24.3 一元二次方程根与系数的关系 课件 2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过“格格快速说出方程”的情境导入，衔接根的判别式与求根公式，以表格观察具体方程两根和积与系数关系为支架，引导学生从猜想走向公式归纳与证明。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过问题探究培养推理意识，如对比不同方程表格数据归纳规律，严谨推导公式并结合例题从基础计算到综合应用。这有助于学生发展抽象能力与模型意识，教师可借助分层练习提升教学效率。

24.3 一元二次方程根与系数的关系 第二十四章 一元二次方程 侵权必究 名校课堂 低阶目标：1.会写一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.会写一元二次方程根与系数的关系. 高阶目标： 3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 学习目标 侵权必究 名校课堂 新课导入 格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在． 侵权必究 名校课堂 3 讲授新课 方程 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x +4=0 问题1：你发现这些一元二次方程的两根之和x1+ x2，两根之积x1 • x2 与各项系数之间有什么规律？ 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 1 一元二次方程根与系数的关系 低阶目标：1.会写一元二次方程的根的判别式和求根公式. 2.会写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 4 方 程 -2 问题2 x1+ x2，x1∙x2与系数有什么规律? 猜想：当二次项系数为1时，方程 x2+px+q=0的两根为x1, x2. 9x2-6x+1=0 3x2-4x-1=0 3x2+7x+2=0 低阶目标：2.会写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则： x1+x2和x1.x2与系数a，b，c 的关系： 归纳 低阶目标：2.会默写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 证一证 低阶目标：2.会默写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 低阶目标：2.会默写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积： (1) x2－3x－8＝0； (2) 3x2＋4x－7＝0. (1) 这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且 b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0. 所以　　　　　 解： 例1 (2) 这里a＝3，b＝4，c＝－7，且 b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0， 所以　　　　　 低阶目标：2.会默写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(　　) A．4　　 　B．－4　　 　C．3　 　 D．－3 2.已知x1、x2是方程x2＋3x＝1的两个实数根，那么下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝－1 B．x1＋x2＝－3 C．x1＋x2＝1 D．x1＋x2＝3 练一练 在使用根与系数的关系时，应注意： （1）不是一般式的要先化成一般式； （2）在使用x1+x2=－ 时，注意“－ ”不要漏写. D B 低阶目标：2.会默写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知： 例2 低阶目标：2.会默写一元二次方程根与系数的关系. 侵权必究 名校课堂 总结常见的求值: 高阶目标：3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 侵权必究 名校课堂 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值． 导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数 项中p的值． 例3 解： 设方程的两根为x1和x2， ∵x1＋x2＝ ＝ 6，x1＝2， ∴x2＝4.　 又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8， ∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.　　　　 高阶目标：3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 侵权必究 名校课堂 方程 x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根 x1，x2 满足x12＋x22＝4，则k的值为________． 由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值． 导引： k＝1 例4 ∵x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝ (x1＋x2)2－2x1·x2＝4，x1＋x2＝－2k，x1·x2＝k2－2k＋1， ∴4k2－4(k2－2k＋1)＝4， 解得k＝1.　 解： 高阶目标：3.能够运用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 侵权必究 名校课堂 课堂小结 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1 + x2= , x1 ·x2= 一元二次方程的根与系数的关系 注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0 侵权必究 名校课堂 15 当堂练习 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积： (1) x2－3x＝15； (2) 3x2＋2＝1－4x； (3) 5x2－1＝4x2＋x； (4) 2x2－x＋2＝3x＋1. 　解：(1)方程化为x2－3x－15＝0，x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15. (2)方程化为3x2+4x+1=0，x1+x2= ，x1x2= . (3)方程化为x2-x-1=0，x1+x2=-(-1)=1，x1x2=-1. (4)方程化为2x2-4x+1=0，x1+x2= ，x1x2= . 低阶目标1.2 侵权必究 名校课堂 2.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4. （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得k=-7. （2）因为k=-7,所以 则： 高阶目标3 侵权必究 名校课堂 $