重难点培优03 条件概率、全概率公式及相互独立事件的8大热点题型（含贝叶斯公式）（培优讲义）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

重难点培优03 条件概率、全概率公式及相互独立事件的8大热点题型（含贝叶斯公式）内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 求条件概率 3 题型2 条件概率的性质 4 题型3 相互独立事件的判断 6 题型4 相互独立事件的概率 10 题型5 全概率公式的应用 12 题型6 贝叶斯公式的应用 15 题型7 概率间的综合 18 题型8 概率与数列的综合 22 分层进阶·双阶训练验成效 27 巩固过关 27 创新提升 37 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 相互独立事件 1．相互独立事件的概念 若事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称事件A与B是相互独立事件. 2．概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B). 3．性质 (1)若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P()P()…P(). 【注意】相互独立事件不一定互斥. 知识点2 条件概率 1．条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 2．条件概率的求法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 3．乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 知识点3 全概率公式 1．样本空间的一个划分 设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若 (1)BiBj＝⌀，其中i≠j(i，j＝1，2，…，n)， (2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω， 则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分. 条件①表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个； 条件②表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生. 2．全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝P(Bi)P(A｜Bi)，称上式为全概率公式. 知识点4 贝叶斯公式 1．贝叶斯公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则 P(Bi｜A)＝. 2．贝叶斯公式的作用 贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 题型深研·通法变式提能力 题型1 求条件概率 【典例1-1】（25-26高三上·全国·单元测试）在某电路上有两个元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，有且只有一个需要更换的概率为0.38，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】记事件为“在某次通电后有且只有一个需要更换”， 事件为“需要更换”，则，， 由条件概率公式可得． 故选：A. 【典例1-2】（25-26高二下·山东东营·期末）在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查条件概率的计算，通过计数事件A、事件AB包含的基本事件数，结合条件概率公式求解即可. 【详解】甲乙各自从4个主题中随机选择1个，共有种等可能的基本事件。 事件的对立事件为“甲乙都不选择‘玩水乐园’”，此时每人有3种可选主题，共种基本事件，因此， 表示“至少一人选玩水乐园且两人选择的主题不同”，分两类：①甲选玩水乐园、乙选其他主题，共3种； ②乙选玩水乐园、甲选其他主题，共3种，因此， 根据古典概型下的条件概率公式，代入得. 方法技巧 求条件概率的常用方法 1．定义法：P(B｜A)＝. 2．样本点法：P(B｜A)＝. 3．缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解. 【变式1-1】从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式及条件概率公式求解即可. 【详解】第一次抽到3或6的概率为，所以， 当第一次抽到3时：第二次可抽4,5,6,7，共4种情况； 当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况， 所以， . 故选：A. 【变式1-2】盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，则， 则，， 由条件概率公式可得， 故选：C. 题型2 条件概率的性质 【典例2-1】（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率的性质和公式计算，再结合对立事件的概率公式即可求解. 【详解】已知，， 根据条件概率公式，得， 根据条件概率的性质，在事件发生的条件下，事件发生与事件不发生是对立事件， 所以， 因此，故A正确. 【典例2-2】已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 方法技巧 条件概率性质的应用策略 1．以定义与条件概率的性质为核心解题工具。遇“已知某事件发生”，先缩小样本空间简化计数； 2．求多事件同时发生用乘法链式公式；正面分类繁琐则用对立条件概率转换. 3．互斥事件借助条件可加性拆分计算.复杂综合题先用全概率分解总概率，再通过贝叶斯反向推导后验概率，分清先验、条件、联合概率，理清事件先后与因果，减少重复运算. 【变式2-1】（25-26高二下·湖北黄冈·期末）若随机事件A，B的概率满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式先求得事件A、B的联合概率，再代入另一条件概率公式变形求解. 【详解】对于随机事件，当时，，变形可得， 所以 当时，，变形可得， 所以. 【变式2-2】（25-26高二下·福建宁德·期末）若事件，满足，，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即， 所以事件、为独立事件， 因此，故选项B正确. 则也独立，因此，A错误； 因为事件、为独立事件， 所以事件、不是互斥事件也不是对立事件， 所以选项CD错误， 题型3 相互独立事件的判断 【典例3-1】（25-26高三上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的关系判断A,C；根据对立事件概率计算即可判断B；根据结合古典概型求解概率，结合独立事件概率性质即可判断D. 【详解】若两次掷出的点数之和是4，由于每次掷出的点数都在1到6之间， 所以第一次掷出的点数一定小于4，而“两次掷出的点数相同”中的“”的点数之和等于4， 故与不互斥，故A错误； “至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”， 所以，故B错误； 由于“至少出现一个奇数点”的对立事件是“两次掷出的点数都是偶数点”．故B与D不是对立的，故C错误； 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次出现的点数组有种等可能的不同情况， 第二次掷出的点数为偶数的情况有共18种不同情况， 两次掷出的点数相同的情况有：共6种， 两次掷出的点数相同且第二次掷出的点数为偶数的情况有共3种情况， 所以， 所以，所以独立，故正确． 故选：D. 【典例3-2】（25-26高三上·重庆·月考）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据图中事件的关系，结合独立事件的判定判断各项的正误即可. 【详解】①：由题图知：为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，不正确； ②：由图得，则， 则有，所以图中事件A，B相互独立，正确； ③：设图中的小的长方形的面积为， 由，， 所以，则题图中事件A，B相互独立，正确， 故选：C 方法技巧 条件概率与全概率公式 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. (2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立. (3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与，与B，也相互独立. 【变式3-1】（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】围绕有放回抽样中的互斥事件、独立事件、概率加法公式三个核心概念，通过对样本空间的枚举和概率计算，逐一验证选项的正确性． 【详解】选项A：事件是第一次取出编号1，事件是两次编号之和为5， 二者存在公共样本点（第一次取1，第二次取4，同时满足E和G），即，因此事件E与事件G不互斥，A错误． 选项B：（第二次取1的样本点共6个）， （两次和为5的样本点为 ，共4个）， （同时满足第二次取1、两次和为5的样本点仅，共1个）， 验证得，因此事件与事件不相互独立，B错误． 选项C：， （两次和为奇数等价于两次取出的数一奇一偶，总样本数为）， （第一次取1为奇数，第二次需要取偶数才能让和为奇数，第二次可取，共3个样本点）， 验证得， 满足独立事件定义，因此事件与事件相互独立，C正确． 