24.3 一元二次方程根与系数的关系 (课件) 2026--2027学年冀教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过回顾一般形式及求根公式导入，以具体方程探究为支架，引导学生从特殊到一般推导根与系数的关系，构建前后知识脉络。 其亮点在于注重抽象能力与推理意识培养，通过探究推导、典例精析及多样化练习，如已知一根求参数、构造方程等，强化知识应用。采用“探究-归纳-应用”教学方法，小结明确关系及应用方向，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源。

第二十四章 一元二次方程 24.3 一元二次方程根与系数的关系 冀教版九年级上册 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 回顾复习 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 ① 探究 1. (1)已知一元二次方程x2－7x+10=0的两根分别为x1=2，x2=5，观察这个方程的根与系数的特征，猜想根与系数之间有怎样的关系? (2)求出方程2x2+3x－9=0的两根，判断这个方程的根与系数之间的关系是否还符合你的猜想.如不符合，你是否还有进一步的猜想. 提示：可以计算x1+x2，x1·x2， 探究新知 3 知识点1 一元二次方程根与系数的关系 ① 探究 2.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请猜想方程的两根x1，x2与系数a，b，c之间的关系，并利用求根公式验证你的结论. 探究新知 4 事实上，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0， 当b2－4ac≥0时，利用求根公式，得 由此可得 x1= x1+ x1·. 5 归纳 一元二次方程根与系数的关系 注意! 一元二次方程根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根 分别为x1，x2 ，那么 x1+x2 6 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积. (1) x2-3x-8=0； (2) 3x2+4x-7=0. 解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8， 且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0， 所以，x1+x2=﹣=3, x1·x2==﹣8. (2)这里a=3，b=4，c=-7， 且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0， 所以，x1+x2=﹣ , x1·x2= =﹣ . 典例精析 7 知识点2 根与系数关系的应用 ② 例2 已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，求方程的另一个根及k的值. 解： 设这个方程的另一个根为t，则 t＋2＝，2t＝. ∴ t＝， k＝-7. 当k＝-7时，b²-4ac=(-7)2-4×5×(-6)=169＞0， ∴另一个根为，k的值为-7. 还有其他的做法吗？ 典例精析 8 根与系数的关系 内容 应用 求字母或代数式的值 课堂小结 9 1.若，是方程 的两个根，则( ) A A. B. C. D. 随堂练习 10 2.关于的一元二次方程 有一个解为1，则该方程的另 一个解为( ) D A.0 B. C.2 D. 11 3.以2和 为根的一元二次方程可以是( ) C A. B. C. D. 12 4.若，是方程的两个根，则 的值为 ( ) B A. B. C.2 D.6 13 5.［教材习题变式］不解方程，求下列方程两根， 的和与积. （1） ； 解：，， ， ， ， . 14 （2） ； 解：原方程可化为 ， ，， ， ， ， . 15 （3） ； 解：原方程可化为 ， ，，， ， ， . 16 （4） . 解：原方程可化为 ， ，， ， ， ， . 17 6.若，是一元二次方程的两根，且 ， ，则， 的值分别为( ) D A.，1 B.3，1 C.， D. ，1 18 7. 若一元二次方程 的两根之和与两根之积 分别为，，则点 在平面直角坐标系中位于( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 19 8.一元二次方程的两根为，，则 的值为 ( ) C A. B. C.3 D. 20 9.若关于的方程有两个同号的实数根，则 的取值范围 是( ) B A. B. C. D. 21 10.若关于的一元二次方程的两根为， ，且 ，则 的值为____. 12 22 11.已知一元二次方程的两根是， ，求下列代数式的值. （1） ； 解：， . . （2） . 解： . 23 12. 一元二次方程与 的所有实数根 的和等于( ) D A.2 B. C.4 D.3 24 13.若一个菱形的两条对角线长分别是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为 ( ) C A. B. C. D. 25 14.小影与小冬在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常 数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项 的系数，因而得到方程的两个根是和 .则原来的方程是( ) B A. B. C. D. 26 15. 若，是一元二次方程 的两个实数根， 则 的值为___. 7 27 16.关于的一元二次方程 有实数根. （1）求 的取值范围； 解：因为关于的一元二次方程 有实数根， 所以，解得，所以 的取 值范围为 . 28 （2）如果，是该方程的两个实数根，令 ，求 的最大值. 解：因为，是关于的一元二次方程 的两个实 数根，所以， ， 所以 . 因为,所以易得当时， 取得最大值，最大值为 . 29 17.已知关于的一元二次方程 . （1）求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 解：证明： 该方程根的判别式为 ， 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. 30 （2）设该方程的两个实数根为，，若，求 的值. 解： 该方程的两个实数根为，， ， . ， ，整理，得 ，解得，，的值为 或1. 31 18.阅读材料，解答问题： 若实数，满足，，且 ，则 ，是方程 的两个不相等的实数根，由根与系数的关系 就可以知道与的和、与 的积. （1）【材料理解】 ___， ____； 1 32 （2）【类比应用】 已知实数，满足，，且 ，则 ________； 33 （3）【思维拓展】 已知实数，满足，，且 ，求 的值. 解：当时，， . ， . ， . 34 又 ， ，是关于的方程 的两个不相等的实数根， ，即 ， ， . 35 $