24.2.1直接开平方法和配方法 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（新教材）数学九年级上册 第二十四章一元二次方程 24.2.1直接开平方法和配方法 授课教师： 班 级： 9年级()班 10/02/2026 时 间 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取方量，于思索 中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 什么是一元二次方程？它的一般形式是怎样的？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做 一 元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 回顾训练 下列各数中，哪个是方程x(2-x)=1的解 Q A.3 B.-3 C.2 D.1 除了代入法，还有其他方法 求一元二次方程的解吗？ 直接开平方法 试试 解方程：x2=4; 解：因为x2=4 x是4的平方根 所以x=士√4----- 开平方运算 降次 即x=±2 划重点. 这里得到了方程的两个根，通常也 利用平方根的定义 直接开平方求一元 表示成x1=2,X1=-2. 二次方程的解的方 法叫直接开平方法 直接开平方法 划重点 归纳总结 如果一个一元二次方程能化成x2=a(a≥0)的形 式，那么就可以根据平方根的意义求出该方程的根。这样的求 一元二次方程的方法叫作直接开平方法。 直接开平方法 例1解下列方程：（1)x2-1=0;（2)16x2-25=0 （1)解：移项，得x2=1 你能总结运用直 直接开平方，得x=±√I 接开平方法解一 元二次方程的步 即x1=1,x2=-1 骤吗？ （2)移项，得16x2=25. 方程两边都除以16，得2=君 直接开平方，得x=士号 即x1=,x2=- 5 直接开平方法 00 划重点 归纳总结 用直接开平方法解一元二次方程的一般 步骤： (1)移项，将方程变成左边是未知数的平方，右边是非负数的 形式（形如x2=a(a≥0))； (2)开平方，将方程化为两个一元一次方程 (降次)； (3)解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根： 举一反三 知识点1直接开平方法 1.一元二次方程(x+1)2=16用直接开平方法可转化为两个 一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+1=4,则另一 个一元一次方程是( A.X-1=-4 B.X-1=4 C.X+1=-4 D.x+1=4 2.如果关于x的方程(x-4)2=m-1可以用直接开平方法求 解，那么m的取值范围是m≥1· 返回 举一反三 3.先把下列方程化为(x+m)2=n(m,n为常数)的形式，再 求方程的根 ()32-号=0 【解】移项，得3x2= 系数化为1，得x2= x1=x2=-月 举一反三 (2)3(2x-1)2-12=0. ×3(2x-1)2-12=0,.(2x-1)2=4. ·2x-1=±2，即2x-1=2或2x-1=-2. 六X1=2X2=-2 返回 配方法 思考 利用直接开平方法求解下列方程：x2+2x一3=0. 要使用直接开平方法，首先要将方 程化为( )2=a的形式，那么， 如何去实现呢？ 配方法 利用直接开平方法求解下列方程：x2+2x一3=0. 分析：移项，得x2+2x=3. 容易联想到完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2 十 2ab+b2=(a+b)2 思考：这里可以怎样对应呢？ x2:+ 2x 注意：依据等式的性质，方程 左右两边应同时加减，不要遗 漏了哦！ 配方法 利用直接开平方法求解下列方程：x2+2x一3=0. 解：移项，得x2+2x=3. 原方程两边都加上1，得x2+2x+1=4. 即(x+1)2=4. 直接开平方，得x+1=±√4 所以x=-1±2 即x1=1,x2=-3 配方法 划重点 归纳总结 通过配方，把一元二次方程变形为一边 为含未知数的一次式的平方，另一边为常数的形式；当常数为 非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次 方程，从而求出原方程的根.这种解一元二次方程的方法叫作 聚方法：-3=0 配方 (x+1)2=4 开平方 x1=1,X2=-3 得根 x+1=士2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 做做 先把下列方程转化为(x+m)2=n(m,n为常数，且n≥0)的 形式，再求方程的根.(P51) (1)x2+2x=48; (2)x2-4x=12; (3)x2-6x+5=0; (4)x2+x-=0. 解：(1)配方，得：x2+2x+1=48+1; 即(x+1)2=49: 开平方，得x+1=士7； 所以x1=6,X2=-8. 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 做做 先把下列方程转化为(x+m)2=n(m,n为常数，且n≥0)的 形式，再求方程的根.(P51) (1)x2+2x=48; (2)x2-4x=12; (3)x2-6x+5=0; (4)x2+x-=0. 解：(2)配方，得：x2-4x+4=12+4; 即(x-2)2=16: 开平方，得x-2=±4； 所以x1=6,X2=-2. 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 做做 先把下列方程转化为(x+m)2=n(m,n为常数，且n≥0)的 形式，再求方程的根.(P51) (1)x2+2x=48; (2)x2-4x=12; (3)x2-6x+5=0; (4)2+x-=0. 解：(3)移项，得x2-6x=-5; 配方，得：x2-6x+9=-5+9; 即(x-3)2=4: 开平方，得x一3=士2； 所以X1=5,X2=1 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 做一做 先把下列方程转化为(x+m)2=n(m,n为常数，且n≥0)的 形式，再求方程的根.(P51) (1)x2+2x=48; (2)x2-4x=12; (3)x2-6x+5=0: 4)2+x-=0, 你能总结运用配 3 方法解二次项系 解：(4)移项，得x2+x= 数为1的一元二 配方，得：x2+x+4= 13 次方程的步骤吗？ 4 即(x+)2=1: 2 开平方，得x+=士1： 所以x1=2 3 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 刘重点 归纳总结 使用配方法求解二次项系数为1的一 元二次方程的步骤： ①移项，将常数项移到方程右边； ②在方程两边同时加上一次项系数一半的平方 (x2±ax+(2)2=(x±)2)； ③左边化为完全平方形式(x+m)2=n(m,n为常数，且n≥0)， 右边合并常数； ④直接开平方求解。 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例1用配方法解方程：2x2+3=6x 思者 前的方 解：移项，得2x2-6x=-3, 程有何不同？你是怎样 求解的？ 二次项系数化为1，两边同时除以2，得x2-3x=- 配方，得x2-2x+() 月) 即(x-) 大家谈谈 直接开平方，得x- 士 2 用配方法解一元二次方程 所以x1=3 +V3 3-3 2 X2 的一般步骤是什么？ 配方法解一元二次方程 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 方法 示例：2x2一4x一6= 0 将常数项移到方程的右边，含末知数 移 移项 2x2一4x=6 的项移到方程的左边 方程左、右两边同时除以二次项系数 x2-2X-3=0 二化 二次项系数 化为1 方程左、右两边同时加上一次项系数 x2一2x+1=3干 三配 配方 一半的平方 即(c+1)2=4 四开 利用平方根的意义直接开平方 x=1=主2 开平方 五解 解两个一元 移项、合并同类项 x1=3,2=一1 一次方程 举一反三 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 4.用配方法解一元二次方程x2-2x-2026=0,将它转化 为(x+a)2=的形式，则a=(C） A.-2026 B.2026 C.-1 D.1 【点拨】原方程移项得x2-2x=2026, .(x-1)2=2027.a=-1,b=2027. .ab=(-1)2027=-1.故选C. 返回 举一反三 5.[石家庄裕华区期中]已知方程x2-6x+q=0可以配方成 (x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成（x一 3)2=9 【点拨】x2-6x+q=0, x2-6x=-q.·x2-6x+9=-q+9.