选项D：根据概率的加法公式， 其中（两次都取1的样本点仅1个）， 代入计算：，因此D错误． 【变式3-2】（25-26高三上·安徽阜阳·月考）一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 【答案】D 【分析】根据对立事件和独立事件的定义、公式进行逐项判断即可. 【详解】由题意知，， 事件有，共4个，， 事件有，共3个，. 易知与是互斥事件，但不是对立事件，与可同时发生，不是互斥事件， ，与不是相互独立事件， ，与是相互独立事件. 故选：D. 题型4 相互独立事件的概率 【典例4-1】（25-26高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式结合对立事件的概率求解即可. 【详解】目标恰好被命中两次的概率为. 【典例4-2】（25-26高三上·山东济宁·月考）在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.6，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲、乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. (1)甲第二次闯关获得奖品的概率； (2)求甲和乙两人中恰有一人获得奖品的概率. 【分析】（1）根据对立事件概率公式和独立事件乘法概率公式求解即可； （2）根据互斥事件加法概率公式、对立事件概率公式和独立事件乘法概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件“甲第次闯关成功”，，2， 则，. 甲第二次闯关获得奖品事件为，且与相互独立， 设甲第二次闯关获得奖品为事件，. . （2）设事件“乙第次闯关成功”，，2，则，. 设事件“乙获得奖品”，事件“乙未获得奖品”，则， 乙获得奖品的概率为. 事件“甲获得奖品”，则事件“甲未获得奖品”. ， 设事件“甲和乙两人中恰有一人获得奖品”，则 . 故甲和乙两人中恰有一人获得奖品的概率0.33. 方法技巧 相互独立事件的概率问题的求解策略 1．直接法：适用于所求事件可拆为独立事件同时发生，利用独立公式P(AB)=P(A)P(B)，多事件链式相乘；若为互斥独立事件和，分拆后分别相乘再相加，直接正向计算目标概率。 2．间接法：适用于含 “至少、至多” 的复杂正向分类，先求对立事件概率，再用 P(A)=1-，独立事件对立仍独立，可快速算反面同时不发生的概率，大幅减少分类计算量. 两类方法按需选用，优先判断正面计算复杂度择简求解. 【变式4-1】（25-26高一下·河北张家口·期末）小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（    ） A．0.48 B．0.3 C．0.12 D．0.92 【答案】D 【详解】设事件为小明投中，事件为小星投中， 则至少有一人投中的概率为. 【变式4-2】（2026·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 【分析】（1）由题意分析知第一轮选手的对战情况分别为，，，即可得出答案； （2）设事件“选手与选手相遇”，分为对战情况分别为，，，求出其概率，相加即可得出答案. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，由独立事件的乘法公式求出、，比较，的大小即可得出答案. 【详解】（1）第一轮选手的对战情况分别为，，，故总方案数3； （2）设事件“选手与选手相遇”， 当对战为时，，两选手相遇的概率为1； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 当对战为时，，两选手相遇的概率为； 抽到三种对战的概率均为，则. 综上可知选手与选手相遇的概率为. （3）设采用方案一，二种子选手夺冠的概率分别为，，则 采用方案一，假设分组为， 第一轮两种子选手获胜，则第二轮种子选手一定夺冠：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，则种子选手不能获胜， 所以； 采用方案二：假设分组为， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 第一轮选手获胜，第二轮获胜：， 则，所以， 因此方案一种子选手夺冠的概率更大. 题型5 全概率公式的应用 【典例5-1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合全概率公式、条件概率公式即可求出结果. 【详解】依题意，定义事件“零件为第台车床加工”，事件“零件为次品”； 所以 即任取一个零件是次品的概率为. 【典例5-2】（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为. (1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由； (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (3)根据上述结果，能得出什么结论？ 【分析】（1）求出，，根据相互独立事件的定义判断即可； （2）利用全概率公式，即可得到. （3）由和，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联. 【详解】（1）与不相互独立，理由如下： 已知，， 所以； 因为； 所以， 所以与不相互独立. （2）设为 “每天玩手机不超过 1 小时”，则 所以 即，所以. （3）从计算结果可以看出：每天玩手机超过1小时的学生近视率50%明显高于不超过1小时的学生近视率37.5%，说明长时间玩手机与近视存在一定的关联. 方法技巧 全概率公式的适用范围及步骤 1.适用范围：所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. 2.运用全概率公式的一般步骤 第一步：求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； 第二步：求P(Ai)(i＝1，2，…，n)； 第三步：求P(B｜Ai)(i＝1，2，…，n)； 第四步：求目标事件的概率P(B). 【注意】(1)对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.(2)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可. 【变式5-1】（25-26高三上·河南·月考）某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率及全概率公式可得. 【详解】记“抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，朝下的一面为点”为事件. 记“取出的卡片全是红色”为事件B. . 则. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二下·海南·期末）某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先划分垃圾邮件、正常邮件两个互斥完备事件组，求出两类邮件各自的发生概率，再结合对应过滤的条件概率，套用全概率公式分别计算两类邮件被过滤的概率并求和，得到邮件整体被过滤的概率． 【详解】设“邮件是垃圾邮件”为事件，“邮件是正常邮件”为事件，“邮件被过滤”为事件， 则，，，， 所以． 【变式5-3】（25-26高三上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 【分析】（1）根据条件概率公式计算即可； （2）假设相应的事件并求出其概率，然后根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）设事件“第次抽到歌曲”（），则，， 所以； 故在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率为； （2）设事件“取到歌曲”，事件“掷出的点数为1或2”，则事件“掷出的点数为3，4，5，6”，显然与为对立事件； 所以，，，； 由全概率公式得. 所以取到歌曲的概率为. 题型6 贝叶斯公式的应用 【典例6-1】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设表示骰子投掷出点，表示“取出卡片全为红色”，分别求出，利用全概率公式求出，进而利用条件概率公式计算求解． 【详解】设表示骰子投掷出点，均匀的骰子满足， 设表示“取出卡片全为红色”，已知红色共3张，则时，， 时，； 时，； 时，； 则， ， 则． 【典例6-2】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 【答案】D 【分析】设相应事件，对于AB：利用全概率公式和对立事件分析求解；对于CD：根据题意结合贝叶斯公式运算求解. 【详解】设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，则：第一天去乙影院，：第二天去乙影院， 可得，，，， A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D 方法技巧 全概率公式和贝叶斯公式的区别 1.从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率. 2.从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率.贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计. 3.从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率)，而贝叶斯公式可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率). 