24.4 一元二次方程的应用（课件）2026-2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖增长率、几何图形、销售与比赛问题，通过塞罕坝林场、矩形围栏等实际案例导入，衔接方程解法，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点是以真实情境为载体，引导学生用“审设列解验答”六步解决问题，培养抽象能力（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。如销售问题中分析价格与销量关系构建方程，检验解的实际意义，助力学生提升应用能力，教师可借分层作业设计优化教学。

第二十四章　一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第1课时 一元二次方程的应用(1) 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 活动一：自主探究增长率问题的建模方法 高效课堂 在河北省有这样一片林海——塞罕坝机械林场.几十年前这里还是黄沙遮天的荒原，经过几代建设者的艰苦奋斗，如今已成为百万亩人x林海，被誉为“生态文明建设的范例”. 请阅读教材中关于塞罕坝机械林场的相关信息，尝试分析问题中的已知量、未知量和等量关系. “年平均增长率”即为这两年的增长率为同一个数. 2 (1)某农场的粮食产量年平均增长率为x，前年产量为100 吨，今年产量为121 吨，求x. (2)用长20 米的铁丝围一个矩形花圃，花圃的面积为24 平方米，求矩形的长和宽. 尝试用学过的知识列出方程. 导入新课 3 高效课堂 做一做. 某医疗器械在国家集中采购政策的调控下，一年内经两次降价后，价格从3 000 元/件降为2 160 元/件。如果第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍，那么两次降价的百分率各是多少？ 高效课堂 增长率和下降率为生活中的常见问题，核心等量关系“初始量×(1＋平均增长率)2＝最终量”或“初始量×(1－平均下降率)2＝最终量”，在理解的基础上掌握该类问题的建模思路. 活动二：归纳一元二次方程应用的解题步骤 高效课堂 一元二次方程解决实际问题的步骤： 一审，审清题意，找出已知量、未知量和核心等量关系； 二设，根据题意设出合适的未知数，可直接设也可间接设； 三列，根据等量关系列出一元二次方程； 四解，运用合适的方法解一元二次方程； 6 高效课堂 五验，检验方程的解是否符合方程本身，更重要的是检验是否符合实际问题的意义； 六答，根据检验的结果，写出规范的答案. 7 高效课堂 思考：这六个步骤中，哪个步骤是最关键的？ 哪个步骤最容易被忽略？ “审”和“列”是建模的核心，是最关键的步骤，而“验”是最容易被忽略的步骤. 解的实际合理性检验的重要性，避免出现与实际不符的答案. 8 高效课堂 以教材的增长率问题为例，对照这六个步骤，再完整地梳理一遍解题过程，加深对步骤的理解和记忆. 审、设、列、解、验、答，这六步是解决所有一元二次方程应用题的通用方法，缺一不可.后续解决任何一元二次方程的应用题，都要严格按照这六步来，规范解题思路和格式. 9 活动三：知识迁移与运用 高效课堂 例 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经过市场调查发现：搭建一个面积为x 公顷的大棚，所需建设费用与x＋2成正比例，比例系数为1.8；内部设备费用与x2成正比例，比例系数为6.某农户新建了一个大棚，投入的总费用为4.2 万元.请计算该农户新建的这个大棚的面积.(注：总费用＝建设费用＋内部设备费用) 10 高效课堂 问题1：题目中的已知量、未知量分别是什么？ 已知量为比例系数1.8和6、总费用4.2 万元，未知量为大棚面积x. 问题2：题目中“建设费用与x＋2成正比例，比例系数为1.8”是什么意思？ 建设费用该如何用含x的代数式表示？ 