第28章 大招专题6 圆中的最值问题-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（冀教版·新教材 河北专版）
2026-09-14
|
46页
|
26人阅读
|
1人下载
教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦第二十八章“圆中的最值问题”，通过母题引入（如利用垂径定理求弦长最小值）结合子题变式（如将军饮马模型求PA+PB最小值），搭建从基础定理到综合模型的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。
其亮点在于“母题学大招-子题练变式”分层训练，通过大招解读提炼规律（如过圆内定点弦的最值规律），培养几何直观与模型意识。实例解析步骤清晰（如构造辅助圆求OM最大值），助力学生提升推理能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。
内容正文：
数 学
九年级上册 JJ
1
2
3
第二十八章 圆
4
大招专
题6
圆中的最值问题
5
刷难关
目 录
鼠标轻轻一点，内容立即呈现
6
难关
母题学大招21 利用圆的性质求最值
（第1题图）
1.【2026河北邢台期中，中】如图，在平面直角坐标系中，以原
点为圆心的圆过点，一直线过点与圆交于，
两点，则弦 的最小值为_____.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7
【解析】如图所示，过点作轴于点，连接,,则 ，
， 根据勾股定理得. 点， ，
过圆内定点的所有弦中，与垂直的弦最短， 由垂径定理
及勾股定理可得的最小值为 ，故
答案为 .
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8
大招解读 利用圆的性质求最值
如图，过圆内一定点的所有弦中，直径最长，与直径垂直的弦 最短.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9
子题练变式
2.【2026四川泸州期末，中】如图，的直径，弦，且弦 在圆
上滑动（的长度不变，点,与点,不重合），过点作于点 ，若
是的中点，则 的最大值是___.
4
（第2题图）
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10
【解析】如图，延长交于点，连接,则， 是
的中点，
是的中位线，， 当的值最大时， 的值最大，即
当为直径时，的值最大.的直径， 的最大值为
，故答案为4.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11
思路分析
延长交于点，连接，根据垂径定理可得 ，再根据三角形中位
线定理可得，进而可得当的值最大时，的值最大，即当 为直
径时， 的值最大，即可求解.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12
母题学大招22 利用将军饮马模型求最值
（第3题图）
3.【2026江苏扬州质检，中】如图，为的直径，, 是
上的两点，过作于点，过作 于点
，为上的任意一点，若，， ，则
的最小值是( )
B
A.20 B. C.14 D.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13
【解析】 .
如图，连接，，， ，
，，是 上的两点，
，，， ，
，.延长与相交于点，连接, 为
的直径，，，， ,
当点在直线上时，取最小值，且最小值为的长.过作
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
交的延长线于点.又，， 四边形 是矩形，
，， ，
，的最小值是 ，故选B.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
大招解读 利用将军饮马模型求最值
已知,为上直径同侧两点，为直径上一动点，求 的最小值.如
图，作点关于的对称点，连接交于点，则，故当点 与
点重合时，取得最小值，最小值为 的长.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
16
母题学大招23 利用圆外点到圆的距离求最值
（第4题图）
4.【2026湖南长沙期末，中】已知点和直线 ，
求点到直线的距离可用公式 计算.根
据以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为 ，
半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，
是上的动点，则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.2
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
17
【解析】如图，过点作 直线，交于点，此时 的值
最小.根据点到直线的距离公式可知，点到直线 的距离
.的半径为1， ，故选A.
大招解读 利用圆外点到圆的距离求最值
如图，外有一定点，点在上运动：①当点是线段与 的交点时
（即在处），线段的值最小；②当点是线段的延长线与 的交点时
（即在处），线段 的值最大.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
18
子题练变式
5.【2026河北衡水期末，中】如图，的半径为2，圆心的坐标为，点
是上的任意一点，，且，与轴分别交于，两点，若点 、
点关于原点对称，当线段最短时，点 的坐标为_______.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
19
【解析】如图，连接，连接交于点 点的坐标为 ，
，， .若要
使最短，则需取得最小值.当点位于位置时，取得最小值. ，
，，， 点的坐标为，故答案为 .
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
20
关键点拨
连接，连接交于点.根据点的坐标，利用勾股定理求出 的长，
再根据直角三角形斜边中线的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点知
,得到当最小时, 最短是解题关键.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
21
母题学大招24 利用定点定长构造辅助圆求最值
6.［中］如图，点，的坐标分别是，，点 为坐标
平面内一动点，，点为线段的中点，连接，则
的最大值为( )
C
A. B. C. D.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
22
【解析】如图， 点为坐标平面内一动点，， 在以
为圆心，2为半径的圆上运动.取 ，连接
，，是 的中位线，
，
当最大时，最大.当，，三点共线，且在的延长线上时， 最
大，故此时最大.， ， ，
，，即的最大值为 .故选C.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
23
大招解读 利用定点定长构造辅助圆求最值
已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
如图，动点到定点的距离为定值，则点的轨迹为以点 为圆
心， 为半径的圆.
