23.5 数据的分类课件-2026-2027学年冀教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“数据的分类”核心知识点，通过二氧化碳排放量、人均GDP等现实数据导入，承接前期数据描述知识，搭建从具体情境到抽象分组原则的学习支架，引导学生理解组内离差平方和最小的分组逻辑。 其亮点在于以真实数据为载体，通过计算不同分组的离差平方和培养数学思维（推理与运算能力），结合数据表格与直方图发展数据意识。实例丰富（如五城市平均低温分组练习），小结明确分组步骤，助力学生用数学语言分析现实问题，也为教师提供可操作的教学案例。

23.5 数据的分类 在大数据分析中，对一组数据进行分类是重要的方法之一. 例如，世界上的国家可以按某一指标分为发达国家与发展中国家，全体国民按人均收入分为高收入组、中等收人组与低收人组，初中生某项体能测试成绩分为优秀、合格与不合格，这些本质上都是按照某种原则对数据进行分类. 二氧化碳是一种温室气体，超量排放已对全球气候形成影响，我国已庄严承诺:力争在 2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和，2019年全球人均二氧化碳排放量为6.6 t，我国人均排放量为7.1 t，世界不同地区人均二氧化碳排放量(单位：t)的数据如右表. 序号 地区 人均二氧化碳排放量/t 1 非洲 1.6 2 南亚和东南亚 2.6 3 拉丁美洲 4.8 4 中东 7.4 5 东亚 8.6 6 欧洲 9.7 7 中亚和俄罗斯 9.9 8 北美 20.8 思考：怎么刻画组内差异的大小呢？哪种分法能使两组的组内差异最小？ 观察下图，如果把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两个层次，你认为应该如何划分? 6 8 10 12 0 4 2 14 16 18 20 数据的分组可以有多种方法，例如，以中位数为分界点(可以把一组数据分为两组，每组各有4个数据. 如果把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两组，则共有___种分组方法． 7 但从图中看出，前7个数据的差异相对不大，而 20.8是一个异常数据. 如果将前7个数据分为一组，20.8单独作为一组，那么两组数据的组内离差平方和较小，两组间差异较大，按照“组内离差平方和最小”的原则分组是传统且合理的. 6 8 10 12 0 4 2 14 16 18 20 下面，先了解在一般情形下，数据的离差平方和的分解公式. 设一组数据为x1，x2， ···，xm ， xm+1 ， xm+2， ···，xn ，将这组数据分成两组，第一组为x1，x2， ···，xm ，第二组为 xm+1 ， xm+2， ···，xn ，两组数据的平均数分别为 则n个数据的平均数为 用完全平方公式展开：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 我们先只观察 2 倍项，你有什么发现？ 所有 2 倍项的和为 0 ，计算时就不必考虑了. 则有 称 为组内离差平方和(简称组内差)，表示两个组内数据的离散程度. 为组间离差平方和(简称组间差)，表示两个组间的差异. 其中设 一个合理的分组原则是使组内差 达到最小，组间差 达到最大，但根据 ，由于总体的离差平方和 不变，则只需考虑使组内差 达到最小即可. 将8个数据按从小到大的顺序排列为1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9，20.8，所有可能的分组方案有7种，利用计算机软件计算组内离差平方和，结果如下表: 分组情况 组内差 第一组7个，第二组1个 69.6 第一组6个，第二组2个 114.5 第一组5个，第二组3个 117.5 第一组4个，第二组4个 117.6 第一组3个，第二组5个 122.6 第一组2个，第二组6个 152.8 第一组1个，第二组7个 201.8 最小 计算结果表明，前7个数据分为一组，第8个数据单独一组，此时组内离差平方和最小. 由于 20.8远离其他数据，直观判断每次将第一组的一个数据移到第二组时，组内离差平方和会增大，由此基本断定组内离差平方和最小的分组方案就是：第一组7个，第二组1个. 1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9，20.8 ①排序：将一组数据从小到大排列； ②分组：把数据分成两组，前 m (m<n) 个数据为一组，后 (n-m) 个数据为一组； ③计算：计算这两组数据的组内离差平方和，离差平方和最小的为最优分组. 