由正比例函数的定义，得出建设费用为1.8(x＋2). 问题3：“内部设备费用与x2成正比例，比例系数为6”又该如何理解？ 内部设备费用该如何用含x的代数式表示？ 内部设备费用为6x2. 11 高效课堂 问题4：本题的核心等量关系是什么？ 根据这个等量关系，列出对应的一元二次方程. 根据“总费用＝建设费用＋内部设备费用” 列出方程1.8(x＋2)＋6x2＝4.2. 12 高效课堂 问题5：解方程，方程的两个解都符合题目的实际意义吗？ 为什么？ 解：依题意，得1.8(x＋2)＋6x2＝4.2. 整理，得10x2＋3x－1＝0. 解得x1＝0.2，x2＝－0.5. 面积不能为负数，x2＝－0.5不合题意，应舍去. 答：该农户新建的这个大棚的面积为0.2 公顷. 13 高效课堂 这类应用题和之前学的增长率问题一样，都要遵循“审、设、列、解、验、答”的六步解题法. 解决这类问题的关键，是先把题目中抽象的“正比例关系”转化为具体的代数式，再根据“总费用＝各部分费用之和”的等量关系列方程. 要特别注意，像面积、费用这样的实际量，方程的解必须是正数，所以检验环节至关重要，不能只看方程的解，更要结合实际意义取舍. 14 1. 通过本节课的学习，你是否掌握了用一元二次方程解应用题的方法和步骤？能解决哪些类型的实际问题？ 2. 学习了本节课，你认为在解决教材中的一元二次方程应用题时，最需要注意的问题是什么？你有哪些解题技巧和感悟？ 课堂总结 15 基础性作业：教材习题第1，2题. 提高性作业：教材习题第3，4题. 拓展性作业：教材习题第5题. 作业设计 16 第二十四章　一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第2课时 一元二次方程的应用(2) 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com (1)用长30 米的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，菜园的面积为100 平方米，求矩形菜园的长和宽. (2)在一个长20 米、宽15 米的矩形空地上，修两条互相垂直的宽为x 米的小路，剩余空地的面积为240 平方米，求小路的宽度. 尝试用学过的知识列出方程. 导入新课 18 活动一：自主探究几何图形问题的建模方法（围栏问题） 高效课堂 例1 如图，某小区要在小区内墙边的空地上修建一个长方形的儿童游场，游乐场的一面靠墙(墙长22 m)，另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.若所围成的游乐场的面积为700 m2，求这个长方形游乐场的长和宽. 19 高效课堂 问题1：题中有哪些已知条件？要求的是什么？在这个图形中，铁栅栏围了哪几面？墙起到了什么作用？ 已知铁栅栏总长90 m，游乐场的面积为700 m2，要求长方形的长和宽;铁栅栏围了与墙相对的一边和两侧的两边. 高效课堂 问题2：设长方形游乐场与墙平行一边的长为x 米，那么与墙垂直的一边长应该如何用含x的代数式表示？为什么？ 三面铁栅栏的总长是90 m，其中包括一个“与墙平行的边”(长为x m)和两个“与墙垂直的边”(长度相等).因此，两个垂直边的总长为(90－x)米，所以一个垂直边的长度为米. 高效课堂 问题3：根据面积公式，列出方程. x·＝700.解得x1＝70，x2＝20. 问题4：解出的两个根都符合实际意义吗？为什么？ 符合实际意义，因为两个值都大于0. 注意：只有x＝20符合题意. 高效课堂 问题5：题目中是否还有没用到的条件？应该如何使用？ “墙长22 m”这个条件未用到.在该条件下，与墙平行的一边长度不能超过墙的长度，所以x＝70不符合实际，应舍去. 检验这一步至关重要！ 不仅要检验解是不是方程的根，更要结合题目中的实际条件进行检验.只有经过实际意义检验的解，才是最终的答案. 