【变式6-1】（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 【变式6-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型. (1)求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； (2)如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 【分析】（1）根据条件，利用全概率公式，即可求解； （2）利用（1）中结果，再由条件概率公式和贝叶斯公式，即可求解. 【详解】（1）设事件、、分别表示抽取的AI模型出自甲、乙、丙三家企业，事件表示抽取的AI模型存在代码漏洞， 由题设条件可知，， ， 由全概率公式得 . （2）由（1）知，，， 所以. 题型7 概率间的综合 【典例7-1】（多选）（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【答案】BC 【分析】A选项利用条件概率和全概率公式求出和，再利用独立事件的定义进行判断即可；B选项利用条件概率求解；C选项由全概率公式求解；D选项利用贝叶斯公式进行求解. 【详解】设“小明与父母一起爬山”，“选择甲路线”， 则“小明不与父母一起爬山”，“选择乙路线”， ，，， ，， 对于A选项，，， 根据全概率公式可得，， ， “小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”不是相互独立事件，故A错误； 对于B选项，小明与父母一起选择乙路线登山为， ，， ， 即小明与父母一起选择乙路线登山的概率为，故B正确； 对于C选项，由A选项的解析可知， 即小明选择甲路线登山的概率为，故C正确； 对于D选项，已知小明从乙路线登山，求他与父母一起爬山的概率，即求， ，， 根据条件概率公式可得，， 再根据贝叶斯公式可得，，故D错误. 故选：BC. 【典例7-2】（25-26高二下·天津南开·期末）已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 【答案】D 【分析】根据已知及有无放回，利用古典概型的概率求法及独立事件乘法公式、互斥事件加法、独立事件的定义依次判断各项的正误. 【详解】A：甲摸到红球的概率且有放回，乙摸球时口袋中球的情况没有变化， 所以乙摸到红球的概率，故，正确， B：甲摸到红球的概率且不放回， 乙摸到红球可以分为两种情况： 甲摸到红球的概率，乙摸到红球的概率为，则， 甲摸到白球的概率，乙摸到红球的概率，则， 所以乙摸到红球的总概率，故，正确， C：由A分析知且放回，甲摸到红球对乙摸球没有影响， 所以，故，正确， D：由B分析知且不放回，已知甲摸到红球后，袋中剩余2个球（1红1白）， 此时乙摸到红球的概率为，显然，即，错误. 方法技巧 概率间的综合问题求解策略 先区分古典、几何、独立、二项、条件概率模型，梳理事件关系。第一步界定已知条件，判断是否独立、有无先后，区分同时发生与分步试验；多阶段问题先用乘法、全概率拆分，含 “至少” 优先间接法算对立。涉及反向推理用贝叶斯公式，离散重复试验套二项分布。理清样本空间，互斥事件用加法公式，最后检验概率取值范围，简化繁杂分类，规避模型混用出错. 【变式7-1】（25-26高三上·天津北辰·月考）甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 . 【答案】 【分析】分析出第3次投壶的人是乙的四种情况，逐一求得概率，综合即可得答案；根据条件概率的公式，分别求出各个概率，即可得答案. 【详解】第3次投壶的人是乙的有四种情况： ①第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙， 概率； ②第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙， 概率； ③第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙， 概率； ④第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙， 概率； 综上，第3次投壶的人是乙的概率； 设第2次投壶的人是甲为事件A，第1次投壶的人是乙为事件B， 则，， 则， 所以在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为. 故答案为： ； 【变式7-2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束. 已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率. 【分析】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜,最多比赛四场结束且甲队获胜，对应如下应事件，利用独立事件和互斥事件的概率计算即可得出结果； （2）事件表示第一场甲获胜，则事件A表示甲以3：1获胜，即求条件概率，由，计算即可得出结果. 【详解】（1）设事件表示甲队第场比赛获胜 （2）设事件表示第一场甲获胜，事件A表示甲以3：1获胜，则 . 所以A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为. 题型8 概率与数列的综合 【典例8-1】（2026·浙江·二模）甲、乙两人进行摸小球游戏，游戏规则为：一个盒子中装有颜色为红、绿、黄、蓝、黑、白的小球各一个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，若摸到其他颜色的小球，记其颜色为后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回地摸取小球，直至任意一人摸出红球或颜色为的小球，该游戏结束.若结束时摸出的是红球，则乙获胜；若结束时摸出的是颜色为的小球，则甲获胜.如果甲在第次摸取后游戏恰好结束，记此时甲获胜的概率为，若，则正整数的最大值为________.（参考数据：取，.） 【答案】4 【分析】先求出时的通项公式，再令求的最大值即可. 【详解】对于，，满足条件， 当时，， 令，得，不等式两边取常用对数得， 即，解得，所以正整数的最大值为4. 【典例8-2】（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可； （2）（i）利用正难则反思想计算，利用分类讨论结合正难则反思想计算；（ii）分类讨论结合全概率公式得，利用递推关系作差即可证明. 【详解】（1）甲赢得挑战有两种情况，连续答对前四题或第一题答错后四题都答对， 其概率为：； （2）（i）； 当乙同学回答完6道题目后，出现连续答对至少4道题这一情形， 可能的情况为：6道都答对、连续答对5道（第1道或者第6道答错）、 连续答对4道（1~4道答对，第5道答错，第六道答对或者答错； 第1道答错，2~5道答对，第6道答错；第1道答对或答错，第2道答错，3~6道答对）， 故； （ii）乙同学答完n道题后，如果没有出现连续答对至少4道题的情形， 则由题意可如下分类： ①第n题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ②第n题答对，第题答错，且前题未出现连续答对至少4道题的情形， 此时概率为； ③第n题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为； ④第n题答对，第题答对，第题答对，第题答错， 且前题未出现连续答对至少4道题的情形，此时概率为， 由全概率公式：①， 因此②， ， 所以当时，，故． 方法技巧 概率与数列的综合问题求解策略 先设第 n 次对应事件概率为，结合独立、条件概率建立与与的递推关系式；分清递推类型，等差直接求通项，等比或一阶线性递推构造新等比数列。利用初始试验算出首项，结合递推求出通项。若求极限则借助无穷等比数列求和公式，运算中验证概率范围，规避递推关系列错，简化分步概率推导. 【变式8-1】（25-26高三上·安徽阜阳·月考）桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为 . 【答案】 【分析】根据独立事件、互斥事件的概率分析得到递推数列公式，进而求出数列的通项公式，即可求出第7轮甲、丁对打的概率. 【详解】设在第轮甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率为，甲、丁对打的概率为， 由题意知，， 甲与乙对打：甲、乙比赛后，胜者进入胜者组，败者进入败者组；同时丁的对手为丙，丙、丁比赛后也分出胜负. 要让下一轮甲、丁对打，需甲、丁同属胜者组或同属败者组，概率为. 甲与丙对打：同理，下一轮甲、丁对打的概率为. 甲与丁对打：此轮比赛后，甲、丁分别进入胜者组/败者组，下一轮不可能对打. 由于每轮对战的对手组合只有三种（甲乙、甲丙、甲丁），故. 因此第轮甲、丁对打的概率：，即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. 因此. 故答案为：. 【变式8-2】（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 【分析】（1）应用独立事件乘法公式求丙组队员一次未投的概率； （2）（i）根据已知及概率的性质得到，构造法确定为等比数列，从而写出其通项公式；（ii）由题设，，两式作差且令，应用累加法、等比数列的前n项和公式求，从而得到的通项，应用分类讨论判断证明结论. 【详解】（1）若前4次投篮结束，丙组队员一次未投， 则前3次投篮情形为1号中，2号未中，4号中，其概率为. （2）（i）由题意知， 且， 所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （ⅱ）依题意，，， 所以. 两边同乘，得. 令，则. 当时， ，其中， ， 所以. 当为奇数且时，即时，. 当为偶数且时，， 当为偶数且时，令，可化为. 因为，所以， 故存在，使得当时，. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 【答案】C 【详解】因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(A)P(B)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)≠0，所以事件A与B相互独立，事件A与B不互斥也不对立.故选C. 2．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为(　　) A.0.24 B.0.36 C.0.48 D.0.75 【答案】C 【详解】设该射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”为事件B，由题意得P(A)＝0.6，P(B｜A)＝0.8，所以该射击运动员两次均击中9环的概率为P(AB)＝P(A)P(B｜A)＝0.6×0.8＝0.48.故选C. 3．（25-26高一下·江西宜春·期中）已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率公式可得出的值，根据，且与互斥，结合互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可得出的值. 【详解】由条件概率公式可得 ，所以， 又因为，且与互斥，则， 由条件概率公式可得. 4．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60％的同学爱好滑冰，50％的同学爱好滑雪，70％的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 【答案】A 【详解】令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A｜B)＝＝＝0.8.故选A. 5．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（    ） A．34% B．36% C．38% D．40% 【答案】B 【详解】设事件：今天晴天；：明天晴天，：明天阴天； ：后天晴天，：后天阴天. 已知，，，，. 由全概率公式得， . 6．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由全概率公式求出某人被判定为“正常”的概率，再由贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】设表示“食堂员工”，表示“非食堂员工”，设表示“正常”， 已知非食堂员工和食堂员工的比为，则，， 食堂员工被判定为“异常”的概率为，则食堂员工被判定为“正常”的概率， 非食堂员工被判定为“正常”的概率， 因此某人被判定为“正常”的概率为， 所以. 7．（25-26高二下·广东·期末）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分第一次取红球或白球两种情况讨论，再利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件：第一次取到红球； 事件：第一次取到白球； 事件：第二次取到2个红球， 则，， , 由全概率公式得 =. 8．（25-26高二下·广东肇庆·期末）某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助贝叶斯公式计算即可得. 【详解】设事件、、分别表示“小明从该题库中选中、、类题目”， 事件表示“小明答对了选中的题目”， 则 . 9．（多选）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为 B．第二次抽到号球的概率为 C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小 D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球 【答案】ACD 【分析】分析出第一次抽到号球后，号盒子内球的编号及个数，结合古典概型的概率公式可判断A选项正确；利用全概率公式可判断B选项错误；利用贝叶斯公式可判断C选项正确；给出具体操作，可判断D正确. 【详解】记第一次取得号球为事件，则， 对于A选项，若第一次抽到号球，则接下来将号球放入号盒子， 此时号盒子中共有个球，其中有个号球， 故在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为，A对； 对于B选项，记第二次取到号球为事件， 由题意可得，， 由全概率公式可得 ，B错； 对于C选项，由条件概率公式可得， ， ， 所以， 故如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小，C对； 对于D选项，按下表操作： 1号盒 2号盒 3号盒 初始状态 123 123 123 第一次操作 13 1223 123 第二次操作 13 122 1233 第三次操作 113 122 233 第四次操作 11 122 2333 第五次操作 11 1222 333 第六次操作 111 222 333 选项D正确. 10．(多选)（2026·山东德州·三模）某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 【答案】ABD 【分析】对A根据相互独立事件的概率计算可得；对B分有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道，再根据相互独立事件的概率计算可得；对C直接根据期望的性质计算可得；对D根据贝叶斯公式计算可得. 【详解】对于A，答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题全部答对， 由相互独立事件的概率公式得，A正确. 对于B，至少答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道， 答对道的概率：由A选项可知为； 答对道分两种情况： ① 道有思路的全对、道无思路的错：； ​ ② 道有思路的对、道有思路的错、道无思路的对：， 因此总概率：，​ 故B正确. 对于C，设答对总题数为，则（​分别为两道有思路题答对的题数，​为无思路题答对的题数）， 由期望的性质得 ， 因为， 故C错误. 对于D，设“题目做对”，“题目完全掌握”，“题目有思路”，“题目无思路”， 则，，， 根据贝叶斯公式 ，故D正确. 11．（25-26高三上·北京海淀·期末）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________. 【答案】/0.04608 【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：或或，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为 故答案为：0.04608 12．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）某工厂有A，B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是A，B两个车间生产的，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为__________. 【答案】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式求解. 【详解】设事件表示“产品来自 车间”；事件表示“产品来自 车间”，事件表示“产品不合格”， ,,, 由全概率公式得, 所以从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为. 13．（25-26高二下·北京·期中）甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________． 【答案】 /0.375 【分析】由相互独立事件的概率公式可得空1；分甲对2个乙对一个和甲对1个乙对2个两种情况，根据相互独立事件概率乘法公式分别计算，然后可得. 【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，可得 设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 14．三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________． 【答案】 【分析】根据题意可知电路正常工作的条件为正常工作，，中至少有一个正常工作，然后利用独立事件乘法公式分类讨论，，接入的元件不同的情况下电路正常工作的概率，结合，，的大小关系判断最大概率. 【详解】由题意，元件，，不正常工作的概率分别为，， 电路正常工作的条件为正常工作，，中至少有一个正常工作， （1）若，，接入的元件为，，或，，， 则此电路正常工作的概率是； （2）若，，接入的元件为，，或，，， 则此电路正常工作的概率是； （3）若，，接入的元件为，，或，，， 则此电路正常工作的概率是 因为， 所以， 所以此电路正常工作的最大概率是. 15．（24-25高一下·江西宜春·阶段检测）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【分析】(1)4局比赛中,对甲恰好有2局比赛获胜的情况分类分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式,即可求得甲恰好有2局比赛获胜的概率; (2) 4局比赛中，甲获胜的局数比乙获胜的局数多的情况分析，然后利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，即可求得甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以. （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 16．