24.2.2公式法 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册24.2.2公式法专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 公式法是利用一元二次方程求根公式直接解方程\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)由配方法推导而来。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{\sqrt{2}\)x_2=2\)$(x-2)^2=0$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)$x_1=x_2=2$。 ### 拓展题 1. 较短直角边$x$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)较长直角边$\((x+3)\)$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)面积：$\dfrac12x\((x+3)\)=9$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)整理：$x^2+3x-18=0$。 $a=1,b=3,c=-18$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)$\Delta=9+72=81$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)$x=\dfrac{-3\pm9}{2}$。 $x_1=3$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)$x_2=-6$（边长不能为负舍去）。较短直角边3cm\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)较长直角边6cm。 2. 证明：$a=2,b=-(m+2),c=m$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\) $\Delta=[-(m+2)]^2-4\times2\times m=m^2+4m+4-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2$。 因为任何实数的平方大于等于0\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)即$\Delta=(m-2)^2\ge0$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)所以无论$m$取何实数\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)方程总有实数根。 ## 六、易错点总结 1. 确定$a、b、c$前\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)**必须先化为一元二次方程一般形式**\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)很多同学直接拿原式系数代入\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)符号出错。 2. 求根公式中分子是$\boldsymbol{-b\pm\sqrt{\Delta}}$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)$b$是负数时\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)$-b$变为正数\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)这是最容易算错的地方。 3. 计算判别式：$b$带负号时\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)$b^2=(-b)^2$\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)不要遗漏括号\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)错误写成$-b^2$。 4. 判别式小于0\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)方程不存在实数根\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)不要再继续代入公式计算。 5. 含参数方程证明恒有实数根\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)最后配方判断$\Delta\ge0$；求参数取值范围\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)注意题目是否指明是一元二次方程\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)若为一元二次方程\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)需要额外保证$a≠0$。 公式法是解一元二次方程通用方法\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)根的判别式是中考高频考点\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)既可以单独判断根的情况\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)也会结合几何、代数式证明综合出题。做题时\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)先整理方程\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)再依次求$\(a,b,c\)$、判别式\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)最后代入公式\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)分步书写减少计算失误；应用题求出根之后\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)要检验根是否符合实际场景\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)舍去不符合题意的解。 （全文：1333字） 下一节：**24.2.3因式分解法**\(x_1=3\(x_1=1+\sqrt{2}\(x_1=\dfrac{3+\sqrt{6}}{3}\(x_1=\dfrac{11+\sqrt{13}}{6}，x_2=\dfrac{11-\sqrt{13}}{6}\)x_2=\dfrac{3-\sqrt{6}}{3}\)x_2=1-\sqrt{2}\)x_2=2\)继续1333字专项练习吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 24.2.2公式法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十四章 一元二次方程 学习目标 复习回顾 配方法的概念及解一元二次方程的步骤： 将一元二次方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 1. 