活动二：归纳一元二次方程应用（几何类）的解题要点 高效课堂 问题1：结合解决围栏问题的过程，解决几何图形类应用题，和上节课的增长率问题相比，在“审题”和“列式”这两个关键步骤上，有什么特别需要注意的地方？ 要仔细观察图形，明确哪些是已知的、哪些是未知的、有哪些等量关系； 要特别注意题目中的隐含条件(如边长不能为负数等)；列代数式时要准确表示出几何量之间的关系. 24 高效课堂 问题2：默读教材例2的完整解题过程，重点关注书写格式，对不合题意的解是如何处理的？ 先解方程，得到两个解，然后结合“墙长22 m”这一条件，明确指出x＝70不合题意应舍去，最后规范作答. 25 高效课堂 解决几何图形问题，仍然遵循“审、设、列、解、验、答”六步法.其中，“审”要审图形结构，“列”要准确表示几何量.而对解的“验”，除了看是否为正，还要看是否符合图形的实际限制. 26 活动三：知识迁移与运用（折叠盒子问题） 高效课堂 例2 如图1所示的是一张面积为1 836 cm2的长方形薄纸板，纸板的四角上是边长相等的正方形.如果按图1中的实线剪开，虚线折叠，恰好将其折叠成一个长为26 cm、宽为18 cm的长方体形文件盒，如图2所示，那么这个文件盒的厚度为多少厘米？ 27 高效课堂 问题1：题目中已知哪些量？要求的是什么？ 已知条件是原长方形纸板面积是1 836 cm2，折叠成的长方体盒子的长为26cm、宽为18 cm.要求的是盒子的厚度(即剪去的正方形的边长). 问题2：如果设盒子的厚度(即剪去的正方形的边长)为x cm，那么原长方形纸板的长和宽该如何用含x的代数式表示？ 原长方形纸板的宽是由盒子的长(26 cm)加上两个x，即原长方形纸板的宽＝26＋2x.原长方形纸板的长是由2个盒子的宽(18 cm)和3个盒子的高(即3x)组成的.所以原纸板的长＝2×18＋3x. 28 高效课堂 问题3：已知原纸板面积＝原纸板长×原纸板宽.根据分析，列出方程. (2×18＋3x)(26＋2x)＝1 836. 问题4：试着解出这个方程. 解：整理，得x2＋25x－150＝0， 解得x1＝5，x2＝－30， x2＝－30不合题意，应舍去. 答：这个文件盒的厚度为5 cm. 29 高效课堂 这道题是一个从平面到立体的折叠问题，对空间想象能力要求较高.但无论图形多复杂，核心任务不变，即找到不变的量(如面积)，用未知数表示变化的量(如长、宽)，根据等量关系列出方程.同时，再次印证了“检验”的重要性，几何量必须为正，且要符合图形的实际结构. 30 1.通过本节课的学习，你掌握了用一元二次方程解决哪些类型的几何图形问题？ 2.在解决几何图形问题时，你认为最关键的一步是什么？最需要注意的陷阱又是什么？ 3.回顾“围栏问题”和“折叠盒子问题”，你对“数形结合”思想有了哪些新的体会？ 课堂总结 31 基础性作业：教材习题第1，2题. 提高性作业：教材习题第3，4题. 拓展性作业：教材习题第5题. 作业设计 32 第二十四章　一元二次方程 24.4 一元二次方程的应用 第3课时 一元二次方程的应用(3） 更多模板请关注：https：//haosc.taobao.com 问题1：前面已经学习了一元二次方程在增长率、几何图形中的应用.解决这些实际问题的核心步骤是什么？ “审、设、列、解、验、答”六步，关键是要找出等量关系. 导入新课 34 问题2：某商品原价60 元，每天可售出100 件.经市场调查发现，每降价1 元，每天可多售出10 件.如果某天该商品的销售额为8 250 元，那么该商品应定价多少元？ 导入新课 35 活动一：自主探究销售问题的建模方法 高效课堂 例1 某商场经销的太阳能路灯，标价为400 元/个，优惠办法是：一次购买数量不超过80 个，按标价收费；一次购买数量超过80 个，每多买1 个，所购路灯每个可降价2 元，但售价最低不能低于300 元/个.如果一顾客一次性购买这样的路灯用去38 400 元，那么该顾客实际购买了多少个路灯？ 36 高效课堂 问题1：题目中的已知量、未知量是什么？优惠办法的具体含义是什么？ 标价400 元，优惠分界点为80 个，每多1 个降2 元，最低价300 元，总花费38 400元.未知量是购买个数. 高效课堂 问题2：题目中“一次购买数量超过80 个，每多买1 个，所购路灯每个可降价2 元”，如果顾客购买了x 个(x＞80)，那么顾客在80 个的基础上多买了多少个？每个路灯降价多少元？每个路灯的实际售价是多少元？请用含x的代数式表示. 顾客多买了(x－80)个，每个路灯降了2(x－80)元，每个路灯的实际售价是[400－2(x－80)]元. 高效课堂 问题3：题目中“单价最低不能低于300 元/个”这个条件有什么作用？ 这是对售价的限制，即400－2(x－80)≥300，解出的x必须满足此条件. 问题4：本题的核心等量关系是什么？根据这个等量关系，列出方程. 总花费＝售价×数量，列出方程x[400－2(x－80)]＝3 8400. 高效课堂 问题5：整理并解出这个方程，方程的解都符合题意吗？为什么？ 解：整理，得x2－280x＋19200＝0， 解得x1＝120，x2＝160. 当x＝120时，售价为400－2×(120－80)＝400－80＝320(元)，符合不低于300 元的要求. 当x＝160时，售价为400－2×(160－80)＝400－160＝240(元)，低于300 元，不符合题意，应舍去. 答：该顾客实际购买了120 个路灯. 高效课堂 销售问题中，常常有价格限制或数量限制，检验解的合理性时，必须考虑这些实际条件.不能只看方程的解，还要看是否符合实际意义. 活动二：归纳一元二次方程应用（销售类）的解题要点 高效课堂 问题1：回顾解决销售问题的过程，总结出解决这类问题的一般步骤吗？与之前学习的增长率问题有什么异同？ “审、设、列、解、验、答”六步，销售问题中关键是表示出单价与销量的关系，并注意取值范围. 42 高效课堂 问题2：在销售问题中，常见的等量关系有哪些？ 销售额＝单价×销售量； 总利润＝单件利润×销售量； 单件利润＝售价－进价. 43 高效课堂 问题3：在本题中，如何表示单价的？当价格随购买量变化时，如何用代数式准确表达？ 单价＝原价－降价额，降价额与超过分界点的数量成正比. 44 高效课堂 销售问题通常涉及进价、售价、利润、销售量等量，要理清它们之间的关系. 列方程时，要准确用代数式表示这些量，特别是当价格变化引起销售量变化时.同时，解的检验不仅要看是否为方程的解，还要看是否满足题目中的附加条件. 45 活动三：知识迁移与运用（比赛问题） 高效课堂 例2 某少年宫组织一次足球赛，采用单循环的比赛形式，即每两支足球队之间都要比赛一场，计划安排28 场比赛.可邀请多少支球队参加比赛呢？ 46 高效课堂 问题1：什么是单循环比赛？ 单循环赛：一个球队需要和参赛的每个球队都进行一场比赛. 问题2：设邀请n 支球队参加，那么每支球队要比赛多少场？ 共有n 支球队，其中一支球队要和其他(n－1)支球队分别进行一场比赛，即一支球队要进行(n－1)场比赛. 47 高效课堂 问题3：设邀请n支球队参加，那么共需要比赛多少场？ 共n 支球队，每支球队要打(n－1)场，每两个队之间的一场比赛被重复计算成了2 场，所以比赛场数为n(n－1). 问题4：根据题意，计划安排28 场比赛，列出方程. 列出方程n(n－1)＝28. 48 高效课堂 问题5：解这个方程，并检验解的合理性.球队数量n应该是什么数？ 解：整理，得n2－n－56＝0， 解得n1＝8，n2＝－7(不合题意，舍去). 答：可邀请8 支球队参加比赛. 球队数不能为负数，舍去n＝－7. 49 高效课堂 问题6：如果比赛场次不是28 场，而是15 场，能求出正整数解吗？ 列方程为n(n－1)＝15，整理得n2－n－30＝0， 解得n＝6或n＝－5(舍去). 50 通过本节课的学习，你掌握了一元二次方程应用的哪些新类型？能解决哪些实际问题？ 在解决销售问题时，最关键的一步是什么？最容易被忽略的陷阱是什么？ 学习了比赛场次问题，你对实际问题中解的整数性有什么认识？ 课堂总结 51 基础性作业：教材习题第1，2题. 提高性作业：教材习题第3题. 拓展性作业：教材习题第4题. 作业设计 52 $