(x-3)2=9 q.“(x-p)2=7, 9-q=7.q=2.x2-6x+2=2.x2-6x=0. x2-6x+9=9.(x-3)2=9. 返回 举一反三 6.用配方法解下列方程. (1)x2-10x=11; 【解】配方，得x2-10x+25=11+25, 即(x-5)2=36, 直接开平方，得x-5=±6， x1=11,x2=-1. 举一反三 (2)2+8x-1=0 8 移项，得x2+x=1, 3 配方，得2+x+(2=1+(, 变形，得x+= 25 开方，得x+=士 解得x1=3,2=-3 举一反三 点用配方法解一元二次方程时，要先把常数项移到方程 的右边，移项时切记要变号 返回 举一反三 知识点3 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 7.[张家口模拟]嘉嘉和淇淇用配方法解一元二次方程4x2一4x一3=0 对于嘉嘉和淇淇的解答过程，下列判断正确的是(C) 嘉嘉：4x23-4x-3=0→4x2-4x+1=3+1→(2x-1)2=4→ 解得x1=2x2=一 2 淇淇：4x2-4x-3=0→4(2-x+)=3+1→4(x-)2=4→ 解得1=3x2=一 1 A.只有嘉嘉对 B. 只有淇淇对 C.两人的都对 D. 两人的都不对 返回 举一反三 8.母题教材P54习题T3用配方法解下列方程 (1)-3x2-2x+1=0; 2 1 【解】-3x2-2x+1=0,2+x-3=0, 2+x+日+即6x+2=号 x+=±号x1=-1x2=月 举一反三 (2)(x+1)(2x-3)=1. 去括号、移项、合并同类项，得2x2-x=4. 二次项系数化为1，得2-x=2 配方，得2-x+=2+,即x-= 器 x-=±军x=, 1+V33 1-V33 4 返回 举一反三 9.已知A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,下列结论正 确的是( A.B-A的最大值是0B.B-A的最小值是-1 C.当B=2A时，x为正数D.当B=2A时，x为负数 举一反三 【点拨】：A=x2+6x+n2,B=2x2+4x+n2,B 一 A=2x2+4x+n2-(x2+6x+n2)=2x2+4x+n2-x2 6x-n2=x2-2x=(x-1)2-1..当x=1时，B-A有最 小值，最小值为-1.当B=2A时， 2x2+4x+n2=2(x2+6x+n2), 2x2+4x+n2=2x2+12x+2n2.-8x=n2≥0.x≤0， 即x是非正数故选项A,C,D错误，不符合题意，选项B正确， 符合题意故选B. 返回 举一反三 10.已知a,b,c为实数，且b+c=5-4a+3a2, c-b=1-2a+a2,则a,b,c之间的大小关系是( A) A.a<b≤c B.b<a≤c C.b≤c<aD.c<a≤b 【点拨】b+c=5-4a+3a①，c-b=1-2a+a2 ②，.①-②得2b=2a2-2a+4,即 b=a2-a+2..b-a=a2-a+2-a=(a-1)2+1> 0..b>a.又c-b=a2-2a+1=(a-1)2≥0， .c≥b..a<b≤c.故选A. 返回 举一反三 11.新考法整体思想若(x2+y2-3)2=16,则x2+y的值为7， 12.若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是 m-1和2m+4,则的值为 4 返回 举一反三 13.新考向数学文化欧几里得的《几何原本》 中记载了形如 E x2-2bx+4c2=0(b>2c>0)的方程 的根的图形解法：如图，画Rt△ABC, 使LACB=90°，AC=2cAB=b,以B为圆心，BC的长 为半径画圆，交射线AB于点D,E,连接CD,CE,则该方程 较大的根是图中线段 的长度 AE 举一反三 【点拨】x2-2bx+4c2=0, x2-2bx=-4c2 .x2-2bx+b2=b2-4c2 B .(x-b)2=b2-4c2.·x-b=± Vb2-4c2. A C x1=b+Vb2-4c2,X2=b-Vb2-4c2 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2c,AB=b, .BC=VAB2-AC2 =Vb2-4c2. ·方程较大的根为AB+BC=AB+BE=AE的长度 返回 将一元二次方程左边配成一个含有未知 数的完全平方式，右边是一个非负常数， 概念 从而可以直接开平方求解.这种解一元 二次方程的方法叫做配方法. 配方法 步骤 移、二化、三配、四开、五解 谢谢观看 THANKS