23.3 四分位数与箱线图 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册23.3四分位数与箱线图专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 四分位数和箱线图是用来描述数据分布情况的统计工具，在中位数基础上延伸学习。把一组已经从小到大排好序的数据，分割成数量相等的四段，分割点对应的数值就是四分位数，共三个：下四分位数$Q_1$、中位数$Q_2$、上四分位数$Q_3$。$Q_2$就是我们上一节学习的中位数，代表数据中间位置；$Q_1$是前半部分数据的中位数，又叫第一四分位数；$Q_3$是后半部分数据的中位数，又叫第三四分位数。$Q_3-Q_1$叫做四分位距，用来衡量数据中间一半数据的离散程度，不受极端值的影响。 箱线图（箱形图）由五条关键数值绘制：最小值、$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、最大值。中间矩形箱子的左右两端对应$Q_1$与$Q_3$，箱子内部竖线是中位数；箱子两侧延伸出的线段叫做须，分别连接到最小值与最大值。箱线图可以直观对比多组数据的集中位置、分散程度，判断数据是否偏向一侧。 解题核心步骤：第一步，将原始数据从小到大排序；第二步，确定中位数$Q_2$；第三步，分别取中位数左侧、右侧的数据，算出$Q_1$、$Q_3$；绘制箱线图只需要定位五个特征数。高频易错点：计算四分位数时不排序；中位数本身不纳入前后两组数据再求$Q_1$、$Q_3$；混淆四分位距的计算公式，误把最大值减最小值当作四分位距。 ## 二、基础专项练习 1. 数据：6，2，9，1，7，3，8，先排序，求$Q_1$，$Q_2$，$Q_3$和四分位距。 2. 一组数据：12，15，18，20，24，27，30，求五个特征数：最小值、$Q_1$、$Q_2$、$Q_3$、最大值。 3. 数据：5，8，10，14，17，21，25，29，求四分位距。 4. 某组数据箱线图：最小值4，$Q_1=7$，$Q_2=11$，$Q_3=15$，最大值20。写出中位数和四分位距。 ## 三、能力提升练习 1. 8名同学物理成绩：75，82，79，88，90，84，77，86，求四分位数$Q_1,Q_2,Q_3$。 2. 10名学生一分钟跳绳成绩：112，118，120，125，126，130，132，135，140，146，求五个特征数。 3. 已知一组数据最小值为10，最大值为42，四分位距18，$Q_1=14$，求$Q_3$。 4. 两组同学测试成绩箱线图，A组：$Q_1=62，Q_2=70，Q_3=78$；B组：$Q_1=66，Q_2=70，Q_3=74$。比较两组数据中间一半数据的波动大小。 ## 四、拓展应用题 1. 某班12名学生的课外阅读时长（单位：小时）：2.1，1.5，3.2，2.4，1.8，2.6，3.5，2.9，1.2，2.2，3.0，2.7。求这组数据的五个特征数，简述数据分布特点。 2. 甲、乙两个班级一次数学测验成绩绘制箱线图，甲班：最小值50，$Q_1=64，Q_2=76，Q_3=85$，最大值96；乙班：最小值56，$Q_1=68，Q_2=76，Q_3=82$，最大值94。比较两个班级成绩：①中位数；②中间50%学生成绩波动；③最低分与最高分。 ## 五、参考答案与解析 ### 基础题 1. 排序：1，2，3，6，7，8，9。$Q_2=6$；左侧：1,2,3，$Q_1=2$；右侧：7,8,9，$Q_3=8$。四分位距=$8-2=6$。 2. 排序：12，15，18，20，24，27，30。最小值12，$Q_1=15$，$Q_2=20$，$Q_3=27$，最大值30。 3. 排序：5，8，10，14，17，21，25，29。$Q_1=9$，$Q_3=23$，四分位距=$23-9=14$。 4. 中位数$Q_2=11$；四分位距=$15-7=8$。 ### 提升题 1. 排序：75，77，79，82，84，86，88，90。$Q_2=(82+84)\div2=83$；前半段75,77,79,82，$Q_1=(77+79)\div2=78$；后半段84,86,88,90，$Q_3=(86+88)\div2=87$。 2. 排序：112，118，120，125，126，130，132，135，140，146。最小值112，$Q_1=120$，$Q_2=(126+130)\div2=128$，$Q_3=135$，最大值146。 3. 四分位距=$Q_3-Q_1$，$Q_3=14+18=32$。 4. A组四分位距$78-62=16$；B组$74-66=8$。A组四分位距更大，A组中间一半数据波动更大。 ### 拓展题 1. 排序：1.2，1.5，1.8，2.1，2.2，2.4，2.6，2.7，2.9，3.0，3.2，3.5。最小值1.2，最大值3.5；$Q_2=(2.4+2.6)\div2=2.5$；前6个：1.2，1.5，1.8，2.1，2.2，2.4，$Q_1=(1.8+2.1)\div2=1.95$；后6个：2.6，2.7，2.9，3.0，3.2，3.5，$Q_3=(2.9+3.0)\div2=2.95$。四分位距$=2.95-1.95=1$。数据分布比较均匀。 2. ①甲乙中位数都是76，两班中等水平学生成绩相同；②甲四分位距$85-64=21$，乙$82-68=14$，乙班中间一半学生成绩更稳定；③甲最低分更低，最高分更高，整体成绩跨度更大。 ## 六、易错点总结 1. 计算四分位数，**不排序直接取值**，这是最常见错误。无论数据简单还是复杂，第一步必须从小到大排序。 2. 分不清奇数个数据和偶数个数据求法：奇数个数据，中位数不属于前后两组；偶数个数据，中位数为中间两数平均值，再分别取左右两段求$Q_1$、$Q_3$。 3. 混淆“极差”和“四分位距”：极差=最大值−最小值，反映全部数据波动；四分位距=$Q_3-Q_1$，只反映中间一半数据波动，不受极端值影响。 4. 读箱线图时，误将箱子长度当成数据个数，箱子长短代表中间一半数据离散程度，不是数据多少。箱线图优势在于多组数据直观对比，中考常结合平均数、中位数综合出题。做题时先提取五个关键数字，看清问题问的是中位数、四分位距还是数据分布趋势。 （全文：1333字） 下一节：**23.4方差**，继续1333字专项练习吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 23.3 四分位数与箱线图 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十三章 数据分析与统计估计 学习目标 复习回顾 中位数的计算方法： ① 将个数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列； ②如果为奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数； ③如果为偶数，则处于中间位置的两个数据的平均数为这组数据的中位数． 新知探究 从某校九年级女生中任意选出12人，分别记录她们一分钟仰卧起坐的成绩，将成绩按从小到大的顺序排列，结果如下(单位:次/分)：15，18，21，25，26，29，31，33，35，39 42 43. 求这组数据的中位数。 四分位数 解：12为偶数，则处于中间位置的两个数据的平均数为这组数据的中位数． 即中位数为，将以上数据分为左右个数相等的两组数据。 15 18 21 25 26 29 31 33 35 39 42 43 30 中位数 如何将数据分成个数相等的四部分呢？ 观察与思考 新知探究 分析：中位数是30，它把这组数据分成两组数据： 15，18，21，25，26，29 和 31，33，35，39，42，43. 四分位数 15 18 21 25 26 29 31 33 35 39 42 43 30 中位数 分别求出这两组数据的中位数： 23 37 23 第一组数据的中位数 37 第二组数据的中位数 23，30，37三个数就将12个数据分成了个数相等的四部分。 归纳总结 15 18 21 25 26 29 31 33 35 39 42 43 30 中位数 23 第一组数据的中位数 37 第二组数据的中位数 四分位数 一般地，用表示一组数据的中位数，那么，中位数把这组数据分为两组； 用和分别表示第一组数据和第二组数据的中位数. 归纳总结 15 18 21 25 26 29 31 33 35 39 42 43 30 中位数 23 第一组数据的中位数 37 第二组数据的中位数 四分位数 这三个数把这组数据分为个数相等的四组，这三个数叫作这组数据的四分位数. 其中，分别称为这组数据的第一、第二、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数). 第一四分位数 （25%分位数） 第二四分位数 （50%分位数） 第三四分位数 （75%分位数） 新知探究 例1 从某校九年级随机抽取了18名男生的立定跳远成绩(单位:cm)，数据从小到大排列如下: 180 182 184 186 186 187 200 205 210 230 234 238 242 246 250 252 252 求这组数据的四分位数。 四分位数的计算方法 这组数据的个数不是4的倍数，如何确定它的四分位数呢？ 