四川隆昌市知行中学2026-2027学年度第一学期九年级第一次阶段学情自测数学试题

( 学校： 考号： 姓名： 班级： ※※※※※※※※※※※ 密 ※※※※※※※※※※※※※※※※※ 封 ※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 线 ※※※※※※※※※※※※※ )隆昌市知行中学2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考 数 学 试 题 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项：1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、下列方程是一元二次方程的是（      ） A、 B、 C、 D、 2、下列各式计算正确的是（      ） A、 B、 C、 D、 3、等式成立的条件是（     ） A、且 B、 C、 D、 4、用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（     ） A、 B、 C、 D、 5、如果最简二次根式能与合并，那么a的值为（      ） A、1 B、2 C、6 D、10 6、已知，，则代数式的值为（    ） A、1 B、95 C、96 D、97 7、如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（      ） A、 B、 C、 D、 ( 第 7 题图 75 27 a 2 第 9 题图 0 1 第 12 题图 ) 8、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（      ） A、且 B、且 C、 D、 9、若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A、 B、 C、1 D、 10、某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验。若设每人每次都能教会x名同学，则可列方程为（      ） A、 B、 C、 D、 11、已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A、1015 B、1014 C、1013 D、1011 12、《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解。如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形。已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（    ） A、6，4 B、4，6 C、2，8 D、8，2 二、填空题（每小题4分，共16分） 13、若，则_______； 14、已知，则______； 15、关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______； 16、已知实数a，b满足，则代数式的最小值是________. 三、解答题（本大题6个小题，共56分） 17、（本小题2个小题，每个小题4分，满分8分） （1）计算： （2）解方程： 18、（本小题满分9分）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门。 （1）设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由。 ( 1 m A B C D 1 m ) 19、（本小题满分9分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有 ∴，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法。 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ ( 密 封 线 内 不 要 答 题 线 封 密 )20、（本小题9分）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红、据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件。 （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 21、（本小题9分）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用。 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式。 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法把分解因式； （2）代数式的最小值是___________（直接写答案）； （3）若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由。 22、（本小题12分）阅读材料，解答问题： 【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法。 【材料2】已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：， 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： ①材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； ②用换元法解方程： （2）间接应用：已知实数m，n满足：，，则的值； （3）拓展应用：已知实数x，y满足：，，求的值。 隆昌市知行中学2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考数学试题——第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 隆昌市知行中学2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考 数学试题参考答案及评分意见 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 注意事项：1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分。以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、下列方程是一元二次方程的是（  C    ） A、 B、 C、 D、 2、下列各式计算正确的是（  C    ） A、 B、 C、 D、 3、等式成立的条件是（  D   ） A、且 B、 C、 D、 4、用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（ A   ） A、 B、 C、 D、 5、如果最简二次根式能与合并，那么a的值为（   A   ） A、1 B、2 C、6 D、10 6、已知，，则代数式的值为（  D   ） A、1 B、95 C、96 D、97 7、如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下部分的面积为（   C   ） A、 B、 C、 D、 ( 第 7 题图 75 27 a 2 第 9 题图 0 1 第 12 题图 ) 8、关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   B   ） A、且 B、且 C、 D、 9、若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   C  ） A、 B、 C、1 D、 10、某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验。若设每人每次都能教会x名同学，则可列方程为（   D   ） A、 B、 C、 D、 11、已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ A   ） A、1015 B、1014 C、1013 D、1011 12、《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解。如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为.小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形。已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（ C    ） A、6，4 B、4，6 C、2，8 D、8，2 二、填空题（每小题4分，共16分） 13、若，则_______；【答案】1013 14、已知，则______；【答案】 15、关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______；【答案】， 16、已知实数a，b满足，则代数式的最小值是_____.【答案】10 三、解答题（本大题6个小题，共56分） 17、（本小题2个小题，每个小题4分，满分8分） （1）计算： （2）解方程： 【详解】（1）解： ； （2）解：， 则， 可得 即或 解得， 【点评】本题主要考查了实数的运算和解一元二次方程，熟练地掌握二次根式的化简计算及因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键。 18、（本小题满分9分）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门。 （1）设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米； （2）若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽； （3）建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由。 