组内离差平方和的计算步骤： 有一组数据: 5，6，8，9，10，按照“组内离差平方和最小”原则将这组数据分成两组，下列选项正确的是（ ） A. {5} 和 {6，8，9，10}　　　　　B. {5，6} 和 {8，9，10} C. {5，6，8} 和 {9，10} D. {5，6，8，9} 和 {10} ＝ 8.75 ＝ 2.5 ＝ 5.17 ＝ 10 B 例 国家统计局发布的数据显示，2022年全国31个省、自治区、直辖市(不含港澳台地区，简称3不省区市)的人均GDP数据(单位:万元)如下表: 按照组内离差平方和最小的原则，把这 31个省区市的人均GDP分为两个层次. 序号 人均GDP 1 19.03 2 17.99 3 14.44 4 12.68 5 11.92 6 11.85 7 10.19 8 9.65 序号 人均GDP 9 9.21 10 9.07 11 8.60 12 8.29 13 7.37 14 7.36 15 7.36 16 7.09 序号 人均GDP 17 6.98 18 6.88 19 6.86 20 6.78 21 6.66 22 6.21 23 6.17 24 6.07 序号 人均GDP 25 5.84 26 5.70 27 5.53 28 5.23 29 5.22 30 5.11 31 4.50 分析：将 31个省区市的人均GDP按从小到大的顺序排列后分成两组，共有 30种可能分法，如果分别计算组内差，最后选择组内差最小的分组方案，那么计算量会很大. 7 8 9 10 11 3 4 5 6 16 17 18 19 20 12 13 14 15 4 2 6 8 10 20 12 14 16 18 0 频数 人均GDP/万元 如图，这是31个省区市人均GDP的频数分布直方图. 观察图形，发现前25 个数据分布于4.5~10.5万元的范围内，而后6个数据分布于10.5~19.5万元的范围内. 因此，先以10.5万元为分界点将数据分为两组，计算组内差，然后每次将第一组的最后一个数据加入第二组(或将第二组的第一个数据加入第一组)，重新计算组内差，最后进行比较. 分组情况 组内差 第一组25个，第二组6个 104.1 第一组24个，第二组7个 110.3 第一组23个，第二组8个 118.7 第一组26个，第二组5个 117.7 第一组27个，第二组4个 126.2 … … 解：将数据由小到大排列，利用统计软件计算组内离差平方和，结果如下表: 将第一组的最后一个数据加入第二组时，离差平方和变大，则考虑将第二组的第一个数据加入第一组 经比较，将排序后的前 25 个数据分为一组，后6个数据分为一组，可以使组内离差平方和达到最小，即人均 GDP小于10.5万元的省区市为一个层次，人均 GDP 大于 10.5万元的省区市为另一个层次. 组内离差平方和直接衡量每组内部数据的离散程度，分组目标是让同一层次内经济水平尽可能接近，有明确的数值最优标准； 中位数仅单纯平分样本数量，没有考虑数据本身的分布差异，分层后同一组内部发展差距过大，失去分层分析价值. 思考： 1.在例题中，用中位数7.09万元为分界点将数据分为两组，和利用组内离差平方和最小的原则将数据分为两组，哪种方法更合理?为什么? 2.如果将 31个省区市的人均GDP分为3个层次，应该如何划分? 数据的分类 离差平方和 组内离差平方和 组间离差平方和 分组原则 组内离差平方和最小 什么是组内离差平方和？什么是组间离差平方和？对一组数据进行分组时，应遵循什么原则？ 1.小明将一组数据分成了两组{78，80}和{84，85，85，86}，则第一组离差平方和与第二组离差平方和分别为( 　　) A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．2，2 D 2. 五个城市某月的平均低温单位： 如下表所示： 城市 A B C D 平均低温/ 0 -2 5 2 3 根据平均低温的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组． 解：将平均低温按从小到大的顺序排列，5个平均低温按顺序排列形成4个间隔，如图所示. 每个间隔都可以把平均低温分成两组，共有4种分法． 分组 组内离差平方和 第1个间隔 13 第2个间隔 6.67 第3个间隔 10 第4个间隔 14.75 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为{A ，B}和{C，D，E} . $