新知探究 180 182 184 186 186 187 200 205 210 230 234 238 242 246 250 252 252 四分位数的计算方法 分析：在大数据分析中，数据量一般都很大，可借助25%，50%，75%将这组数据分成大约各占25%的四组. 解：因为 ，所以中位数为第9、第10个数的平均数， 即. ，则取第5个数为第一四分位数，. ，则取第14个数为第三四分位数，即. 值为整数时，取这个数与下一个数的平均数 值为非整数时，向上取整 归纳总结 归纳总结 求四分位数的一般方法： （1）先将数据按照从小到大的顺序进行排序. （2）计算这组数据的中位数，即. （3）求这组数据的第一四分位数和第三四分位数： ①：计算，当结果为整数时，为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将的结果向上取整，得到的那个数为 . ②：计算当结果为整数时，为这个数与下一个数的平均数.不为整数时，将的结果向上取整，得到的那个数为. 四分位数的计算方法 9 新知探究 箱线图 某贸易公司有A和B两个营销团队，他们去年每个月的营销收益(单位:万元)按从小到大的顺序整理如下: 一起探究 团队 每个月的营销收益/万元 A 3.12 3.15 4.18 4.21 4.64 4.85 4.96 5.10 5.11 5.77 5.85 7.03 B 4.08 4.37 4.51 4.67 4.84 4.87 4.91 4.99 5.10 5.15 5.21 5.52 运用学过的统计量，从不同角度评价这两个营销团队的营销水平. 新知探究 箱线图 (1)通过平均数或中位数来评价： 团队A营销收益的平均数，中位数约是4.91； 团队B营销收益的平均数，中位数是4.89. 平均数接近 中位数也接近 你发现了什么？ 还可以怎么办呢？ 新知探究 箱线图 (2)尝试比较四分位数: 团队 A 4.20 4.91 5.44 B 4.59 4.89 5.13 根据四分位数的意义，团队A的营销收益数据在下面范围内各占25%： 团队B的营销收益数据在下面范围内各占25%： 新知探究 箱线图 为了直观地表示两组数据，便于对比它们的整体分布情况，还可以借助四分位数及数据的最小值和最大值，绘制出形如由一个箱子和两条线段组成的图形，从而得到箱线图，如图所示. 4.20 4.91 5.44 3.12 7.03 4.59 4.89 5.13 4.08 5.52 团队A 团队B 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 营销收益/万元 通过观察箱线图，我们发现团队A和团队B营销收益的中位数非常接近，但是，团队A箱子比较长，说明团队A这12个月的营销收益明显比团队B的波动大. 归纳总结 箱线图 用最大值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最小值这五个指标来描述数据分布的统计图称为箱线图. 箱体 最小值 最大值 第一四分位数 中位数 第三四分位数 最小值 第一四分位数 中位数 第三四分位数 最大值 说明：①箱体越短，实线越短，说明数据更集中，波动小. ②若中位数位于箱体中间，说明数据分布对称. 知识点1 四分位数 1. 某地有8个快递收件点，在某天接收到的快递 个数分别为360，284，290，300，188，240，260，288，则 这组数据的第一四分位数和第三四分位数分别为( ) B A. 290，250 B. 250，295 C. 300，240 D. 295，240 返回 举一反三 15 2.下表记录了某地区一年之内的月降水量. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 降水量/ 58 48 53 45 56 56 51 71 56 53 64 66 （1）该地区一年之内降水量最高的是___月份，降水量最低 的是___月份； 8 4 举一反三 16 （2）该地区的月降水量的四分位数____， ___， ____. 52 56 61 【点拨】把这组数据由小到大排序，得 45,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,中位数即 分位数，因 此,.前一半数据的中位数为整组数据的 分位数， 故后一半数据的中位数为整组数据的 分位数，故 . 返回 举一反三 17 典例分析 四分位数与箱线图的应用 例2 为节能减排，并照顾大多数居民的利益，更合理地确定阶梯电价方案，城市电力部门随机抽查了60户居民去年一年的月均用电量，数据按从小到大的顺序排列如下：（单位：千瓦.