移项：把常数项移到方程的右边； 2. 化1：把二次项系数化为 1； 3. 配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 开方：根据平方根的性质开方； 5. 求解，规范书写. 新知探究 根的判别式 对于一元二次方程的一般形式，你能运用配方法求解吗？一起来试一试吧。 解：因为，方程两边除以，得. 探索 化1 移项 移项，得. 配方 配方，得. 即. 这里能直接开方吗？为什么？ 新知探究 根的判别式 观察与思考 对于 那么与的关系，有几种情况呢？ 情况1 情况2 情况3 因此方程有两个相等的实数根： 因此方程有两个不相等的实数根： 新知探究 根的判别式 观察方程： .对应也有三种情况： 情况1 当时， . 情况2 情况3 当时， . 当时， . ＝ ， ＝. x1 = x2 = . 右边是一个负数，而对于任何实数 ，方程左边，因此方程没有实数根（也叫做无解）. 对于一元二次方程： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根； 归纳总结 根的判别式 归纳总结 反之，同样成立哦！ 式子叫做一元二次方程根的判别式. 通常用符号“”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况。 一般地，对于一元二次方程，如果，那么方程的两个根为 , 即.将一元二次方程的系 数的值直接代入上式求得方程的根的方法叫作公式法。 归纳总结 公式法 归纳总结 其中，式子叫作求根公式. 知识点1 一元二次方程的根的判别式 1. [保定期中] 下列关于 的一元二次方程中有两个相等的实 数根的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 2. [沧州期末] 关于的方程（ 为实数）的 根的情况为( ) A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与 的值有关 返回 举一反三 9 3.[石家庄裕华区模拟] 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值 范围是________________. 且 【点拨】 关于的一元二次方程 有 两个不相等的实数根，且 ，即 且，解得且 . 举一反三 10 解题支架 返回 举一反三 11 典例分析 不解方程，判别下列方程根的情况.（P55） （1）; （2）;（3） 做一做 解：（1）因为 ， 所以方程有两个不相等的实数根. （2）因为 ， 所以方程有两个相等的实数根. （3）因为 ， 所以方程没有实数根. 利用根的判别式判断方程根的情况 利用根的判别式判断方程根的情况的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 一化：把方程化为一般形式； (2) 二找：确定系数的值； (3) 三算：将的值代入计算的值； (4) 四判：根据Δ的值与0的大小，判断一元二次方程根的情况. 利用根的判别式判断方程根的情况 典例分析 例1 用公式法解下列方程：（1）；（2）. 公式法解一元二次方程 解：(1) 这里 ， ∵， 所以 运用公式法，必须首先判断是否！ 典例分析 例1 用公式法解下列方程：（1）；（2）. 公式法解一元二次方程 解：(1) 这里 ， ∵， 所以 负数的平方要加括号. 使用公式法求解一元二次方程的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 把方程化为一般形式，确定 的值，必须包含符号； (2) 求出 的值； (3) 若，把 及 的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若 ，此时方程无实数解. 公式法解一元二次方程 新知探究 已知一元二次方程 .（p56） （1）当 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当 取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当 取何值时，方程没有实数根？ 确定方程中未知字母的值或取值范围 试一试 解：因为 当 ，即 － 时，方程有两个不相等的实数根. 当 ，即 － 时，方程有两个相等的实数根. 当 ，即 k < － 时，方程没有实数根. 由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的值或取值范围的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1)首先要判断是否一定是一元二次方程（如果二次项系数含参数，必须讨论参数是否为0 ）； (2)确定判别式； (3)根据条件列不等式； (4)解不等式. 确定方程中未知字母的值或取值范围 典例分析 例2 若关于 的一元二次方程 有实数根． 求 的取值范围. 确定方程中未知字母的值或取值范围 解：化为一般式，得 ，且 . 解得且 注意： 有实数根分为两种情况：有两个不相等实数根和有两个相等实数根，计算根的判别式时注意区分哦。 知识点2 公式法 4. 用公式法解方程时，得 ， 则“ ”处应填( ) A A. B. C. 5 D. 7 5. 利用公式法解一元二次方程 可得两根分 别为，，且，则 的值为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 20 6.已知代数式与代数式 的值互为相反数， 则 _ ____________. 或 【点拨】根据题意，得 ，整理，得 ,， ， . 返回 举一反三 21 7. 用公式法解下列方程： （1） ； 【解】, . （2） ； . 举一反三 22 （3） ; , . （4） . 无实数根. 返回 举一反三 23 8.如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点 对应的数是，点对应的数是，已知 ， 求 的值. 【解】根据题意，得 , 整理，得 . ,, , 举一反三 24 . , 即, . 点 在数轴的负半轴， . . 举一反三 25 用公式法解一元二次方 程的前提是一元二次方程是一般 形式，不要忽略这一点. . . . . 返回 举一反三 26 9. 若关于的一元二次方程 的两个实数根中， 较小的一个根是，则 ( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 27 10. 已知是方程和方程 的一个实 数根（其中,且），则方程 一 定有实数根( ) B A. B. C. D. 举一反三 28 【点拨】由题意知，, , ,即 , 解得，即 . ，即 , 解得， , 方程一定有实数根 .故选B. 返回 举一反三 29 课堂小结 定义 公式法 将一元二次方程中系数的值，直接代入这个求根公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法. (1)把一元二次方程化为一般形式． (2)确定的值． (3)计算的值． (4) 把的值代入求根公式． 步骤 根的判别式 （1） ＞0，有两个不相等的实数根； （2） 0，有两个相等的实数根； （3） 0，没有实数根. 谢谢观看 THANKS $