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽AB长为x米 ∴另一边AD的长为（米） 故答案为：； ( 1 m A B C D 1 m )（2）解：∵花圃的面积刚好为60平方米 ∴ 化简得： 解得：， ∵墙的最大可用长度为14米 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为12米和5米； （3）建成花圃的面积不可能为61平方米，理由如下： 设花圃的一边AB长为m米，则（米） 根据题意可得： 整理得： ∵ ∴方程无解 ∴建成花圃的面积不可能为61平方米． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键。 19、（本小题满分9分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如.善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有 ∴，.这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法。 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【详解】（1）解：将等式右边完全平方展开： ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等 ∴， （2）解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ， 也就是． ∵m、n是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时，，不符合． 当，时，，完全符合 因此两个空依次填1、． （3）解：根据第（1）问的结论，这里 ∴，即 ∵m、n都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，，代入，得； 情况2：，，代入，得． ∴符合条件的正整数a为12或28． 【点评】本题主要考查了实数概念理解、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、已知字母的值，化简求值，熟练地掌握以上知识点是解决本题的关键。 20、（本小题9分）2025年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红、据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是25万件，3月份的销售量是36万件。 （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【详解】（1）解：设月平均增长率是x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为20%； （2）解：设售价应降低m元， 根据题意，得 整理得： 解得， ∵尽量减少库存 ∴ 答：售价应降低20元． 【点评】本题主要考查了列一元二次方程解应用题之增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题，熟练地掌握题中的等量关系是解决本题的关键。 21、（本小题9分）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用。 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式。 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法把分解因式； （2）代数式的最小值是___________（直接写答案）； （3）若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由。 【详解】（1）解： （2）解：； ∵ ∴； ∴代数式的最小值是2； （3）解： ∴ ∴ ∴为等边三角形． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，熟练地掌握因式分解的应用、配方法的应用是解决本题的关键。 22、（本小题12分）阅读材料，解答问题： 【材料1】为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法。 【材料2】已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：， 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： ①材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； ②用换元法解方程： （2）间接应用：已知实数m，n满足：，，则的值； （3）拓展应用：已知实数x，y满足：，，求的值。 【详解】（1）解：①材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则 ∴ 解得，（舍） ∴ 故的值为5； ②∵， ∴ 令，则 ∴ 解得，（舍） ∴ 解得，； （2）∵实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根 ∴， ∴ ∴的值为2或； （3）设， ∵， ∴， ∴，整理得 ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 【点评】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键。 隆昌市知行中学2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考数学试题答案——第 7 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 学校 班级 姓名 考号 ……………………… 密 ………………………………………… 封 …………………………… 线 ……………………………… ) 隆昌市知行中学2026—2027学年度第一学期初中九年级第一次月考 数学 答题卡 ( 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂上面的缺考标记 ) ( 注意事项 ) ( 1. 答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、准考证号，无误后将本人 姓名、准考证号填写在相应的位置 。 2. 选择题填涂时，必须使用 2B 铅笔按 图示规范填涂；非选择题必 须用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔书写， 字体工整、字迹清楚。 3. 非选择题请按照题目顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域 书写的答案无效；在草稿纸、试题上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。 ) ( Ⅰ 卷 （选择题 共48分） （考生须用2 B 铅笔填涂） ) ( 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 13、______ _ _ _ _ _ ___ 14、_______ _______ 15、_____ _ __ _ _____ 16、 ) ( Ⅱ 卷 （非选择题 共72分） （考生须用 0.5 毫 米 黑色墨迹签字笔书写） ) ( 二、填空题（每空4分，共16分） 13 、 14 、 15 、 16 、 ) ( 解答题（ 共 56 分 ） 17、（本小题2个小题，每个小题4分，满分8分） （1） 计算： （2） 解方程： ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 18、 （本小题满分9分） ) ( 19、（本小题满分 9 分） （1） 当 a 、 b 、 m 、 n 均为正整数时，若 ，用含 m 、 n 的式子分别表示 a 、 b ，得： ___________ ， ___________ ； （2） 利用所探索的结论，填空： ； （3） 若 ，且 a 、 m 、 n 均为正整数，求 a 的值？ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 20 、 （本小题 满分 9分） 2025 年世 运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红、据统计“蜀宝”公仔在某电商平 台 1 月份的销售量是 25 万件， 3 月份的销售量是 36 万件 。 （1） 若该平台 1 月份到 3 月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2） 市场调查发现，某 一间店铺“蜀宝”的 进价为每件 60 元，若售价为每件 100 元，每天能销售 20 件，售价每降价 1 元，每天可多售出 2 件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利 1200 元，则售价应降低多少元？ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22 、 （本小题 满分 12 分） （1） 直接应用： ① 材料 1 解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数 a ， b 满足 ，则 的值为 ； ② 用换元法解方程： （2） 间接应用：已知实数 m ， n 满足： ， ，则 的值 ； （3） 拓展应用：已知实数 x ， y 满足： ， ，求 的值 。 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 2 1 、 （本小题 满分 9 分） 【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用 。 例如：将 先利用配方法变形为 的形式，再分解因式 。 配方： 分解因式： 【解决问题】 根据以上材料，解答下列问题： （1） 利用配方法把 分解因式 ； （2） 代数式 的最小值是 ___________ （直接写答案） ； （3） 若 a 、 b 、 c 分别是 的三边，且 ，试判断 的形状，并说明理由 。 ) 学科网（北京）股份有限公司 $