（2025·四川南充·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式，某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. (1)求比赛结束后甲获胜的概率； (2)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 【分析】（1）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利试验的概率计算式计算即可； （2）由（1）可知甲获胜的概率，只需计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可. 【详解】（1）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为， 所以，，， 比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10,20,30， 所以，，, 所以比赛结束后甲获胜的概率. （2）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”， ， 所以， 所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为. 17．（25-26高三下·河南·开学考试）为喜迎新春营造节日气氛，某市医保局工会组织全体职工开展了“迎新春促和谐”象棋比赛、猜谜语、写新年寄语活动，参与人员热情高涨，场面气氛活跃，充分展示了该市医保局干部团结、拼搏、积极向上的精神风貌．此次活动不仅弘扬了中华传统，也丰富了职工节日文化生活，增强了医保队伍的凝聚力、向心力、战斗力．甲、乙两位职工进行猜谜语比赛，比赛规则如下：“若甲猜对谜语，由甲继续猜下一道谜语；若甲猜错谜语，由乙接着猜下一道谜语；反之亦然．”已知甲、乙猜对每一道谜语的概率都为，且甲、乙猜每一道谜语之间互相独立． (1)若第1道谜语由甲、乙猜的概率分别是和，求第3道谜语由甲猜的概率； (2)假设谜语的数量足够多，若第1道谜语由乙先猜，求第30道谜语由乙猜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分情况列举前3道题的答题情况，再利用独立事件概率公式，即可求解； （2）首先设第道谜语由乙猜的概率为，再列出关于的递推公式，即可求解. 【详解】（1）第3道谜语由甲猜分如下四种情况： ①甲猜对第一道谜语，甲猜对第二道谜语，有； ②甲猜错第一道谜语，乙猜错第二道谜语，有； ③乙猜对第一道谜语，乙猜错第二道谜语，有； ④乙猜错第一道谜语，甲猜对第二道谜语，有， 故第3道谜语由甲猜的概率为； （2）记第道谜语由乙猜的概率为， 第道谜语由乙猜的概率为，由甲猜的概率为， 时，有， 整理为，可化为， 可得数列是公比为的等比数列， 又由，有，可得． 创新提升 1．（25-26高二下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率，全概率公式求解. 【详解】设事件表示“抽取的智能驾驶系统发生故障”,事件表示 “故障系统来自甲供应商”,事件表示 “故障系统来自乙供应商”,事件表示“故障系统来自丙供应商”, 总采购套数是（套），所以,, 由题意可知， 由全概率公式，得总故障概率是 ， 所以甲供应商责任概率是, 乙供应商责任概率是, 丙供应商责任概率是, 所以甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为. 2．（25-26高二下·江苏无锡·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（     ）台车床的概率最大 A．1 B．2 C．3 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件为“取到次品”，事件为“零件来自第台机床”（）. 由题意知，，；，；，， 由全概率公式得 . 所以， ， ， 因为，所以次品来自第2台车床的概率最大. 3．（25-26高二下·北京·阶段检测）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【详解】对于①，由题可知： , ， 若取红球入乙罐(发生)，乙罐红球变为5个，总球数为11个： 若取白球入乙罐(发生)，乙罐红球仍为4个，总球数为11个： 若取黑球入乙罐(发生)，乙罐红球仍为4个，总球数为11个： 由全概率公式可得： 代入得：，所以①错误，②正确； 对于③， ，则事件与事件不相互独立，所以③错误； 对于④，从甲罐只取一个球，不可能有两种颜色，则两两互斥，所以④正确. 4．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，，则； D．若，则． 【答案】AC 【分析】利用条件概率公式推导即可判断A；利用条件概率公式，结合对立事件性质，即可判断B；利用条件概率公式将两个式子展开化简即可判断C；利用对立事件的概率和，再结合条件概率公式和加法公式推导，即可判断D. 【详解】A.根据条件概率公式得,即， 两边同除以得，即，A正确； B.已知，即, 又整理得，， 即，即， 因此，B错误； C.化简得 ， ，C正确； D.已知，且， 即，所以， 整理得，而， 因此，D错误. 5．（26-27高三上·浙江·开学考试）左轮手枪的弹仓共有6个可装填子弹的位置，每尝试击发一次后，弹仓便会顺时针转动一个子弹的位置．现有2个子弹装填在相邻的位置上，如图所示，不考虑偶然故障，则一次击发打出子弹的概率为________；若连续进行两次击发，其中第二发为空枪，则第一发也为空枪的概率是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据随机击发一次，击发每个位置的可能性相等即可求解；（2）分别讨论事件“第一发为空枪且第二发为空枪”的概率以及事件“第二发为空枪”的概率，然后根据条件概率公式进行求解. 【详解】（1）因为弹仓共有6个位置，其中两个装子弹。 随机击发一次，击发每个位置的可能性相等， 由古典概率模型可得. （2）由对称性，可设固定子弹位置为1，2，其余位置（3，4，5，6）为空仓. 设事件为第一发为空枪（即初始位置）； 设事件为第二发为空枪（即击发一次后，弹仓顺时针转动一格，下一位置） 对于事件， 第二发为空枪，意味着转动后的位置不能是子弹所在的1或2， 即，于是初始位置， 所以初始位置，所以 对于事件， 意味着初始位置（保证第一发空）， 且，即， 所以满足初始条件的位置有.所以， 所以 6．（25-26高二下·四川遂宁·期中）2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 【答案】 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且，由全概率公式可得，从而得出的递推关系，再凑配出等比数列后利用等比数列的通项公式求解. 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，，则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 7．（25-26高三上·河南·开学考试）某考生在做高考数学模拟题第题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有个选项正确．评分标准为：全部选对得分，部分选对得分，选到错误选项得分．设此题正确答案为个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）． (1)若，该考生随机选择个选项，求得分的分布列及数学期望； (2)为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下二种方案中选一种，并说明理由． 方案—：随机选择一个选项； 方案二：随机选择二个选项． 【分析】（1）根据全概率公式可分别求得考生得分和分的概率，由此可得分布列；由数学期望公式可求得期望值； （2）结合全概率公式，分别求得每种方案考生得分情况对应的概率，进而求得得分的数学期望，比较两个期望值的大小即可确定应选择的方案. 【详解】（1）设多选题正确答案是“选两项”为事件，正确答案是“选三项”为事件， 则，，； 分别记考生得分,分,5分为事件， ，， ； ； 得分的分布列为： 得分的数学期望. （2）方案一：随机选择一个选项 正确答案是“选两项”时，考生选项，选对得分，选错得分； 正确答案是“选三项”时，考生选项，选对得分，选错得分． ，， ； ； 随机选择一个选项得分的数学期望为； 方案二：随机选择两个选项； ； ； ； 随机选择两个选项得分的数学期望为； ，选择方案一. 8．已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． (1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； (2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 【分析】（1）求出第一次摸到第1，2，3号球的概率，结合已知条件，利用全概率公式及条件概率公式依次计算即得. （2）①求出第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率；②利用全概率公式推理即得. 【详解】（1）设第一次摸到球的事件为，第二次摸到的是3号球的事件为， 第二次在第号袋子里摸到的是3号球的事件为，， ， 于是， 所以第二次摸到的是3号球，它来自1号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自2号袋子的概率； 第二次摸到的是3号球，它来自3号袋子的概率. （2）①依题意，，即第一次摸出1号球，并放入1号袋子，第二次从该袋子摸出2号球的概率， 所以. ②由定义及全概率公式知， ， 所以. 8．（2026·江苏·三模）某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解； （2）分析出事件发生分两步：第次考试后恰好通过第2级考试，概率为，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过，概率为，由全概率公式及错位相减法即可求解； （3）由题意表示出，由条件概率公式及作差法得出，构造数列，得出的大小情况，进而得出与的大小． 【详解】（1）依题意，， ． （2）事件发生分两步： 第一步，第次考试后恰好通过第2级考试，概率为， 第二步，第次至次参加第3级考试没有通过，第次通过，概率为； 由全概率公式得，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以，所以． （3）依题意，， 又因为，， 所以， 令，则， 因为，所以， 故数列在时递增，又，， 故当，4时，， 故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较大， 当时，，故，即， 说明甲取得从业资格的前一次考试2级刚过的概率较小． 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 条件概率、全概率公式及相互独立事件的8大热点题型（含贝叶斯公式）内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 1 题型深研·通法变式提能力 3 题型1 求条件概率 3 题型2 条件概率的性质 3 题型3 相互独立事件的判断 4 题型4 相互独立事件的概率 5 题型5 全概率公式的应用 7 题型6 贝叶斯公式的应用 9 题型7 概率间的综合 10 题型8 概率与数列的综合 11 分层进阶·双阶训练验成效 13 巩固过关 13 创新提升 17 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1 相互独立事件 1．相互独立事件的概念 若事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称事件A与B是相互独立事件. 2．概率公式 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝P(A)P(B). 3．性质 (1)若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立. (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P()P()…P(). 【注意】相互独立事件不一定互斥. 知识点2 条件概率 1．条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 2．条件概率的求法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 3．乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 知识点3 全概率公式 1．样本空间的一个划分 设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若 (1)BiBj＝⌀，其中i≠j(i，j＝1，2，…，n)， (2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω， 则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分. 条件①表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个； 条件②表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生. 2．全概率公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝P(Bi)P(A｜Bi)，称上式为全概率公式. 知识点4 贝叶斯公式 1．贝叶斯公式 设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则 P(Bi｜A)＝. 2．贝叶斯公式的作用 贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 题型深研·通法变式提能力 题型1 求条件概率 【典例1-1】（25-26高三上·全国·单元测试）在某电路上有两个元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，有且只有一个需要更换的概率为0.38，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26高二下·山东东营·期末）在东营市“河海交汇，湿地油城”主题展示活动中，主办方从全市精选多处具有地方特色的旅游景点，并划分为“滨海赶海”“城市休闲”“玩水乐园”“人文景区”四大主题板块，甲乙两位游客各自随机选择一个主题体验，事件：甲和乙至少一人选择“玩水乐园”，事件：甲和乙选择的主题不同，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 求条件概率的常用方法 1．定义法：P(B｜A)＝. 2．样本点法：P(B｜A)＝. 3．缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解. 【变式1-1】从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 题型2 条件概率的性质 【典例2-1】（25-26高二下·重庆北碚·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 条件概率性质的应用策略 1．以定义与条件概率的性质为核心解题工具。遇“已知某事件发生”，先缩小样本空间简化计数； 2．求多事件同时发生用乘法链式公式；正面分类繁琐则用对立条件概率转换. 3．互斥事件借助条件可加性拆分计算.复杂综合题先用全概率分解总概率，再通过贝叶斯反向推导后验概率，分清先验、条件、联合概率，理清事件先后与因果，减少重复运算. 【变式2-1】（25-26高二下·湖北黄冈·期末）若随机事件A，B的概率满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·福建宁德·期末）若事件，满足，，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3 相互独立事件的判断 【典例3-1】（25-26高三上·河南南阳·月考）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是），表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（   ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【典例3-2】（25-26高三上·重庆·月考）为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 方法技巧 条件概率与全概率公式 判断两个事件是否相互独立的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. (2)定义法：判断P(AB)＝P(A)P(B)是否成立. (3)转化法：由事件A与事件B相互独立知，A与，与B，也相互独立. 【变式3-1】（2026·安徽合肥·二模）一盒子中装有6个编号分别为1，2，3，4，5，6的小球（小球的其余特征完全一致）．从中有放回地随机取球2次，每次取1个小球．记“第1次取出的小球的编号为1”为事件，“第2次取出的小球的编号为1”为事件，“两次取出的小球的编号之和为5”为事件，“两次取出的小球的编号之和为奇数”为事件，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 【变式3-2】（25-26高三上·安徽阜阳·月考）一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 题型4 相互独立事件的概率 【典例4-1】（25-26高一下·福建福州·期末）甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高三上·山东济宁·月考）在某闯关游戏中，每位参赛者有两次闯关机会，如果第一次闯关成功，则获得奖品，且不再进行第二次闯关；否则进行第二次闯关，第二次闯关成功则获得奖品，若两次都没成功则没有奖品.已知甲每次闯关成功的概率都是0.6，乙每次闯关成功的概率都是0.5，假设甲、乙两人闯关互不影响，且每人每次闯关是否成功相互独立. (1)甲第二次闯关获得奖品的概率； (2)求甲和乙两人中恰有一人获得奖品的概率. 方法技巧 相互独立事件的概率问题的求解策略 1．直接法：适用于所求事件可拆为独立事件同时发生，利用独立公式P(AB)=P(A)P(B)，多事件链式相乘；若为互斥独立事件和，分拆后分别相乘再相加，直接正向计算目标概率。 2．间接法：适用于含 “至少、至多” 的复杂正向分类，先求对立事件概率，再用 P(A)=1-，独立事件对立仍独立，可快速算反面同时不发生的概率，大幅减少分类计算量. 两类方法按需选用，优先判断正面计算复杂度择简求解. 【变式4-1】（25-26高一下·河北张家口·期末）小明和小星两名同学进行定点投篮球比赛，小明投中的概率为0.8，小星投中的概率为0.6．若每人投一次篮球，则至少有一人投中的概率为（    ） A．0.48 B．0.3 C．0.12 D．0.92 【变式4-2】（2026·山东·模拟预测）已知，，，四名选手参加某项比赛，其中，为种子选手，，为非种子选手，种子选手对非种子选手种子选手获胜的概率为，种子选手之间的获胜的概率为，非种子选手之间获胜的概率为．