时） 42 50 56 60 62 65 68 72 76 77 80 82 82 84 88 90 95 96 98 99 100 101 105 108 110 110 116 120 124 130 134 138 140 142 150 152 152 156 160 165 170 172 176 178 178 184 196 220 236 248 250 256 270 272 276 276 278 286 300 360 为了使75%的居民按第一档电价缴费，20%的居民按第二档电价缴费，5%的居民按第三档电价缴费，应如何确定各档用电量的范围呢？ 观察与思考 典例分析 四分位数与箱线图的应用 解：设全市居民月均用电量为和，其中要求不超过的占75%，不超过的占95%。 先确定75%分位数（即第三四分位数），由于，第45个数与第46个数的平均数，即. ，第57个数与第58个数的平均数，所以60个数据中，的数据占95%，称282为这组数据的95%分位数，记作。 所以得估计值为181，的估计值为282. 月均用电量可划分为三个档次：第一档，第二档，第三档：. 典例分析 四分位数与箱线图的应用 （1）求上面60个数据的60%分位数。 （2）分别求60个数据中小于或等于和大于或等于的数据所占的百分比。 做一做 解：（1），第36个和第37个数据的平均数，即. （2）60%的数据小于或等于， 至少有40%的数据大于或等于 典例分析 四分位数与箱线图的应用 例3 某校九年级选拔出20名学生参加“传承中华优秀传统文化”演讲比赛，他们的成绩（单位：分，满分100分）按从小到大的顺序排列如下： 69 71 72 76 77 80 82 83 83 84 85 87 87 88 88 90 90 92 94 95 如果按照一等奖占15%，二等奖占30%，三等奖占55%的比例确定奖项等级，请确定各等级奖项的成绩范围。 解：根据题意，先求55%分位数和85%分位数 因为，所以; 因为，所以; 当成绩时，为三等奖；当时，为二等奖； 当时，为一等奖。 知识点2 箱线图 3. 观察箱线图，下列说法不正确的是( ) B A. 这组数据的 分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的 分位数是15 D. 这组数据的最小值是3，最大值是18 返回 举一反三 22 4.我国幅员辽阔，不同地方的气温差 异较大，甲、乙两市8月 日的最 高气温箱线图如图所示，关于①②， 正确的是____（填序号）. ② ①该段时间内甲市最高气温的第一四 分位数和中位数均与乙市的相等 ②该段时间内甲市最高气温的波动比乙市大 举一反三 23 【点拨】由箱线图可知，甲市最高气 温最大值是 、最高气温最小值为 、第一四分位数为 、中位 数为，最高气温的波动为 ； 乙市最高气温最大值是 、最高气 温最小值为、第一四分位数为、中位数为 ， 最高气温的波动为 ；故①错误，②正确. 返回 举一反三 24 5. 已知一组数据按从小到大排列如下：11，12， 15，，17， ，22，26.经计算，该组数据的中位数是16， 分位数是20，则____， ____. 15 18 返回 举一反三 25 6. 2026年3月13日，长征八号甲运载火箭在海南 商业航天发射场点火升空，随后将卫星互联网低轨20组卫星 送入预定轨道，发射任务取得圆满成功.为科普航天知识，某 校组织学生参与航天知识竞答活动，某班8名同学成绩如下： 7，6，8，9，8，7，10，，若去掉，该组数据的 分 位数保持不变，则整数 的值可以是_________ _______________（写出一个满足条件的 值即可）. 8 （答案不唯一） 返回 举一反三 26 7. 甲、乙两组的测试成绩（单位：分）如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95. （1）求甲组数据的四分位数. 【解】将甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91， 92，96，98，100，所以， ， . 举一反三 27 （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的 箱线图，绘制甲组的箱线图. 如图. 举一反三 28 （3）根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法. 根据箱线图和四分位数可知甲组成绩的中位数和乙组相同， 但甲组成绩明显比乙组的波动大.（合理即可） 返回 举一反三 29 课堂小结 四分位数 四分位数与箱线图 箱线图 25%分位数，50%分位数，75%分位数 三个四分位数m25，m50，m75及最大值、最小值 计算步骤 应用：分析数据分布 课堂小结 谢谢观看 THANKS $