关键点拨
根据题意可知,点在半径为2的上运动，通过画图可知，在 的延长线上
时， 最大.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
24
子题练变式
（第7题图）
7.【2026广东揭阳质检，中】如图，在矩形 中，已知
，，点是边上一动点（点不与， 重合），
连接，作点关于直线的对称点，则线段 的最小值为
( )
A
A.2 B. C.3 D.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
25
【解析】如图，连接 点和关于对称，，在以 为
圆心，3为半径的圆上运动，易知当，，三点共线时， 最短，此时
，， .故选A.
（第7题图）
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
26
8.【2026山东烟台期中，较难】如图，在平面直角坐标系中，半径为4的
与轴交于点，，与轴交于点，，连接，已知轴上一点，点 是
上一动点，连接，点为的中点，连接，，则 面积的最小
值为__________.
（第8题图）
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
27
（第8题图）
【解析】如图，连接，， .由题意得
，， 为
直径， .由题意知，点在以 为圆心，
2为半径的上运动.当点为线段与 的交点时，点
.故答案为 .
到的距离最短，为， 面积的最小值为
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
28
思路分析
连接，，，由三角形的中位线定理求得，得点在以点 为圆心，
2为半径的上运动，分析出当点为线段与的交点时， 的面积最
小，求出此时 的长即可解决问题.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
29
母题学大招25 利用定弦定角构造辅助圆求最值
（第9题图）
9.【2026浙江金华期中，中】如图，在 中，
，，，点 是其内部一动点，且
，则， 两点间的最小距离为( )
C
A.3 B.4 C. D.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
30
【解析】中， ，，， 由勾
股定理，得
.如图，取的中点 ，
， ，
，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动.连接交圆 于
点.当点与点重合时，,间的距离最小，最小距离为的长.在
中，由勾股定理，得，故, 两点间的最小
距离为 ，故选C.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
31
大招解读 利用定弦定角构造辅助圆求最值
固定线段所对动角为定值,则点运动轨迹为过,, 三点
的圆.
原理:弦 所对的同侧圆周角恒相等.
备注：点 在优弧、劣弧上运动皆可.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
32
思路分析
取的中点，由及 ，得出 ，可得 点
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交圆于点，当点与点 重合
时，, 间的距离最小.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
33
子题练变式
（第10题图）
10.【2026安徽铜陵期中，中】如图，在矩形 中，
，，点 是矩形内部的一个动点，且
，则线段 长的最小值为( )
A
A.8 B.10 C.12 D.6
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
34
【解析】 四边形是矩形， ，
， ，
， 点在以为直径的圆上运动.如图（1），连接 ，
， 当，，三点共线时， 最小，如图（2），由勾股
定理，得， .
故选A.
图（1）
图（2）
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
35
11.【2026河南开封期末，较难】如图，正方形 的边长为4，
点,分别是，上的动点，且，连接， 交于
点，连接，则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
36
【解析】 .
如图，取中点，连接，.在正方形中， ,
.在和 中，
， ，
， ， 点在以点 为圆
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
37
心，长为半径的半圆上运动， 当，，三点在同一条直线上时， 取最
小值.在中，， 的最小值为
，故选A.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
母题学大招26 利用四点共圆求最值
12.【2026福建福州期中，中】如图，正方形 的边长为6，
点是正方形外一动点，且点在的右侧， ， 为
的中点，连接,当运动时，线段 的最大值为( )
D
A. B. C. D.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
39
【解析】如图，连接,交于点，连接, ,
，,,,四点共圆,易知点即为圆心. 正方形
图（1）
大招解读 利用四点共圆求最值
对角互补型:
如图（1），若 或 ,
则,,, 四点共圆.
的边长为6，.为的中点，是 的中点，
， 当点在线段上时， 最大，
此时，即线段的最大值为 .故选D.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
40
图（2）
同侧等角型：
如图（2），若,则,,, 四点共圆.
关键点拨
连接，交于点，连接，.根据 ,
得到，，，四点共圆，且点 为圆心是解题关键.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
41
子题练变式
13.【2026黑龙江绥化期末，较难】如图，已知菱形中， ，点
，分别在，上，，与交于点，连接 .
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
42
（1）求证： ；
图（1）
【证明】如图（1）所示，连接 四边形 是菱形，
， ，
是等边三角形， ， .又
，， ，
.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
43
（2）当，时，求 的长；
图（2）
【解】如图（2），延长到，使得，连接 .
由（1）易得 菱形中， ，
， ， ，
，
.又， ，
，， ,
， ， 是等边三角形，
.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
44
（3）当时，求 的最大值.
【解】 ， ，
，,,,四点共圆， 当为直径时， 的值
图（3）
最大.设圆心为，连接，，，过点作于 ，
如图（3）所示， ，
， ，
，，， 的最大
值为4.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
45
思路分析
证明，，，四点共圆，则当为直径时，的值最大，设圆心为 ，连接
，，，过点作于，在中求出 的长即可得到答案.
刷难关
返回目录
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
46
$
资源预览图
1
2
3
4
5
6
相关资源
示范课
由于学科网是一个信息分享及获取的平台，不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益，请联系学科网，我们核实后将及时进行处理。