比赛规则：第一轮两两对战，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮的胜者为冠军. (1)若你是主办方，则第一轮选手的对战安排一共有多少不同的方案？ (2)选手与选手相遇的概率为多少？ (3)以下两种方案，哪一种种子选手夺冠的概率更大？ 方案一：第一轮比赛种子选手与非种子选手比赛； 方案二：第一轮比赛种子选手与种子选手比赛． 题型5 全概率公式的应用 【典例5-1】（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，，，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的，，，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（   ） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【典例5-2】（广东省汕头市2026届高三上学期1月教学质量监测数学试题）据调查，某校学生的人近视，而该校有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率为. (1)从该校任选一名学生，记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”，试判断与是否相互独立，并说明理由； (2)现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率. (3)根据上述结果，能得出什么结论？ 方法技巧 全概率公式的适用范围及步骤 1.适用范围：所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. 2.运用全概率公式的一般步骤 第一步：求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An； 第二步：求P(Ai)(i＝1，2，…，n)； 第三步：求P(B｜Ai)(i＝1，2，…，n)； 第四步：求目标事件的概率P(B). 【注意】(1)对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn.(2)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可. 【变式5-1】（25-26高三上·河南·月考）某不透明的袋子中有2张蓝色卡片，3张红色卡片，现抛掷一枚四个面分别标有1，2，3，4的正四面体，记录朝下一面的点数，掷出几点就从袋中取出几张卡片，取出的卡片全是红色的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·海南·期末）某电子邮箱具有垃圾邮件过滤功能，若任意一封电子邮件为垃圾邮件的概率为，一封垃圾邮件被过滤的概率为，一封正常邮件（即非垃圾邮件）被过滤的概率为，则任意一封电子邮件被过滤的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高三上·吉林长春·期末）现有两张演艺节目单，第一张节目单中有6首歌曲和4个小品，第二张节目单中有5首歌曲和5个小品. (1)若从第1张节目单中依次不放回地随机抽取2个节目，求在第1次抽到歌曲的条件下，第2次抽到歌曲的概率； (2)掷一枚质地均匀的骰子，若点数为1或2，则从第1张节目单中随机抽取1个节目；若点数为3，4，5，6，则从第2张节目单中随机抽取1个节目，求取到歌曲的概率. 题型6 贝叶斯公式的应用 【典例6-1】（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（     ） A． B． C． D． 【典例6-2】（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的．小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7．如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（   ） A．第二天去甲影院的概率为0.54 B．第二天去乙影院的概率为0.46 C．已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为 D．已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为 方法技巧 全概率公式和贝叶斯公式的区别 1.从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率. 2.从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率.贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计. 3.从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率)，而贝叶斯公式可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率). 【变式6-1】（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【变式6-2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）某科技园区有甲、乙、丙三家企业，产出的模型数量之比为，三家企业的模型出现代码漏洞的概率分别为3%、2%、1%，现从园区所有产出的模型中随机抽取1个模型. (1)求随机抽取的这个模型存在代码漏洞的概率； (2)如果抽到的模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率. 题型7 概率间的综合 【典例7-1】（多选）（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）小明是登山运动爱好者，经常与父母一起去爬涂山.涂山有甲、乙两条登山路线，通常，当小明与父母一起爬山时，选择甲路线的概率为，当他不和父母一起爬山时，选择乙路线的概率为，若小明与父母一起爬山的概率为，则下列结论正确的是（   ） A．“小明与父母一起爬山”与“小明选择甲路线”是相互独立事件 B．小明与父母一起选择乙路线登山的概率为 C．小明选择甲路线登山的概率为 D．已知小明从乙路线登山，则他与父母一起爬山的概率为 【典例7-2】（25-26高二下·天津南开·期末）已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 方法技巧 概率间的综合问题求解策略 先区分古典、几何、独立、二项、条件概率模型，梳理事件关系。第一步界定已知条件，判断是否独立、有无先后，区分同时发生与分步试验；多阶段问题先用乘法、全概率拆分，含 “至少” 优先间接法算对立。涉及反向推理用贝叶斯公式，离散重复试验套二项分布。理清样本空间，互斥事件用加法公式，最后检验概率取值范围，简化繁杂分类，规避模型混用出错. 【变式7-1】（25-26高三上·天津北辰·月考）甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为 ，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为 . 【变式7-2】（23-24高三上·浙江宁波·期末）杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单.现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束. 已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立 场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场 获胜概率 (1)求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率； (2)由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率. 题型8 概率与数列的综合 【典例8-1】（2026·浙江·二模）甲、乙两人进行摸小球游戏，游戏规则为：一个盒子中装有颜色为红、绿、黄、蓝、黑、白的小球各一个，每个小球除颜色外完全相同，甲先从盒子中随机摸取一个小球，如果摸到的是红球，则甲直接获胜，若摸到其他颜色的小球，记其颜色为后，放回盒子，然后从乙开始轮流有放回地摸取小球，直至任意一人摸出红球或颜色为的小球，该游戏结束.若结束时摸出的是红球，则乙获胜；若结束时摸出的是颜色为的小球，则甲获胜.如果甲在第次摸取后游戏恰好结束，记此时甲获胜的概率为，若，则正整数的最大值为________.（参考数据：取，.） 【典例8-2】（25-26高三上·云南昆明·月考）甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动，该竞答活动会逐一给出n道不同的题目供参赛者回答，每道题目的回答只有正确或错误两种情况，各道题目回答情况不会相互影响． (1)如果参赛者须回答5道问题，当连续答对4道时，即可赢得挑战，若甲同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对，求甲赢得挑战的概率； (2)若乙同学对于即将给出的各道题目，均有的概率答对．记为乙同学回答道题目后，没有出现连续答对至少4道题目这一情形的概率． （i）求； （ii）证明：． 方法技巧 概率与数列的综合问题求解策略 先设第 n 次对应事件概率为，结合独立、条件概率建立与与的递推关系式；分清递推类型，等差直接求通项，等比或一阶线性递推构造新等比数列。利用初始试验算出首项，结合递推求出通项。若求极限则借助无穷等比数列求和公式，运算中验证概率范围，规避递推关系列错，简化分步概率推导. 【变式8-1】（25-26高三上·安徽阜阳·月考）桌面游戏简称“桌游”，是一种面对面的游戏，非常注重交流，因此是家庭休闲、朋友聚会、商务闲暇等多种场合的一种较好的沟通方式.