24.4.1变化率问题 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册24.4.1变化率问题专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 变化率问题主要包含增长率与降低率，是一元二次方程应用题里的经典模型。 设基数（初始量）为$a$，平均变化率为$x$，经过$n$次变化后的量为$b$。 **平均增长率公式**：$\boldsymbol{a(1+x)^n=b}$ **平均降低率公式**：$\boldsymbol{a(1-x)^n=b}$ 本节重点考查两轮变化（$\(n=2\)$），方程为： 增长：$a(1+x)^2=b$；下降：$a(1-x)^2=b$。 公式含义：$a$是第一次变化前的原始数量；$x$为平均增长率（正数）或降低率（正数）；$n$为变化次数；$b$是两次变化之后的最终数量。 解题步骤：①审题，找出初始量$a$、最终量$b$、变化次数；②设平均变化率为$x$；③套模型列出一元二次方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际意义。变化率$x$一般为正数，增长率不能小于$-1$；降低率不能大于1，不符合实际的根直接舍去。 易错点：混淆增长与降低，加号减号写反；把两次增长错误写成$\(a+ax+ax=b\)$，没有理解复利式增长；解出负数增长率或者大于1的降低率不检验，保留不符合题意的解；分不清“增长到”和“增长了”。“增长到”指最后总量；“增长了”指增加的部分。 ## 二、基础专项练习 1. 某工厂今年产值100万元，计划两年后产值达到144万元，求平均年增长率。 2. 一款商品原价200元，连续两次降价后售价为128元，求平均每次降价的百分率。 3. 某养殖场年初有肉鸡500只，两年后数量增长到720只，设平均年增长率为$x$，列出方程。 4. 某药品原价每盒80元，连续两次降价，设平均每次降价百分率为$x$，现价为45元，列出方程。 ## 三、能力提升练习 1. 某公司一月份营业额200万元，三月份营业额288万元，如果每月增长率相同，求月增长率。 2. 某种电子产品，两年前成本为3000元，现在成本降到1920元，求平均每年成本降低的百分率。 3. 某社区2024年绿化面积为5000平方米，计划2026年绿化面积增加到7200平方米。 （1）求这两年绿化面积的平均增长率；（2）按这个增长率，预计2027年绿化面积是多少。 4. 某商店一月份利润5万元，第一季度总利润18.2万元，每月增长率相同，求月增长率。 ## 四、拓展应用题 1. 某地区2024年投入教育经费2500万元，2026年投入教育经费3600万元。 （1）求2024到2026年教育经费投入的年平均增长率； （2）按照这个增长率，预计2027年投入教育经费多少万元。 2. 一款口罩，经过两轮涨价，价格由每包10元涨到14.4元，已知两次涨价百分率相同。求平均每次涨价的百分率；若第三次继续按这个百分率涨价，求第三次涨价之后售价。 ## 五、参考答案与解析 ### 基础题 1. 设平均年增长率为$x$，$100(1+x)^2=144$，$(1+x)^2=1.44$，$1+x=\pm1.2$。 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$舍去。平均年增长率20%。 2. 设平均每次降价百分率为$x$，$200(1-x)^2=128$，$(1-x)^2=0.64$，$1-x=\pm0.8$。 $x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$舍去。平均每次降价20%。 3. $500(1+x)^2=720$ 4. $80(1-x)^2=45$ ### 提升题 1. 一月200万，三月288万，间隔两个月。$200(1+x)^2=288$，$(1+x)^2=1.44$。 $\(1+x=1.2\)$，$x=0.2=20\%$。月增长率20%。 2. $3000(1-x)^2=1920$，$(1-x)^2=0.64$，$1-x=0.8$，$x=0.2=20\%$。每年降低20%。 3.（1）$5000(1+x)^2=7200$，$(1+x)^2=1.44$，$\(1+x=1.2\)$，$x=0.2=20\%$。平均增长率20%。 （2）2027年：$7200\times(1+20\%)=8640$平方米。 4. 一月5万，二月$\(5(1+x)\)$，三月$\(5(1+x)\)^2$，一季度总和： $5+\(5(1+x)\)+\(5(1+x)\)^2=18.2$，整理：$5x^2+15x-3.2=0$，$25x^2+75x-16=0$， 因式分解$(5x+16)(5x-1)=0$，$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-\dfrac{16}{5}$舍去。月增长率20%。 ### 拓展题 1.（1）$2500(1+x)^2=3600$，$(1+x)^2=1.44$，$\(1+x=1.2\)$，$x=0.2=20\%$，年均增长率20%。 （2）2027年：$3600\times(1+20\%)=4320$万元。 2. $10(1+x)^2=14.4$，$(1+x)^2=1.44$，$\(1+x=1.2\)$，$x=0.2=20\%$。每次涨价20%。 第三次涨价后：$14.4\times(1+20\%)=17.28$元。 ## 六、易错点总结 1. 模型使用错误：两次增长是平方，不是乘以2。很多同学写成$\(a(1+2x)=b\)$，这是最常见错误。 2. 区分总增长和两次分别增长：第一季度总利润这类题目，需要把三个月利润相加，不是直接套平方公式。 3. 解方程得到两个根，一定要检验实际意义。增长率不能为负数；降低率不能大于1，不符合的根必须舍去。 4. 看清时间跨度：2024到2026，是间隔2年，变化次数是2次，指数为2；审题时留意年份，不要数错变化次数。 5. “增长到”和“增长了”：基数$a$，增长到$b$，直接用$b$；增长了$b$，最终量是$\(a+b\)$。 变化率应用题是中考必考题型，常以解答题出现，固定的模型，但陷阱很多。解题优先找初始量、变化次数、最终量，判断是增长还是下降，列出方程；解方程之后必须检验，舍去不符合现实的根。这类题目经常和百分数计算结合，计算时注意小数点，不要算错。 （全文：1333字） 下一节：**24.4.2几何图形问题**，继续1333字专项练习吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 24.4.1变化率问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十四章 一元二次方程 学习目标 新知探究 变化率问题 塞罕坝机械林场，地处河北省围场满族蒙古族自治县境内．几十年来，通过几代塞罕坝人的艰苦努 力，荒原沙地变成了具有百万亩林海的一道绿 色屏障，成为我国“生态文明建设的范例”． 该林区对于防止土壤流失，改善周边地区的空 气质量，起到了一定的作用．随着森林覆盖面积不断增加，周边空气的质量也得到了很大改善．据统计，围场县城2018年空气优良的天数为321天，2020年空气优良的天数为337天. 一起探究 新知探究 变化率问题 设该县这两年空气优良天数的年平均增长率为，请解决下面的问题: 思考 1.