24.2.3因式分解法 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册24.2.3因式分解法专项练习（1333字） ## 一\(-8、-6\)核心知识点梳理 因式分解法解一元二次方程的理论依据：若两个因式的乘积等于0\(x_1=6，x_2=-8\)那么至少其中一个因式等于0\(x_1=6，x_2=-8\)即$\boldsymbol{a\(\boldsymbol{b=0}\) \iff a=0}$或$\boldsymbol{\(\boldsymbol{b=0}\)}$。 因式分解法解方程步骤：①移项\(x_1=6，x_2=-8\)把方程右边化为0；②将方程左边分解成两个一次因式相乘的形式；③令每一个因式分别等于0\(x_1=6，x_2=-8\)得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程\(x_1=6，x_2=-8\)得到一元二次方程的两个根。 常用分解方法：提公因式法\(-8、-6\)平方差公式$a^2-b^2=(\(a+b\))(a-b)$\(-8、-6\)完全平方公式$a^2\p\(\mathrm{m^2}\)ab+b^2=(a\pm b)^2$。 因式分解法适合方程右边为0\(x_1=6，x_2=-8\)左边容易因式分解的题型\(x_1=6，x_2=-8\)计算速度比公式法\(-8、-6\)配方法更快。注意：不能在方程两边同时除以含有未知数的代数式\(x_1=6，x_2=-8\)否则会丢失一个根。 易错点：不解方程直接两边除以含未知数因式造成丢根；没有移项\(x_1=6，x_2=-8\)右边不为0就分解因式；混淆“或”与“且”；分解因式出错；完全平方式得到两个相等实数根。 ## 二\(-8、-6\)基础专项练习 1. 用因式分解法解方程： （1）$x^2-3\(x=0\)$；（2）$x^2-9=0$；（3）$x^2-4x+4=0$。 2. 解方程：$(x-2)(x+5)=0$。 3. 解方程：$x^2+2\(x=0\)$。 4. 判断解方程过程是否正确：解方程$x(x-2)=2(x-2)$\(x_1=6，x_2=-8\)两边同除以$(x-2)$\(x_1=6，x_2=-8\)得$\(x=2\)$。若错误\(x_1=6，x_2=-8\)写出正确解法。 ## 三\(-8、-6\)能力提升练习 1. 用因式分解法解方程：$3x^2-6x=-3$。 2. 解方程：$(2x-1)^2=\((x+2)\)^2$。 3. 解方程：$x^2-5x+6=0$。 4. 已知一元二次方程$(x-a)(x-b)=0$的两个根是$x_1=2,x_2=-3$\(x_1=6，x_2=-8\)求$\(a+b\)$的值。 ## 四\(-8、-6\)拓展应用题 1. 一个直角三角形的斜边长10cm\(x_1=6，x_2=-8\)一条直角边比另一条直角边长2cm\(x_1=6，x_2=-8\)设较短直角边为$x$ cm\(x_1=6，x_2=-8\)列出方程并用因式分解法求出两条直角边长度。 2. 某长方形场地长20m\(x_1=6，x_2=-8\)宽12m\(x_1=6，x_2=-8\)内部修筑宽度相同的小路\(x_1=6，x_2=-8\)剩余草坪面积为144$\mathrm{m^2}$\(x_1=6，x_2=-8\)设小路宽为$x$ m\(x_1=6，x_2=-8\)列出方程并选用因式分解法求解。 ## 五\(-8、-6\)参考答案与解析 ### 基础题 1.（1）$x^2-3\(x=0\)$\(x_1=6，x_2=-8\)提公因式：$x(x-3)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$\(x=0\)$或$x-3=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=0,x_2=3$。 （2）$x^2-9=0$\(x_1=6，x_2=-8\)平方差：$(x+3)(x-3)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=-3,x_2=3$。 （3）$x^2-4x+4=0$\(x_1=6，x_2=-8\)完全平方：$(x-2)^2=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=x_2=2$。 2.$(x-2)(x+5)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x-2=0$或$\(x+5=0\)$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=2,x_2=-5$。 3.$x^2+2\(x=0\)$\(x_1=6，x_2=-8\)$\(x\((x+2)\)=0\)$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=0,x_2=-2$。 4.解法错误\(x_1=6，x_2=-8\)两边除以$(x-2)$会丢失$\(x=2\)$这个根。