已知甲、乙、丙、丁四人相约玩“桌面足球”游戏，并约定第一轮甲、乙对打，丙、丁对打，两名优胜者组成胜者组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一轮游戏中对打.若每轮比赛无平局，且各人之间比赛胜利的概率均为，则第7轮甲、丁对打的概率为 . 【变式8-2】（2026·河南·模拟预测）某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 2．经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么该射击运动员两次均击中9环的概率为(　　) A.0.24 B.0.36 C.0.48 D.0.75 3．（25-26高一下·江西宜春·期中）已知，， ，则（ ） A． B． C． D． 4．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60％的同学爱好滑冰，50％的同学爱好滑雪，70％的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 5．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）天气分为晴天、阴天两种状态，次日天气只由当日天气决定．若今日晴天，则次日晴天的概率为 70%，阴天的概率为 30%；若今日阴天，则次日晴天的概率为 50%，阴天的概率为 50%．已知今天是晴天，则两天后为阴天的概率为（    ） A．34% B．36% C．38% D．40% 6．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）某中学食堂安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“正常”或“异常”两种判断.现对系统进行测试，结果如下：食堂员工被判定为“异常”的概率为，非食堂员工被判定为“正常”的概率为已知进入该食堂的人员中，非食堂员工和食堂员工的比为：，经测试某人被判定为“正常”，则其是食堂员工的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广东·期末）已知盒子中有9个大小相同、质地均匀的球，其中有5个红球、4个白球，不放回地取球两次，第一次任取1个球，第二次任取2个球，求第二次取到2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·广东肇庆·期末）某题库中有，，三类题目，所占比例分别为，，．小明答对，，三类题目的概率分别为，，．若他从该题库中任选一题作答并且回答正确，则此题来自类题目的概率为（    ） A． B． C． D． . 9．（多选）（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知编号为、、的三个盒子，每个盒子内都装有个球（这个球的编号分别为、、）.若第一次先从号盒子内随机抽取个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，观察之后继续放入与球同编号的盒子中，以此类推，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到号球的条件下，第二次也抽到号球的概率为 B．第二次抽到号球的概率为 C．如果第二次抽到的是号球，则它来自号盒子的概率最小 D．按题中规则，经过有限次操作，可以使得每个盒子内都只有与盒子编号相同的球 10．(多选)（2026·山东德州·三模）某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 11．（25-26高三上·北京海淀·期末）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________. 12．（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）某工厂有A，B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是和，已知某批产品的和分别是A，B两个车间生产的，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为__________. 13．（25-26高二下·北京·期中）甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________． 14．三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________． 15．（24-25高一下·江西宜春·阶段检测）甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 16．（2025·四川南充·模拟预测）“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式，某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为. (1)求比赛结束后甲获胜的概率； (2)求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率. 17．（25-26高三下·河南·开学考试）为喜迎新春营造节日气氛，某市医保局工会组织全体职工开展了“迎新春促和谐”象棋比赛、猜谜语、写新年寄语活动，参与人员热情高涨，场面气氛活跃，充分展示了该市医保局干部团结、拼搏、积极向上的精神风貌．此次活动不仅弘扬了中华传统，也丰富了职工节日文化生活，增强了医保队伍的凝聚力、向心力、战斗力．甲、乙两位职工进行猜谜语比赛，比赛规则如下：“若甲猜对谜语，由甲继续猜下一道谜语；若甲猜错谜语，由乙接着猜下一道谜语；反之亦然．”已知甲、乙猜对每一道谜语的概率都为，且甲、乙猜每一道谜语之间互相独立． (1)若第1道谜语由甲、乙猜的概率分别是和，求第3道谜语由甲猜的概率； (2)假设谜语的数量足够多，若第1道谜语由乙先猜，求第30道谜语由乙猜的概率． 创新提升 1．（25-26高二下·重庆北碚·期末）某汽车总装厂从甲、乙、丙三家供应商处采购了同一型号的智能驾驶系统，数量分别为500套、300套、200套，用于装备其生产的同款汽车.已知甲、乙、丙三家供应的该系统的故障率分别为，，.现从已售出的该款汽车中随机抽取一辆，发现其智能驾驶系统发生故障.若在无法追溯故障部件具体来源的情况下，依据概率推断责任，则甲、乙、丙三家供应商应承担的责任比为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏无锡·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（     ）台车床的概率最大 A．1 B．2 C．3 D．无法判断 3．（25-26高二下·北京·阶段检测）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是（   ） ①；②；③事件与事件相互独立；④是两两互斥的事件． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 4．（多选）（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，，则； D．若，则． 5．（26-27高三上·浙江·开学考试）左轮手枪的弹仓共有6个可装填子弹的位置，每尝试击发一次后，弹仓便会顺时针转动一个子弹的位置．现有2个子弹装填在相邻的位置上，如图所示，不考虑偶然故障，则一次击发打出子弹的概率为________；若连续进行两次击发，其中第二发为空枪，则第一发也为空枪的概率是________． 6．（25-26高二下·四川遂宁·期中）2026年春节，甲，乙等5个人在一个遂宁东辰校友微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 7．（25-26高三上·河南·开学考试）某考生在做高考数学模拟题第题时发现不会做．已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有个选项正确．评分标准为：全部选对得分，部分选对得分，选到错误选项得分．设此题正确答案为个选项的概率为．已知该考生随机选择若干个（至少一个）． (1)若，该考生随机选择个选项，求得分的分布列及数学期望； (2)为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下二种方案中选一种，并说明理由． 方案—：随机选择一个选项； 方案二：随机选择二个选项． 8．已知编号为的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中1号袋子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号袋子内装有两个1号球，一个3号球；3号袋子内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．现按照如下规则连续摸球两次；第一次先从1号袋子中随机摸出1个球，并将摸出的球放入与球编号相同的袋子中，第二次从刚放入球的袋子中再随机摸出1个球． (1)若第二次摸到的是3号球，计算此3号球在第二次摸球过程中分别来自号袋子的概率； (2)设是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量．设的一切可能取值为，记表示在中出现的概率，其中．若表示第一次摸出的是号球，表示第二次摸出的是号球． ①求； ②证明：． 9．（2026·江苏·三模）某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 8 / 8zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $