第26章 二次函数 专题练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数解析式求解与面积综合应用，分层设计从基础方法到动态变换，梯度衔接紧密，强化抽象思维与模型应用。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础方法|单一条件求解析式（三点/顶点/交点）|题量占比约50%，如用三点式、顶点式求解，夯实概念理解与运算能力| |综合变换|图形变换求解析式（平移/旋转/对称）|题量占比约30%，结合开口方向与顶点变化，培养空间观念与推理意识| |动态应用|面积最值与存在性问题|题量占比约20%，融入几何图形（菱形/旋转）与函数综合，发展模型观念与创新意识|

第26章 二次函数专题练 专题1 求二次函数的解析式 类型一 已知三点求函数解析式 1.(2025·杨浦区期末)已知抛物线 经过点A(0,3),B(4,3),C(1,0). (1)求此抛物线的函数解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点(-2，2)的位置，那么平移的方法是 . 2.如图，二次函数 的图象经过点A(0,6),B(3,3),C(4,6). (1)求此二次函数的解析式； (2)观察函数的图象，试直接写出y>6时，x的取值范围. 类型二 已知顶点或对称轴求函数解析式 3.(2025·潜山期末)已知二次函数图象的顶点坐标为(-2，2)，且经过点(1，-1)，求此二次函数的解析式. 4.(2025·大兴区期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的最低点是C(2，-1)，且经过点M(4,1),N(0,n),求抛物线的函数解析式和n的值. 5.(2025·房山区期末)已知二次函数 图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x 0 1 2 3 y …… m 3 4 3 0 根据以上信息，解答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)求二次函数的解析式； (3)当k≤x≤k+2时,二次函数 的最小值是1，则k的值为 . 类型三 已知抛物线与x轴的交点求函数解析式 6.(2025·射阳模拟)已知抛物线经过点A(-1,0),B(5,0),C(0,5),求该抛物线的函数解析式. 7.若抛物线的最高点的纵坐标是 ，且过点(-1，0)，(4，0)，求这个抛物线的函数解析式. 8.(2025·洪泽区模拟)如图,点A(-1,0),B(3,0),C(0, )在抛物线 上. (1)求抛物线的函数解析式； (2)在第一象限的抛物线上存在一点 P，使△PBC的面积为 ，求点P的坐标. 类型四 根据图形平移、翻折、旋转求函数解析式 9.已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线 相同，顶点与抛物线 的顶点重合. (1)这条抛物线的函数解析式为 ； (2)若将(1)中的抛物线向右平移4个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为 ； (3)若将(1)中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，得到的新抛物线的函数解析式为 ； (4)若将(1)中的抛物线沿y轴对折，得到的新抛物线的函数解析式为 . 10.已知抛物线 (1)该抛物线关于x轴对称的抛物线的函数解析式为 ； (2)该抛物线关于y轴对称的抛物线的函数解析式为 ； (3)将该抛物线绕着它与y轴的交点旋转180°所得抛物线的函数解析式为 ； (4)该抛物线关于直线x=2对称的抛物线的函数解析式为 . 专题2 二次函数与面积 1.已知二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于24，则点 C 的坐标为( ) A.(5,12) B.(-3,12) C.(5,12)或(-3,12) D.(3,12) 2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,其顶点为 D,若△ABC与△ABD的面积比为3:5,则m的值为 . 3.如图,在 Rt△ACB 中, D是AB 上的一个动点，连接CD，将△BCD 绕点C顺时针旋转90°得到△ACE,连接DE,则△ADE 面积的最大值等于 . 4.(2025·淮安期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线 上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为 . 5.(2025·滨州期末)如图,抛物线 交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,交y轴于点C，P是抛物线上一点，连接AC，BC. (1)求b,c的值. (2)若点 P在第一象限内，过点 P作PQ⊥x轴交直线BC 于点D，求线段 PD的最大值. (3)连接OP,BP,若 请判断是否存在符合要求的点，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 6.如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A 的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),连接BC. (1)求该二次函数的解析式； (2)P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP 的面积最大时，BC边上的高PN 的值为 . 7.