24.3 一元二次方程根与系数的关系 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册24.3 一元二次方程根与系数的关系专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 对于一元二次方程$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a≠0)}$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)当$\Delta=b^2-4ac\ge0$时\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)方程有两个实数根$x_1,x_2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)根与系数的关系（韦达定理）： $$\boldsymbol{x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}}$$ 特殊形式：方程$x^2+px+q=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)两根之和$x_1+x_2=-p$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)两根之积$x_1x_2=q$。 常用代数式变形（考试高频）： $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$； $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$； $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}$。 重要前提：**使用韦达定理前\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)必须保证方程是一元二次方程（$a≠0$）\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)并且方程有实数根（$\Delta\ge0$）**。如果$\Delta<0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)方程没有实数根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)不存在两根之和、两根之积。 韦达定理的常见题型：已知方程\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求两根代数式的值；已知两根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)构造一元二次方程；已知一根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求另一根与参数；根据两根关系求参数取值。 易错点：两根之和容易漏掉负号\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)记成$x_1+x_2=\dfrac{b}{a}$；忽略$a≠0$和$\Delta\ge0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求出参数后不检验；代数式变形公式记错；构造方程时符号出错。 ## 二、基础专项练习 1. 已知方程$x^2-5x+6=0$两根为$x_1,x_2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求$x_1+x_2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$x_1x_2$。 2. 一元二次方程$2x^2+3x-4=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)不解方程求两根之和与两根之积。 3. 已知方程$x^2-4x=0$的一个根是0\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求另一根。 4. 已知方程两根是2和$-3$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)写出对应的一元二次方程。 ## 三、能力提升练习 1. 若方程$x^2-3x-1=0$两根为$x_1,x_2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求$x_1^2+x_2^2$的值。 2. 已知方程$2x^2-6x+3=0$两根$x_1,x_2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$。 3. 已知关于$x$的方程$x^2-(m+2)x+2m=0$一个根是3\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求$m$的值与另一根。 4. 已知方程$x^2-2(k-1)x+k^2=0$有两个实数根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求$k$的取值范围。 ## 四、拓展应用题 1. 已知一元二次方程$x^2-4x+k-1=0$有两个实数根$x_1,x_2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)且$x_1^2+x_2^2=10$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求$k$的值。 2. 已知两个数的和为7\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)积为12\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求这两个数。 ## 五、参考答案与解析 ### 基础题 1. $a=1,b=-5,c=6$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$x_1+x_2=5$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$x_1x_2=6$。 2. $a=2,\(b=3\),c=-4$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$x_1+x_2=-\dfrac{3}{2}$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$x_1x_2=-2$。 3. 设另一根为$x_2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$0+x_2=4$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)得另一根$x_2=4$。 4. $x_1=2,x_2=-3$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)x_1x_2=-6$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)方程：$x^2+x-6=0$。 ### 提升题 1. $x_1+x_2=3\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)x_1x_2=-1$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\) $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2\times(-1)=9+2=11$。 2. $x_1+x_2=3\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\) $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{3}{\frac{3}{2}}=2$。 3. 把$\(x=3\)$代入方程：$9-3(m+2)+2m=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)解得$\(m=3\)$。 方程为$x^2-5x+6=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)两根之和$x_1+x_2=5$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)另一根$=5-3=2$。 4. 方程有两个实数根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)则$\Delta\ge0$。 $\Delta=[-2(k-1)]^2-4\times1\times k^2=4(k^2-2k+1)-4k^2=-8k+4\ge0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)解得$k\le\dfrac12$。 ### 拓展题 1. $x_1+x_2=4\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)x_1x_2=k-1$。 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-2(k-1)=10$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\) $16-2k+2=10$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)解得$\(k=4\)$。 检验：当$\(k=4\)$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$\Delta=16-4\times(4-1)=16-12=4>0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)满足有实数根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$\(k=4\)$成立。 2. 设两数为一元二次方程的两根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)则$x_1+x_2=7\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)x_1x_2=12$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\) 方程：$x^2-7x+12=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)因式分解$(x-3)(x-4)=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)两根3和4。两个数为3、4。 ## 六、易错点总结 1. 最常出错：两根之和公式$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)负号千万不能丢。方程$2x^2+3x-4=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)$\(b=3\)$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)所以和是$-\dfrac32$。 2. 使用韦达定理的前提不能忘：必须是一元二次方程$a≠0$；必须有实数根$\Delta\ge0$。含参数题目\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)求出参数后**一定要检验判别式**\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)不符合$\Delta\ge0$的参数要舍去。 3. 代数式变形\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)不能死记公式\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)最好自己推导一遍。$x_1^2+x_2^2$不是$(x_1+x_2)^2$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)需要减去$2x_1x_2$。 4. 已知两根构造方程：$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)中间是减两根之和\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)很多同学符号写错。 5. 韦达定理不需要解方程\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)直接用系数关系计算\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)但只能用于实数根；如果题目没有说明方程有实数根\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)不能直接套用。 韦达定理是一元二次方程这一章的重难点\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)中考常考填空、选择\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)也会结合判别式出解答大题。题型灵活\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)经常和代数式求值、参数范围、构造方程综合在一起。做题顺序：先确认$a≠0$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)计算判别式\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)再写出两根和与积\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)最后进行代数式变形。很多同学只算出参数\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)忽略检验$\Delta$\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)直接丢分\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)这是本章最典型的扣分点。 （全文：1333字） 下一节：**24.4 一元二次方程的应用**\(x_1+x_2=-1\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=3\(x_1+x_2=4\(x_1+x_2=7，x_1x_2=12\)x_1x_2=k-1\)x_1x_2=\dfrac{3}{2}\)x_1x_2=-1\)x_1x_2=-6\)继续1333字专项练习吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 24.3 一元二次方程根与系数的关系 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十四章 一元二次方程 学习目标 复习回顾 因式分解法解一元二次方程的步骤： 一移：方程的右边 = 0； 二分：方程的左边分解因式，； 三化：方程化为两个一元一次方程（）； 四解：解出方程的两个解. 回顾训练 用因式分解法解下列方程： . 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 （1）对于方程，可以通过十字相乘的方法进行因式分解。 解：因式分解， 解得，. 观察方程的两根和，与方程的系数有什么关系？ 思考 , , x2 7x + 10 = 0 相反数 相等 二次项系数为1 一次项系数 常数项 猜想：对于任意一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？和同桌一起列几个方程试试吧。 一起探究 二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系： 设一元二次方程 的两根为， 那么. 文字描述：在二次项系数为1的一元二次方程中，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 归纳总结 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 （2）对于方程的两根，是否仍有这样的结论呢？ 分析：先将方程化为二次项系数为1的形式. 一起探究 二次项系数不为1，应该怎么办呢？ （2）方程两边同除以 2 ，得 设两根为，可得 新知探究 你能运用题（2）的方法，探索一元二次方程一般形式的根与系数的关系吗？ 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 解：方程两边同除以 ，得 由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系， 一起探究 尝试利用求根公式验证结论。 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程的两根为， 那么. 文字描述：在一元二次方程中，两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得商。 归纳总结 归纳总结 适用于所有一元二次方程，也叫韦达定理. 一般形式下一元二次方程的根与系数的关系 典例分析 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积. （1）; （2） 根与系数的关系 解：（1）这里，且 所以， 需要判断原方程是否有根！ 典例分析 例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根的和与积. （1）; （2） 根与系数的关系 解：（2）这里，且 所以， 你能总结求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤吗？ 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1. [湖北中考] 一元二次方程 的两个实数根为 , ，下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 2. 若,是一元二次方程 的两 个实数根，则 ____. 返回 举一反三 10 3. 请写出一个满足下列条件的一元二次方程： 二次项系数不为1，且两根之和为负，两根之积为负.你所写 的一元二次方程是_______________________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 11 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 4. 若是方程 的一个根，则方程 的另一个根是( ) D A. 2 B. C. 4 D. 思路支架 返回 举一反三 12 求一元二次方程两根之和与两根之积的步骤： 归纳总结 归纳总结 (1) 一化：把方程化为一般形式； (2) 二找：确定系数的值； (3) 三判：计算的值，判断方程是否有实数根； (4) 四算：若方程有实数根，则根据根与系数的关系计算. 根与系数的关系 新知探究 已知关于的一元二次方程（为常数）的两个实数根分别为 ，且,求 及的值.（P61） 做一做 利用根与系数的关系求未知数的值 解：根据根与系数的关系，得; 所以； 即； 所以; 所以 典例分析 例2 设是方程 的两个实数根， 且，求的值. 利用根与系数的关系求未知数的值 解：由方程有两个实数根，得 即 . 由根与系数的关系得,. ∴ . 由 ，得 , 解得 . 经检验，不合题意，舍去。所以. 15 几种常见的求值公式: 归纳总结 归纳总结 利用根与系数的关系求未知数的值 (1)；(2) (3；(4) (5) ; (6 5. [河北中考] 若一元二次方程 的两根之和 与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位 于( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 举一反三 17 6.[唐山模拟] 若和为方程 的两个不相等的 实数根，则 _____. 【点拨】，为方程 的两个实数根， ，.， . 返回 举一反三 18 知识点3 用一元二次方程根与系数的关系求字母值 7. [乐山中考] 若关于的一元二次方程 的两 根为,，且，则 的值为( ) A A. B. C. D. 6 【点拨】 关于的一元二次方程 的两根为 ,，， ， ，即，解得 . 返回 举一反三 19 8. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好 是方程 的两个根，且这个直角三角形的斜 边上的中线长是，则 ____. 举一反三 20 【点拨】设直角三角形的斜边长为，两直角边长分别为 与 这个直角三角形的斜边上的中线长是 ， 直角三角形的两条直角边的长恰好是方 程的两个根，， .根据 勾股定理可得 ， ， . 返回 举一反三 21 9.已知关于的方程 . （1）若该方程有一个根是，求 的值. 【解】把 代入方程得 ,解得或 . 举一反三 22 （2）若该方程的两个实数根， 满足 ，求 的值. 方程的两个实数根为, , ，解得 , ， . ， 解得或 （不合题意，舍去）. . 返回 举一反三 23 10. 定义为方程 的特征数.若 特征数为 的方程的两实数根的平方和为12， 则 的值为( ) C A. 或4 B. 4 C. D. 或1 举一反三 24 【点拨】根据题意可知，该方程为 方程有两个实数根，.设两实数根分别为， ，则 ， ， ，解得， .又 ， . 返回 举一反三 25 11. [襄阳自主招生] 设方程 有两 个根和,且 ,那么方程 的较小根 的范围为( ) D A. B. C. D. 举一反三 26 【点拨】,是方程 的两根， ,.又 以, 为两根的一元二次 方程为 , , ,化简得 .不妨设方程的两根为 , , . 返回 举一反三 27 课堂小结 一元二次方 程根与系数 的关系 使用 条件 设二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q ＝ 0 的 两根为 x1 、x2，那么 x1 + x2 ＝－p，x1x2 ＝ q ①方程是一元二次方程，且要化为一般形式； ②方程有实数根，即 Δ ≥ 0 对于一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 ( a ≠ 0)， 当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根 分别为x1 、x2 ，这两个根与系数的关系是 x1 + x2 ＝－，x1 x2 ＝ . 谢谢观看 THANKS $