装垃圾之间的通项公式,使其大于4000，解出不等式，即可选出结果. 【详解】设快递行业产生的包装垃圾为万吨，表示从2022年开始增加的年份数，由题意可得，，得， 两边取对数可得，∴，得，解得，∴从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨. 故答案为：2028 4、 解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 【答案】(1)令， 则， 令， 在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：    因为，即， 所以在区间（-1,0）内有零点， 再由图象知在区间（-1,0）内有一个零点. (2) 【分析】（1）令，转化为函数的交点问题，利用数形结合法证明； （2）利用函数零点存在定理，根据（1）的建立求解. 【详解】（1）略 （2）由； 由； 由； 由， 所以. 16．1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号 1 （金星） 2 （地球） 3 （火星） 4 （    ） 5 （木星） 6 （土星） 离太阳的距离 (1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）； ①；②；③． (2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合） (3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离． 【答案】(1)散点图如下： 模型②符合题意 (2)， 当时，，误差，吻合， 当时，，误差，吻合， 所以，模型与数据吻合； (3) 【分析】（1）根据已知作出散点图，根据散点图结合所给函数模型图像性质得出答案； （2）将三点代入所选函数模型，求出参数，在根据后两点验证即可； （3）根据（2）求出的函数模型，令，即可求出. 【详解】（1）散点图如图所示： 根据散点图可知，模型②符合题意； （2）将，，分别代入， 得，解得，， 所以 当时，，误差，吻合， 当时，，误差，吻合， 所以，模型与数据吻合； （3）当时，， 即谷神星距太阳的距离为. 17．已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）函数在区间内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确度0.3）；若没有零点，说明理由. （参考数据：，，，，，） 【答案】（1）见解析；（2）有， 【分析】（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f（x）在区间上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数在区间上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）. 【详解】（1）函数在区间上是增函数， 设，且， 则， 所以， 故函数在区间上是增函数. （2）是增函数， 又因为，， 所以连续函数在区间上有且仅有一个零点 因为， 所以 又因为， 所以 又，所以零点的近似值为. 【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题. 18．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程可求得的值； （2）由题意可得，有两个不同的实数根，设，则在有两个不同的解，再利用二次函数的性质求得的范围． 【详解】（1）当时，有, 所以，即，即， 解得，所以解集为． （2）因为方程有两个不同的实数根， 即有两个不同的实数根， 设，则在有两个不同的解． 令，只需： 解得：，即的范围为 19．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）4千克，505元. 【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式； （2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可． 【详解】解：（1）由题意得：， （2）由（1）中 得 （i）当时，； （ii）当时， 当且仅当时，即时等号成立. 因为，所以当时，， 所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式； （2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期数学周周测12 4.5函数与方程＋章末复习 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2023年，通过市场调查，得到肉价在8~11四个月的市场平均价(单位：元/斤)与时间 (单位：月)的数据如下： 8 9 10 11 28.00 33.99 36.00 34.02 现有三种函数模型：，，，找出你认为最适合的函数模型，并估计2023年12月份的肉市场的平均价为（　　） A．28 B．25 C．23 D．21 2．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625 1.0986 0.512 0.215 0.066 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（    ） A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75 3．用二分法逐次计算函数在区间内的一个零点附近的函数值，所得部分数据如下表.若要使的零点的近似值精确度为0.1，则对区间最少等分次数和零点近似值分别是（    ） 1 2 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.53125 0.693 0.310 0.110 0.009 A．4次，1.55 B．4次，1.57 C．5次，1.60 D．5次，1.65 4．已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 5．华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 6．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是，环境温度是，则经过物体的温度将满足，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，若放在的空气中冷却，经过物体的温度为，则若使物体的温度为，需要冷却（    ） A． B． C． D． 7．2023年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（    ）（参考数据：） A．年 B．年 C．年 D．年 8．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 10．蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（    ） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃ 11．常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．（参考数据：）根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是（    ） A．选择函数模型① B．选择函数模型② C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记录数据为0.9 D．小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记录数据为0.8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在区间上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.01，则至少需要计算中点函数值的次数为______. 13．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______. ① 有且只一个零点       ②的零点在内 ③ 的零点在内        ④的零点在内 14．有关数据显示，2022年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨．有专家预测，如果不采取措施，快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%．由此可知，如果不采取有效措施，则从_______年（填具体年份）开始，快递行业产生的年包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：，） 4、 解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设函数. (1)证明：在区间（-1,0）内有一个零点； (2)借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解.（精确到0.1） 16．1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星．科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：，是天文学中计量天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据： 行星编号 1 （金星） 2 （地球） 3 （火星） 4 （    ） 5 （木星） 6 （土星） 离太阳的距离 (1)为了描述行星离太阳的距离与行星编号之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）； ①；②；③． (2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；（误差小于0.2的为吻合） (3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离． 17．已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）函数在区间内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确度0.3）；若没有零点，说明理由. （参考数据：，，，，，） 18．已知函数． (1)若，求方程的解集； (2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围． 19．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $