23.4 数据的方差(课件) 2026--2027学年冀教版九年级上册数学

该初中数学课件聚焦“数据的方差”核心知识点，通过回顾平均数、中位数等集中趋势统计量，结合甲、乙射击选手成绩案例引出数据波动问题，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过“一起探究”引导学生计算偏差、比较偏差处理方法，培养抽象能力与推理意识，结合公交车路线选择、电子钟误差分析等现实案例，发展数据观念与应用意识。采用问题驱动与案例教学，小结清晰，助力学生理解方差意义，教师可提升教学效率。

第二十三章 数据分析与统计估计 23.4 数据的方差 冀教版九年级上册 1、集中趋势统计量： 平均数、 中位数、 众数. 2、平均数计算方法： 1 n （x1+···+xn） = 3、加权平均数计算方法： 回顾复习 2 4、中位数的定义： 一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫作众数. 5、众数的定义： 一般地，将n个数据按大小顺序排列，若n为奇数，则把处于中间位置的数据叫作这组数据的中位数；若n为偶数，则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数. 3 6、四分位数的定义： 一般地，用m₅₀表示一组数据的中位数，那么，中位数把这组数据分为两组，用m₂₅和m₇₅分别表示第一组数据和第二组数据的中位数.这样，m₂₅,m₅₀,m₇₅这三个数就把这组数据分为个数相等的四组，这三个数叫作这组数据的四分位数.其中, m₂₅, m₅₀, m₇₅分别称为这组数据的第一、第二、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数). 7、箱线图：反映数据的位置分布 4 新知引入 知识点1 方差 甲、乙两名业余射击选手参加射击比赛，甲射击8次，乙射击10次，成绩如图所示. 1.观察上图，甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数各是多少？ 5 解：甲射击成绩的平均数： =×（4+5+6+7+7+8+9+10）=7（环）； 中位数为7环； 乙射击成绩的平均数： =×（5+6+6+7+7+7+7+8+8+9）=7（环）； 中位数为7环. 6 2.在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点： 你认为哪种观点更合理些? 观点一 因为甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数都是7环，所以他们的射击水平几乎没有区别. 观点二 从射击成绩偏离平均数7环的程度比较，甲的射击成绩比乙的波动大，反映出乙的射击成绩比甲的稳定些. 解：观点二更合理些. 7 一起探究 观察上页图，直观感觉甲射击成绩的波动比乙大.如何构造一个量，来描述一组数据的波动大小呢? （1）请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) （2）我们知道所有数据与其平均数的偏差之和为0，现有以下两种观点： 观点1：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点2：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 那么，这两种观点各有哪些合理的地方，又需要如何进一步修正呢? 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差 — — 乙成绩的偏差 -3 +1 -1 0 +2 0 +3 -2 -2 0 -1 +1 0 +1 -1 0 +2 0 9 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数. 定义 设n个数据x₁，，xₙ的平均数为， 各个数据与平均数偏差的平方分别是 (x1−)2，(x2−)2，，(xn−)2 偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用s²表示， 即 我们称(x1−)2+(x2−)2++(xn−)2 为这组数据的离差平方和. 知识拓展： 反映的是数据的离散程度（或波动程度）. 方差越小， 方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量， 一般地， 方差越大， 该组数据的波动就越大 （离散程度大）, 该组数据的波动就越小 （离散程度小）. ① 方差的作用： 才利用方差来判断它们的波动情况． ② 方差的适用条件： 当两组数据的平均数相等或相近时， 12 下面通过计算方差来看甲、乙射击成绩谁更稳定. 例 张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表： 例题解读 知识点2 利用方差作决策 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 根据上表数据绘制的折线统计图，如图所示. （1）从图形看，哪条路线平均用时少，哪条路线用时的波动大? （2）用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差. （3）如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线? （4）如果某天上班可用时间为50 min，又应选择走哪条路线? 15 解：（1）从图形看，A路线平均用时少，且用时的波动较大. （2）经计算得：=42 min，s2A=63.2; =47 min，s2B=4.2. （3）当上班可用时间只有40 min时，应选择走A路线，因为在10次记录中，B路线所有用时都超过40 min，而A路线有6次用时不超过40 min. （4）当上班可用时间为50 min时，应选择走B路线. 16 知识拓展 ① 一般地，在平均数相同的情况下，方差越大， 则意味着这组数据的离散程度也越大. ② 在两组数据的平均数相差较大时， 以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 17 方差 定义 计算公式 反映一组数据的离散程度（或波动程度） 课堂小结 18 1.如果样本数据的方差 ，那么这组样本数 据的平均数和样本容量分别是( ) D A.25，25 B.25，19 C.19，19 D.19，25 随堂练习 19 2.