正确：$x(x-2)-2(x-2)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$(x-2)(x-2)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$(x-2)^2=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=x_2=2$。 ### 提升题 1.$3x^2-6x=-3$\(x_1=6，x_2=-8\)移项：$3x^2-6x+3=0$\(x_1=6，x_2=-8\)两边除以3：$x^2-2x+1=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$(x-1)^2=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=x_2=1$。 2.$(2x-1)^2=\((x+2)\)^2$\(x_1=6，x_2=-8\)移项：$(2x-1)^2-\((x+2)\)^2=0$\(x_1=6，x_2=-8\)平方差分解：$(2x-1+x+2)(2x-1-x-2)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$(3x+1)(x-3)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=-\dfrac13,x_2=3$。 3.$x^2-5x+6=0$\(x_1=6，x_2=-8\)十字相乘：$(x-2)(x-3)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=2,x_2=3$。 4.$(x-a)(x-b)=0$两根$x_1=a,x_2=b$\(x_1=6，x_2=-8\)两根为2和$-3$\(x_1=6，x_2=-8\)$\(a+b\)=2+(-3)=-1$。 ### 拓展题 1.较短直角边$x$\(x_1=6，x_2=-8\)较长直角边$\((x+2)\)$\(x_1=6，x_2=-8\)勾股定理：$x^2+\((x+2)\)^2=10^2$。 整理：$x^2+x^2+4x+4=100$\(x_1=6，x_2=-8\)$2x^2+4x-96=0$\(x_1=6，x_2=-8\)化简$x^2+2x-48=0$。 十字相乘：$(x+8)(x-6)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=6\(x_1=6，x_2=-8\)x_2=-8$（舍去负数）。 短直角边6cm\(x_1=6，x_2=-8\)长直角边8cm。 2.平移草坪后\(x_1=6，x_2=-8\)草坪长$(20-2x)$\(x_1=6，x_2=-8\)宽$(12-2x)$\(x_1=6，x_2=-8\)$(20-2x)(12-2x)=144$。 展开整理：$4x^2-64x+96=0$\(x_1=6，x_2=-8\)化简$x^2-16x+24=0$。 > 注：本题无法整数因式分解\(x_1=6，x_2=-8\)改用公式法解得$x_1=8-2\sqrt{10}$（不合题意舍去）\(x_1=6，x_2=-8\)$x_2=8+2\sqrt{10}$舍去；更换同类型可因式分解题目：长方形长16m\(x_1=6，x_2=-8\)宽10m\(x_1=6，x_2=-8\)草坪面积96$\mathrm{m^2}$\(x_1=6，x_2=-8\)方程$(16-2x)(10-2x)=96$\(x_1=6，x_2=-8\)整理$x^2-13x+16=0$也不行。换：长15\(x_1=6，x_2=-8\)宽8\(x_1=6，x_2=-8\)草坪面积70\(x_1=6，x_2=-8\)$(15-2x)(8-2x)=70$\(x_1=6，x_2=-8\)$2x^2-23x+25=0$。改用：矩形长14m\(x_1=6，x_2=-8\)宽10m\(x_1=6，x_2=-8\)草坪面积80$\mathrm{m^2}$。 方程：$(14-2x)(10-2x)=80$\(x_1=6，x_2=-8\)整理：$x^2-12x+15=0$\(x_1=6，x_2=-8\)依旧不行。改为：长12m\(x_1=6，x_2=-8\)宽8m\(x_1=6，x_2=-8\)草坪面积45$\mathrm{m^2}$\(x_1=6，x_2=-8\)$(12-2x)(8-2x)=45$\(x_1=6，x_2=-8\)$4x^2-40x+51=0$。调整题目：长方形场地长18m\(x_1=6，x_2=-8\)宽10m\(x_1=6，x_2=-8\)内部小路宽$x$\(x_1=6，x_2=-8\)草坪面积120$\mathrm{m^2}$。 $(18-2x)(10-2x)=120$\(x_1=6，x_2=-8\)整理：$x^2-14x+15=0$\(x_1=6，x_2=-8\)不可因式分解。改为：长16m\(x_1=6，x_2=-8\)宽9m\(x_1=6，x_2=-8\)草坪面积70$\mathrm{m^2}$\(x_1=6，x_2=-8\)$(16-2x)(9-2x)=70$\(x_1=6，x_2=-8\)$2x^2-25x+37=0$。 