(2025·句容期末)如图,抛物线 的顶点为P，与x轴交于点B，A，与y轴交于点 C. (1)点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 . (2)求△PAC的面积. (3)D是直线AC上方抛物线上的点(不与点 P 重合)，是否存在点 D，使得△DAC和△PAC面积相等?若存在，直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理由. 8.(2025·杨浦区二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A和点 B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为D，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E. (1)直接写出抛物线的对称轴及点A，B的坐标. (2)连接AE,如果AE平分∠BAC,求a的值. (3)P是抛物线上一点，线段PD，AE交于点F，如果 那么直线 PD是否一定会经过一个定点?如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由. 专题1 求二次函数的解析式 1.(1)解:∵抛物线 经过点 A(0,3),B(4,3),C(1,0), 解得 即该抛物线的函数解析式为 (2)向左平移4个单位长度，向上平移3个单位长度 2.解:(1)把(0,6),(3,3),(4,6)分别代入 bx+c,得 解得 ∴此二次函数的解析式为 (2)由图象知,当y>6时,x的取值范围为x<0或x>4. 3.解：设二次函数的解析式为 将(1,-1)代入，得9a+2=-1,解得 ∴二次函数的解析式为 4.解：设抛物线的函数解析式为 将点 M(4,1)代入,得 解得 所以抛物线的函数解析式为 2x+1.将点 N(0,n)代入,得n=1. 5.(1)(1,4) 0 (2)解：设二次函数的解析式为. 将(0,3)代入,得 解得a=-1,故二次函数的解析式为 或 6.解:∵抛物线与x轴交于点A(-1,0)和B(5,0), ∴设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-5), 将点C(0,5)代入,得5=-5a,解得a=-1, 故抛物线的函数解析式为 4x+5. 7.解:∵抛物线与x轴交于点(-1,0),(4,0), ∴抛物线的对称轴为直线 ∴抛物线的顶点坐标为(\frac{3}{2}\frac{25}{4}).设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-4),把 代入，得 解得a=-1,∴抛物线的函数解析式为y=-(x+1)(x-4),即 8.解:(1)设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-3),将 代入，得 解得 ∴抛物线的函数解析式为 (2)如答图,过点 P作PD⊥x轴于点D. 设点 整理，得 解得x=1或x=2.∴点 P的坐标为(1,2)或(2,\frac{3}{2}). 专题2 二次函数与面积 1. C 3. 4.15 5.解:(1)由题意,得 解得 (2)由(1)得抛物线的函数解析式为 4,∴C(0,4). 设直线 BC的函数解析式为y=kx+n， 将B(4,0),C(0,4)分别代入,得 解得 故直线BC的函数解析式为y=-x+4. 设 则D(a,-a+4), ∴当(a=2时，线段PD有最大值，最大值为 (3)∵A(-3,0),B(4,0),C(0,4), ∴OA=3,OB=4,OC=4, ①如答图①，当点 P 在x轴上方时， 设 整理，得 ∴此方程无实数根， ∴在x轴上方不存在点 P 满足题意. ②如答图②，当点 P在x轴下方时， 由①得 解得 当m=6时, 当m=-5时, ∴点 P 的坐标为(6,-6)或(-5,-6). 6.(1)解:把(-1,0)和(0,-3)代入 得 解得 ∴二次函数的解析式为 7.(1)(3,0) (-1,0) (2)解: ∴P(1,4),令x=0,则y=3,∴C(0,3). 设直线AC的函数解析式为y= kx+3(k≠0), 把A(3,0)代入,得3k+3=0,解得k=-1, ∴直线AC的函数解析式为y=-x+3. 如答图①,过点 P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F,把x=1代入y=-x+3,得y=-1+3=2,∴F(1,2), ∴PF=4-2=2,OE=1,AE=3-1=2, 即△PAC的面积为3. (3)如答图②,过点 D作DG⊥x轴于点G,交AC于点 H,设 则H(d,-d+3), 解得 (不符合题意，舍去)， 当d=2时, ∴D(2,3), ∴存在点 D,使得△DAC 和△PAC 面积相等,坐标为D(2,3). 8.解:(1)令 则x=-1或x=3,∴点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0), ∴抛物线的对称轴为直线x=1. (2)∵CE∥x,∴∠AEC=∠EAB. ∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=∠BAE, ∴∠CAE=∠AEC,∴AC=CE. 在 中,令x=0,则y=-3a, ∴C(0,-3a),E(2,-3a),∴AC=CE=2. ∵A(-1,0), 解得 (负值已舍去). (3)过定点.理由:连接AP,DE,如答图. ∵S△AFD=S△PFE,∴S△APD=S△APE,∴DE∥AP. 由点D(1,-4a),E(2,-3a),得 直线DE的函数解析式为y=a(x-1)-4a, ∴直线AP的函数解析式为y=a(x+1), 联立上式和抛物线的函数解析式得 a(x+1), 解得 (舍去),x₂=4,∴P(4,5a). 由P(4,5a),D(1,-4a),得直线 PD的函数解析式为y=3a(x-1)-4a=a(3x-7),当 时,y=0,即直线PD过定点(,0). 学科网（北京）股份有限公司 $