根据题意列出方程. 2018年 321天 2019年 321天 分析： 2020年 321 天 新知探究 变化率问题 设该县这两年空气优良天数的年平均增长率为，请解决下面的问题: 思考 2.依据1中所列方程，求该县这两年空气优良天数的年平均增长率.(结果精确到0.1%，可借助计算器计算) 解：直接开平方，得 （不合题意，舍去） 答：该县这两年空气优良天数的年平均增长率为2.5%. 关于增减变化问题，若一个量经过两个时期由变为，第一期的增长率为，第二期的增长率为，则有等式． 归纳总结 归纳总结 变化率问题 如果增长率相同，则可得计算式： 即. 当增长率为负数时，表示负增长. 类型1 增长率问题 1. 某中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情 况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九 年级毕业时累计共有183人次获奖.设这两年中获奖人次的平 均年增长率为 ，依题意，下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 6 2. 鸟尊是山西博物院的镇馆之宝，以鸟尊为素材 的文创书签热卖，某商店七月销售鸟尊书签600枚，九月销 售鸟尊书签864枚.该商店八、九月鸟尊书签销售量平均每月 的增长率为_____. 【点拨】设八、九月平均每月的增长率为 ，由题意得 ,解得， （舍去）.故八、九月平均每月的增长率为 . 返回 举一反三 7 3. 中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 80周年，全国各地积极开展 “弘扬红色文化，重走长征路” 主题教育活动.某展览中心8月份参观人数 是6月份参观人数 的2倍，已知8 月份的参观人数增长的百分率比7月份参观人 数增长的百分率多 .求7月份和8月份参观人数增长的百分 率.（结果精确到 ） 举一反三 8 【解】 设 7 月份参观人数增长的百分率为 ，6月份参观人 数为，根据题意，得 ， 解得 . ，， . 答：7月份参观人数增长的百分率为 ，8月份参观人数 增长的百分率为 . 返回 举一反三 9 新知探究 某医疗器械在国家集体采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000元/件降为2 160元/件. 如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少?（P61） 做一做 变化率问题 分析：设第一次降价的百分率为，完成下表 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 对于此类问题，我们可以采用列表法，直观看出对应关系。 新知探究 某医疗器械在国家集体采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000元/件降为2 160元/件. 如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少?（P61） 做一做 变化率问题 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 解：设第一次降价的百分率是， 则第二次降价的百分率是 . 依题意，得 . 整理，得. 解方程，得（不合题意，舍去）. 答：第一次降价的百分率是10％，第二次降价的百分率是20％. 利用一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系； (2)设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设； (3)寻找等量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同； (4)选择合适的方法解方程； (5)检验，因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验． (6)写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则. 归纳总结 归纳总结 一元二次方程的应用 典例分析 例1 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现：搭建一个面积为公顷的大棚，所需建设费用与成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与成正比例，比例系数为6.某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.2万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.（注：总费用=建设费用+内部设备费用） 变化率问题 解：依题意，得. 整理，得. 解方程，得（不合题意，舍去）. 答：该农户新建的这个大棚的面积为0.2公顷. 分析：建设费用，建设费用 类型2 降低率问题 4. [唐山模拟] 在英超联赛中，某求队的球票定价为60英镑， 最近由于球队低迷的状态，球迷们拒绝高价观看比赛，为了 安抚球迷，球票价格经过连续两次下调到48.6英镑，若每次 下调的百分率相同，则每次下调的百分率是( ) C A. B. C. D. 【点拨】设每次下调的百分率为 ，根据题意，得 ，解得， （不合题意，舍去）， 每次下调的百分率是 .故选C. 返回 举一反三 14 5. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半， 三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在 学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假 设每天遗忘的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，可 得平均每天遗忘的百分比约为_______（参考数据： ）. 举一反三 15 【点拨】 设平均每天遗忘的百分比为 ，根据题意，得 ，解得， （不合题意，舍 去）， 平均每天遗忘的百分比约 为. 返回 举一反三 16 6.一家奶茶店前年初投入了50 000元用于装修和进货，后又 将前年年底赚到的利润和年初投入的资金合在一起，作为去 年年初的运营资金.到去年年底，两年一共赚了34 375元.已 知去年的利润率比前年利润率低10个百分点，求这家奶茶店 前年和去年的利润率.（注：利润 投入基数×利润率） 举一反三 17 【解】 设这家奶茶店前年的利润率为 ，根据题意，得 , 解得， （不合题意，舍去） ， . 答：这家奶茶店前年的利润率为，去年的利润率为 . 返回 举一反三 18 课堂小结 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤: 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程（注意单位要统一） 解方程，求出未知数的值 检验方程的根能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 审 答 验 解 列 设 谢谢观看 THANKS $