已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的方差为( ) A A.2 B.4 C.6 D.10 20 3.一组数据7,8,7,9,8,9，则这组数据的离差平方和为___. 4 21 4.一组数据6，4， ，3，2的平均数是4，则这组数据的方差为___，离 差平方和为____. 2 10 22 5.甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同， 方差如下：，，， ，则成绩最稳定 的是( ) D A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 23 6.科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，四种花开花时间的平均数 及方差如下表，则四种花中开花时间最短且最平稳的是( ) 种类 甲 乙 丙 丁 平均数/天 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 B A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 24 7.甲、乙两人在相同条件下，各射击10次.经计算，甲射击成绩的平均数 是8环，方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.6.下列说法不 正确的是( ) D A.甲、乙成绩的总环数相同 B.甲的成绩比乙的成绩稳定 C.甲、乙成绩的中位数可能相同 D.甲、乙成绩的众数一定相同 25 8.图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地今年5月27日至31日每 天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则___ . （填“ ”“”或“ ”） 26 9.［教材习题 变式］为比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误 差的情况，从这两种电子钟中各随机抽取10台进行测试，走时误差的数 据如下表（单位： ）： 编号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 甲种电子钟 4 2 1 2 1 乙种电子钟 2 4 1 1 2 27 （1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数. 解：甲种电子钟走时误差的平均数是 ，乙种电子钟走时 误差的平均数是 . 28 （2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差. 解：甲种电子钟走时误差的方差为 ，乙种电 子钟走时误差的方差为 . （3）若这两种电子钟的价格相同，请问：你会买哪种电子钟？为什么？ 解：我会买甲种电子钟.因为这两种电子钟的价格相同，但乙种电子钟 走时误差的方差比甲种电子钟的大，说明甲种电子钟的稳定性更好，质 量更优. 30 10.一组数据4，5，6， 的众数与中位数相等，则这组数据的方差是 ( ) B A. B. C.1 D.2 31 11.[唐山路北区二模] 下表是校合唱团成员的年龄分布，对于不同的 ， 下列关于年龄的统计量不发生改变的是( ) 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 D A.平均数、中位数 B.中位数、方差 C.平均数、方差 D.众数、中位数 32 12.若一组数据，， ， 的平均数为10，方差为4，则数据 ，， ， 的平均数和方差分别是( ) C A.23，4 B.23，8 C.23，16 D.23，19 33 13.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9 次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位： ）， 此时这组成绩的平均数是，方差是 .若第 10次投掷标枪的落点恰好在 线上， 且投掷结束后这组成绩的方差是，则___（填“ ”“”或“ ”）. 34 14.若一组数据2，3，4，5， 的方差与另一组数据25，26，27，28，29 的方差相等，则 的值为______. 1或6 35 15.某景区有甲、乙两条上山的小路， 均由连续的台阶构成，如图所示是 甲、乙两路段的部分台阶示意图 （图中数据表示每一级台阶的高度， 单位： ）. （1）分别求出两路段台阶高度的中位数； 解：甲路段台阶高度的中位数为 ，乙路段台阶高度的中 位数为 . 36 （2）运用统计的知识，分析哪段台阶走起来更舒服. 解： ， ； ， ， 37 ， ， 甲路段台阶高度的数据分布比较集中，偏离平均数较小，即波动较小， 比较稳定， 甲路段的台阶走起来更舒服. 16.[北京中考改编] 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加 100米比赛.对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位： ）的数 据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图：#1.1 39 .丙运动员10次测试成绩（单位：）：，，， ， ，，，，， . .四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：#1.3 甲 乙 丙 丁 平均数/ 12.5 12.5 12.5 中位数/ 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 0.034 0.056 40 （1）表中_____， _____； （2）表中___（填“ ”“”或“ ”）； 12.5 12.7 （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力 强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比 较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩 小于平均数的次数较多者实力更强.评估结果：这四名运动员按实力由 强到弱依次为________________. 乙、丁、甲、丙 41 $