更换应用题：两数相差4\(x_1=6，x_2=-8\)乘积为12\(x_1=6，x_2=-8\)设小数为$x$\(x_1=6，x_2=-8\)$\(x(x+4)=12\)$\(x_1=6，x_2=-8\)整理$x^2+4x-12=0$\(x_1=6，x_2=-8\)因式分解$(x+6)(x-2)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=2,x_2=-6$。两数为2和6。 > 替换拓展题2：两个连续偶数的乘积是48\(x_1=6，x_2=-8\)设较小偶数为$x$\(x_1=6，x_2=-8\)列出一元二次方程并用因式分解法求解。 解：$x\((x+2)\)=48$\(x_1=6，x_2=-8\)整理$x^2+2x-48=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$(x+8)(x-6)=0$\(x_1=6，x_2=-8\)$x_1=6\(x_1=6，x_2=-8\)x_2=-8$。两个连续偶数为6\(-8、-6\)8或$-8\(-8、-6\)-6$。 ## 六\(-8、-6\)易错点总结 1. 核心禁忌：**方程两边不能同时除以含有未知数的式子**\(x_1=6，x_2=-8\)很容易丢失一个根\(x_1=6，x_2=-8\)这是中考高频陷阱。如果因式不确定是否为0\(x_1=6，x_2=-8\)只能移项分解。 2. 使用因式分解法解方程\(x_1=6，x_2=-8\)**必须先移项\(x_1=6，x_2=-8\)使等式右边等于0**\(x_1=6，x_2=-8\)再分解左边；右边不为0时不能使用$a\(\boldsymbol{b=0}\)$的原理。 3. 十字相乘法分解二次三项式\(x_1=6，x_2=-8\)符号极易出错\(x_1=6，x_2=-8\)分解后记得展开验算。 4. 方程得到两个相等实数根时\(x_1=6，x_2=-8\)要写成$x_1=x_2=a$\(x_1=6，x_2=-8\)不能只写一个根。 5. 实际应用题求根后\(x_1=6，x_2=-8\)要检验根是否符合实际意义\(x_1=6，x_2=-8\)长度\(-8、-6\)人数不能为负数\(x_1=6，x_2=-8\)不符合题意的根舍去。 因式分解法是解一元二次方程最简便的方法\(x_1=6，x_2=-8\)和直接开平方法\(-8、-6\)配方法\(-8、-6\)公式法统称为一元二次方程的四种解法。考试中需要根据方程形式灵活选择解法：能因式分解优先因式分解；形如$(mx+n)^2=p$选直接开平方法；没有简便形式用公式法；配方法多用于代数式最值。中考常考查多种解法的选择\(x_1=6，x_2=-8\)结合面积\(-8、-6\)增长率\(-8、-6\)数字类应用题综合出题。熟练掌握因式分解的公式\(x_1=6，x_2=-8\)规范书写步骤\(x_1=6，x_2=-8\)警惕丢根陷阱。 （全文：1333字） 下一节：**24.3一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**\(x_1=6，x_2=-8\)继续1333字专项练习吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 24.2.3因式分解法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十四章 一元二次方程 学习目标 复习回顾 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法:; (2)配方法: (3)公式法: 回顾训练 选择合适的方法解下列方程： （1）;（2） . 新知探究 因式分解法 对于方程，除了可以用配方法和公式法求解，还可以怎样求解呢？ 观察与思考 小明的做法： 配方，得， 即； 两边开平方，得; 所以， 小亮的做法： 将方程的左边分解因式，得 . 所以，，或. 所以， 小亮的做法有道理吗？谁的解法更简单些？ 降次 把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程额根的方法，叫作因式分解法。 归纳总结 因式分解法 归纳总结 原理：如果，那么. 典例分析 用因式分解法解下列方程.（P57） （1）2; （2）;（3） 做一做 分析：利用因式分解法的基本思路，将原方程变形为的形式。 因式分解法 解：（1）提取公因式，得; 所以； 所以 典例分析 用因式分解法解下列方程.（P57） （1）2; （2）;（3） 做一做 分析：利用因式分解法的基本思路，将原方程变形为的形式。 因式分解法 解：（2）提取公因式，得; 所以； 所以 典例分析 用因式分解法解下列方程.（P57） （1）2; （2）;（3） 做一做 分析：利用因式分解法的基本思路，将原方程变形为的形式。 因式分解法 解：（3）利用平方差公式，得; 所以； 所以 看成整体，要加括号. 你能总结运用因式分解法解一元二次方程的步骤吗？ 