精品解析：四川隆昌市知行中学2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学试题

隆昌市知行中学2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考 数 学 试 题 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A：将展开得，整理为，不是一元二次方程，不符合题意； 选项B：是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 选项C：是一元二次方程，符合题意； 选项D：含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误； B选项，，计算错误； C选项，，计算正确； D选项，，计算错误． 3. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行分析即可． 【分析】解：要使等式成立， 则，， 解得，， 则． 4. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项，配方，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， ． 5. 如果最简二次根式能与合并，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵， 且最简二次根式能与合并， ∴ ， 解得． 6. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 95 C. 96 D. 97 【答案】D 【解析】 【分析】结合所给已知条件，易得m+n=10、mn=1，此时观察所给代数式，对代数式进行变形，可得到，此时直接将m+n、mn的值代入计算，问题便可得解． 【详解】解：由，，可得： ，． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式，代数式求值，需先将已知和待求式变形，然后再计算． 7. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需同时满足二次项系数不为与根的判别式非负两个条件，联立求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 综上，且． 9. 若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质、化简绝对值、实数与数轴，根据实数a在数轴上的位置得到，再根据及绝对值的性质可得结论． 【详解】解：由数轴得， ∴ ， 故选：C． 10. 某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【详解】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 11. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的意义与根与系数的关系，先利用根的定义得到的值，再利用根与系数的关系得到的值，对所求代数式变形后整体代入计算即可. 【详解】解：根据题意，是一元二次方程的实数根 是该一元二次方程的两个实数根 对所求代数式变形得： 代入得：原式 12. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解．如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为．小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（ ） A. 6，4 B. 4，6 C. 2，8 D. 8，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可． 【详解】解∶把方程变形得到， 如图，将四个长为，宽为的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得， 小正方形边长为， 故得的正数解为， 即，， 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若，则_______． 【答案】1013 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负求出x的值，进而求出y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得，再把的值代入计算即可求解，熟练运用完全平方公式对代数式进行变形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 15. 关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，再根据关于x的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：观察与的形式可知，后者的解与前者的解满足关系， ∵x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，， ∴或， ∴，， 即方程的解是，． 16. 已知实数，满足，则代数式的最小值是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了代数式的知识，根据得出，代入代数式中，然后结合二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 原式 ， ， ， ∴， 当时，原式取最小值为10， 故答案为：10． 三、解答题（本大题6个小题，共56分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴或 解得，． 18. 如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）宽为5米，长为米 （3） 建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； 【小问3详解】 略 19. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）， （2）1， （3）12或28 【解析】 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【小问1详解】 解：将等式右边完全平方展开： ，  ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． 【小问2详解】 解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、​． 【小问3详解】 解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 20. 2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率是，根据题意列出方程，即可解答； （2）设售价应降低元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程，即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低20元． 21. 【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法把分解因式． （2）代数式的最小值是___________（直接写答案）． （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 22. 阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 （3）拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】（1）整体（或转化、化归）；5； （2）2或 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【小问1详解】 解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； 【小问2详解】 实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； 【小问3详解】 设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 隆昌市知行中学2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考 数 学 试 题 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 等式成立的条件是（ ） A. 且 B. C. D. 4. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果最简二次根式能与合并，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 6 D. 10 6. 已知，，则代数式的值为（ ） A. 1 B. 95 C. 96 D. 97 7. 如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. B. C. D. 12. 《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解．如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为．小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（ ） A. 6，4 B. 4，6 C. 2，8 D. 8，2 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若，则_______． 14. 已知，则______． 15. 关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 16. 已知实数，满足，则代数式的最小值是________． 三、解答题（本大题6个小题，共56分） 17. 按要求完成下列各题： （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 19. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 20. 2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 21. 【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法把分解因式． （2）代数式的最小值是___________（直接写答案）． （3）若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 22. 阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． （2）间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 （3）拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $