23.4 数据的方差 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册23.4 数据的方差专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 方差是刻画一组数据波动大小的统计量，在平均数相同或接近时，用来比较数据稳定性。设一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为$\bar{x}$，则方差公式： $$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$$ 方差越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据波动越小，稳定性越好。方差的本质是各数据与平均数差的平方的平均值，平方可以消除正负号的影响。 极差、四分位距、方差都能反映数据离散程度。极差只用最大值减最小值，只受两个极端值影响；四分位距依靠中间一半数据；方差用到全部数据，对数据波动反应更全面。解题要点：先求平均数，再代入方差公式分步计算；比较稳定性，优先比较方差大小。易错点：计算方差时忘记除以数据总个数$n$；把方差当成标准差；比较稳定性时忽略前提条件——两组数据平均数相差较大时，不能直接依靠方差判断稳定性。 ## 二、基础专项练习 1. 求数据：2，4，4，6的平均数与方差。 2. 一组数据：5，5，5，5，求平均数与方差。 3. 数据：1，3，5，7，9，计算这组数据的方差。 4. \(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)、\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)两组数据平均数相同，\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)组方差$s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)=3.2$，\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)组方差$s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)=1.8$，判断哪组数据更稳定。 ## 三、能力提升练习 1. 两名同学5次数学小测成绩：\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)：85，90，90，90，95；\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)：80，85，90，95，100。分别计算两组方差，比较稳定性。 2. 已知一组数据3，4，5，6，7，若每个数据都加2，得到新数据5，6，7，8，9，判断新数据平均数和方差发生怎样变化。 3. 某小组6名同学一分钟跳绳成绩：142，145，143，144，146，140，求这组数据的方差。 4. 一组数据$x_1,x_2,x_3$的平均数是4，方差为2，求数据$x_1-1,x_2-1,x_3-1$的平均数与方差。 ## 四、拓展应用题 1. \(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)、\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)两名射击运动员各射击10次，成绩如下：\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)：7，8，8，9，9，9，9，10，10，10；\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)：7，7，8，8，9，9，9，10，10，10。计算两人成绩平均数与方差，作为教练，选择哪位运动员参赛，说明理由。 2. 某工厂两条生产线生产零件，抽取样本测量零件尺寸（单位：mm）。A生产线：98，99，100，100，101，102；B生产线：97，99，100，100，101，103。求两组平均数与方差，对比两条生产线产品质量稳定性。 ## 五、参考答案与解析 ### 基础题 1. $\bar{x}=(2+4+4+6)\div4=4$， $s^2=\dfrac14[(2-4)^2+(4-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2]=\dfrac14(4+0+0+4)=2$。 2. $\bar{x}=5$，每个数与平均数差值为0，$s^2=0$。数据全部相等，没有波动。 3. $\bar{x}=(1+3+5+7+9)\div5=5$， $s^2=\dfrac15[(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2]=\dfrac15(16+4+0+4+16)=8$。 4. $s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)<s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)$，\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)组波动更小，\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)组更稳定。 ### 提升题 1. \(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)：$\bar{x}_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)=(85+90+90+90+95)\div5=90$， $s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10$。 \(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)：$\bar{x}_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)=(80+85+90+95+100)\div5=90$， $s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50$。 $s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)<s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)$，\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)成绩更稳定。 2. 原平均数5，新平均数7；一组数据同时加同一个常数，平均数增加这个常数，方差不变。新方差等于原方差。 3. $\bar{x}=(142+145+143+144+146+140)\div6=143.333\cdots$ $s^2=\dfrac16[(142-143.33)^2+(145-143.33)^2+(143-143.33)^2+(144-143.33)^2+(146-143.33)^2+(140-143.33)^2]\approx3.89$。 4. 平均数：$4-1=3$；一组数据同时减去同一个数，方差不变，方差仍然是2。 ### 拓展题 1. $\bar{x}_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)=\bar{x}_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)=9$。 $s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1$； $s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3$。 $s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)<s^2_\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_乙=\dfrac{1}{10}[2\times(7-9)^2+2\times(8-9)^2+3\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1.3\)=\dfrac15[(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2]=50\)=(80+85+90+95+100)\div5=90\)=1.8\)$，\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)发挥更稳定，选\(s^2_\(\bar{x}_\(s^2_\(s^2_甲=\dfrac{1}{10}[(7-9)^2+2\times(8-9)^2+4\times(9-9)^2+3\times(10-9)^2]=1\)=\dfrac15[(85-90)^2+3\times(90-90)^2+(95-90)^2]=10\)=(85+90+90+90+95)\div5=90\)=3.2\)参赛。 2. $\bar{x}_A=\bar{x}_B=100$。 $s^2_A=\dfrac16[(98-100)^2+(99-100)^2+2\times(100-100)^2+(101-100)^2+(102-100)^2]=\dfrac{5}{3}$； $s^2_B=\dfrac16[(97-100)^2+(99-100)^2+2\times(100-100)^2+(101-100)^2+(103-100)^2]=\dfrac{10}{3}$。 A生产线方差更小，产品尺寸波动小，质量更稳定。 ## 六、易错点总结 1. 计算方差时，容易漏掉除以数据个数$n$，直接求偏差平方和；还有同学混淆方差与标准差，标准差是方差的算术平方根，题目若无要求，不需要开方。 2. 数据整体加减常数时，平均数改变，方差不变；数据整体乘常数，平均数与方差都会变化，很多同学记不住这个规律。 3. 比较稳定性的前提条件：两组数据平均数相近，才可以直接比较方差；平均数差距很大时，单纯比较方差没有意义。 4. 方差是衡量波动的指标，不是衡量好坏。例如比赛选拔，有时不仅要看稳定性，还要看平均水平，不能只依靠方差下结论。本章是统计板块的重点，中考常将平均数、中位数、众数、四分位数、方差综合在一道大题中考查，需要熟练区分各个统计量的作用，根据题意选择合适统计量分析数据。 （全文：1333字） 接下来可以做**第23章统计单元综合专项练习**，同样1333字，需要吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 23.4 数据的方差 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十三章 数据分析与统计估计 学习目标 复习回顾 平均数、中位数与众数的特点： 平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同的侧面反映了数据 的集中趋势，但也存在各自的局限性。 平均数：①与每个数据有关；②易受极端值影响。 中位数：①与排列位置有关；②不受数据极端值影响。 众 数：①与出现次数有关；②不受极端值影响。 如果我们想知道数据的波动情况，该怎么办呢？ 离散程度 新知探究 甲、乙两名业余射击选手参加了一次射击比赛，甲射击8次，乙射击10次，成绩如图所示. 认识方差 观察与思考 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● 根据你掌握的知识，如果要选择一位选手参加比赛，你认为选谁更好？ 新知探究 （1）我们可以先看看甲、乙两人射击成绩的平均数、中位数各是多少？ 认识方差 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● 解：甲：，中位数为7。 乙：，中位数为7。 你发现了什么？ 新知探究 （2）在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点。你认为哪个更合理些？ 认识方差 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ①观点一：因为甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数都是7环，所以他们的射击水平几乎没有区别. 新知探究 认识方差 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 射击序号 乙射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 2 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 3 4 5 6 7 8 射击序号 甲射击成绩/环 ● ● ● ● ● ● ● ● ②观点二：从射击成绩偏离平均数7环的程度比较，甲的射击成绩比乙的波动大，反映出乙的射击成绩比甲的稳定些. （2）在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点。你认为哪个更合理些？ 平均数 在不同场景分析数据的特征时，仅考虑数据的集中趋势来描述这组数据往往是不够的，有时还需要考虑这组数据的离散程度.如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 通过观察，直观感觉甲射击成绩的波动比乙大，如何构造一个量，来描述一组数据的波动大小呢？ 新知探究 认识方差 一起探究 (3)请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） 乙成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） -3 1 -1 0 2 0 3 -2 -2 0 -1 1 0 1 -1 0 2 0 新知探究 认识方差 (4)通过计算，所有数据与其平均数的偏差之和为0。以下两种方法有什么不足呢？ ①观点一：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. ②观点二：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 甲成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） 乙成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩） -3 1 -1 0 2 0 3 -2 -2 0 -1 1 0 1 -1 0 2 0 0 0 不足：数据个数不同 新知探究 认识方差 为了避免求和时正负抵消的问题，统计中通常先进行平方，然后求和. 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 求和 甲成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩）2 乙成绩的偏差 （每次成绩－平均成绩）2 9 1 1 0 4 0 9 4 4 0 1 1 0 1 1 0 4 0 28 12 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数. 注：由于数据个数不同，还需要平均化！ 归纳总结 认识方差 设个数据 的平均数为，各个数据与平均数偏差的平方分别是。偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用表示，即 称为这组数据的离差平方和 ①方差能较好地反映出数据的离散程度，方差越大，说明数据的波动越大（即离散程度越大），越不稳定； ②在利用方差比较两组数据的离散程度时，不受数据个数的限制。 特点 知识点1 方差的计算 1. [保定期末] 在方差的计算公式 中，数字 10和20表示的意义分别是( ) A A. 数据的个数和平均数 B. 数据的方差和平均数 C. 数据的个数和方差 D. 以上都不对 返回 举一反三 11 2. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为( ) D A. 1 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.5 【点拨】这组数据的平均数是 ，则这 组数据的方差为 . 返回 举一反三 12 3. 若一组数据，， ， 的平均数为10， 方差为4，则数据，， ， 的平均数 和方差分别是________. 23，16 【点拨】数据，， ， 的平均数为10，那么数据 ，， ，的平均数为 . 数据，， ，的方差为4，那么数据 ， ， ，的方差为 . 举一反三 13 如果已知一组数据与另一组数据有联系，那么这两 组数据的平均数和方差也有内在的联系，如下表： 样本数据 平均数 方差 ,, , ,, , ,, , ,, , 返回 举一反三 14 典例分析 方差的应用 例 张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 典例分析 方差的应用 根据上表数据绘制的折线统计图如图所示. （1）从图形看，哪条线路平均用时少，哪条路线用时的波动大？ (1)从图形看，A路线平均用时少，且用时的波动较大. 典例分析 方差的应用 （2）用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差. （3）如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线？ (3)当上班可用时间只有40 min时，应选择走A路线，因为在10次记录中，B路线不超过40 min，而A路线有6次用时不超过40 min. （4）如果某天上班可用时间为50 min，又应选择走哪条路线？ (4)当上班可用时间为50 min时，应选择走B路线. 归纳总结 方差方差的应用 求方差的一般步骤： 方差的选用条件：当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来判断它们的波动情况． 先平均，后求差，平方后，再平均。 平方的目的：可以起到放大差距的效果； 再平均的目的：消除数据个数的影响。 知识点2 方差的意义 4. [张家口期末] 某校举行体操比赛，甲、乙两个班各选18名 学生参加比赛，若甲班参赛学生身高数据的方差是 ，且甲 班参赛学生的身高比乙班的更整齐，则乙班参赛学生身高数 据的方差不可能是( ) D A. 5 B. 4.5 C. 4 D. 3 【点拨】 甲班参赛学生身高数据的方差是 ，且甲班参赛 学生的身高比乙班的更整齐， 乙班参赛学生身高数据的方 差大于 不可能是3.故选D. 返回 举一反三 19 5.某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加市级信息技术大赛， 两名同学的六次模拟成绩如图所示，则____同学的成绩较稳 定.（填“甲”或“乙”） 甲 返回 举一反三 20 6. 投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏.在一 次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为， ， 方差分别为，.若，， ，则成 绩更稳定的是____（填“甲”或“乙”）. 乙 【点拨】，， . 成绩更稳定的是乙. 返回 举一反三 21 7.[青岛中考] 为弘扬传统文化，培养学生的劳动意识，某校 在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为 .甲、乙两名同学各包了5个粽子，每个粽子的质量 （单位： ）如下： 甲：103，99，100，101，97； 乙：99，103，105，95，98. 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是____ （填“甲”或“乙”）. 甲 举一反三 22 【点拨】甲的平均数为， ；乙 的平均数为 ， ， 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲. 举一反三 23 统计量有方差，数据波动全靠它，一均二差三方四 又均,方差计算要细心. . . . . 返回 举一反三 24 知识点3 方差的应用 8.某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加， 按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢100个以上 （含100个）为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学 生的比赛数据（单位：个）.#1 1号 2号 3号 4号 5号 总数 甲班 89 100 96 118 97 500 乙班 100 96 110 90 104 500 举一反三 25 统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据 中的其他信息来评判.试从两班比赛数据的中位数、方差、优 秀率三个方面考虑，你认为应选定哪一个班为冠军？#1.2 【解】甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生 比赛成绩的中位数是100个. 举一反三 26 （个）， （个）. ， . 举一反三 27 甲班的优秀率为 ，乙班的优秀率为 . 由上可知，乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方 差比甲班小，优秀率比甲班高， 应选定乙班为冠军. 返回 举一反三 28 9. 为喜迎国庆，某校团委准备从本 校嘉嘉和琪琪两名同学中，挑选一 名优秀的朗诵者参加比赛，他们对 C A. 嘉嘉的成绩越来越好，如果再朗读一次，一定还会得10分 B. 嘉嘉的第三次成绩比第二次成绩提高 C. 琪琪的成绩比嘉嘉的成绩稳定 D. 两人的成绩稳定性一样 嘉嘉和琪琪进行了五次测试，把他们的成绩绘制成如图的统 计图.根据图中信息，下列说法正确的是 ( ) 举一反三 29 【点拨】由于成绩具有随机性，嘉 嘉如果再朗读一次，不一定还会得 10分，故选项A说法错误，不符合 题意；嘉嘉的第三次成绩与第二次成绩相比，提高 ，故选项B说法错误，不符合题意；嘉嘉 成绩的平均数为 （分），方差 为 ， 举一反三 30 琪琪成绩的平均数为 （分）， 方差为 ， 琪琪的成绩比嘉嘉的成绩稳定，故D选项说法错误，不符 合题意，C选项说法正确. 返回 举一反三 31 10. 在打靶演习中需要射击5次，某训练者知道 前4次的成绩（单位：环）为：7，9，8，6.要使这5次成绩的 方差小于前4次成绩的方差，第5次射击成绩可以是________ _______________环. 7 （答案不唯一） 举一反三 32 课堂小结 方差 意义（判断数据的波动程度）： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 公式： 谢谢观看 THANKS $