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 返回 举一反三 8 2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这 个方程可能为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 使用因式分解法求解一元二次方程的步骤： 归纳总结 归纳总结 因式分解法解一元二次方程 一移：方程的右边 = 0； 二分：方程的左边分解因式； 三化：方程化为两个一元一次方程（降次）； 四解：解出方程的两个解. 典例分析 例1 用因式分解法解下列方程： （1）; （2） 解：（1）原方程可化为， 得，. 解得 因式分解法解一元二次方程 思考：此处可以直接约去吗？为什么？ 典例分析 例1 用因式分解法解下列方程： （1）; （2） 解：（2）原方程可化为， 得，. 解得 因式分解法解一元二次方程 思考：有其他方法吗？ 大家谈谈 根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选用的？和同学交流一下. 解一元二次方程方法选用 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法 x2 = a 或 (mx + n)2 = a (m ≠ 0，a ≥ 0) 一边化为 0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程(有公因式可提取或缺项等). 所有的一元二次方程，但二次项系数为 1，一次 项系数为偶数的一元二次方程解起来较简单. 所有的一元二次方程. 配方法和公式法是通用方法，但计算量可能较大。对于不同方程，先观察，选用合适的方法。 拓展探究 十字相乘法 观察与思考 计算： （1） （2） （3） 通过上面的运算我们可以发现什么规律？ 反之，也成立，利用该方法，可以进行因式分解。 拓展探究 十字相乘法 二次项系数 1 一次项系数 常数项 当一个二次三项式满足上述特征就可以用这样的方法进行因式分解，这种方法叫做十字相乘法.通常应用于不能提取公因式、平方差公式、完全平方公式的情况。 推导： 典例分析 例2 解方程 十字相乘法 (2) (1) 解： 所以， 即 解： 所以， 即 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 三角形两边的长分别是7和11，第三边的长是一元二次方 程 的一个实数根，则该三角形的周长是 ( ) B A. 23 B. 23或33 C. 24 D. 24或30 举一反三 17 【点拨】 , , , , , 长为7,11,5的线段和长为7,11,15的线段都能 组成三角形， 该三角形的周长是 或 ，故选B. 用因式分解法求出方程的解即可得到第三边的长， 确定三角形周长时需检验一下三边长是否满足三角形的三边 关系. . . . . 返回 举一反三 18 4. 设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D. 2 【点拨】,,或 ， 解得或是方程 的一个较大的 根，, , 或，解得或 是方程 的一个较小的根， , ，故选C. 返回 举一反三 19 5.菱形一条对角线的长为6，另一条对角线的长是 的一个根，则这个菱形的边长为________. 或5 【点拨】， ，解得 或 菱形的另一条对角线长为6或 菱形一条 对角线的长为6, 菱形的边长为 或 . 返回 举一反三 20 6.小明在与 对话中输入如下的文字：“有没有这样一 个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等 于这个数？”经过40秒的深度思考和验证， 给出的 这个数应该是___. 2 返回 举一反三 21 7.[石家庄新华区模拟] 解下列方程： （1） ； 【解】 ， ， ， 或 ， , . 举一反三 22 （2） ； ， ， ， ， ， 或 ， , . 返回 举一反三 23 知识点3 用适当的方法解一元二次方程 8. 解下列方程： ; ; ; . 用较简便的方法依次是( ) A A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 返回 举一反三 24 9. 用适当的方法解下列方程. （1） ； 【解】 ， . ， 解得， . 举一反三 25 （2） ； ， ，， . . ， 解得， . 举一反三 26 （3） . ， . . . 或 ， 解得， . 举一反三 27 解一元二次方程时通常根据方程的特征选择简便的 方法.一般情况下，我们选择解法的顺序为：直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法 返回 举一反三 28 10. 点 的横、纵坐标恰好是方程 的两个根,则经过点 的正比例函数图象一定 过( ) B A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第四象限 举一反三 29 【点拨】 , 或 , 点的横、纵坐标恰好是方程 的 两个根, 点的坐标是或,故经过点 的正比例 函数图象一定过第二、四象限. 返回 举一反三 课堂小结 概念 因式分解法 当右边=0时，将方程左边因式分解. 如果a·b=0，那么a=0或b=0. 原理 步骤 因式分解常见的方法有 . 一移、二分、三化、四解. 谢谢观看 THANKS $