23.4 数据的方差-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(冀教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“数据的方差”核心知识点，通过复习平均数、中位数等集中趋势统计量，结合甲、乙射击成绩案例引出方差，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解数据离散程度的描述方法。 其亮点在于以实际案例驱动教学，如射击成绩波动分析、公交路线时间决策等，培养学生数据观念与推理意识。拓展提升环节探究数据变换规律，助力学生用数学语言表达现实问题，既加深知识理解，又提升教师教学效率。

23.4 数据的方差 第二十三章 数据分析与统计估计 学习目标 1.了解方差的意义，掌握离差平方和、方差的计算方法. 2.能利用方差对实际问题作决策. 学习重难点 理解方差的意义，掌握方差的计算方法. 能利用方差对实际问题作决策. 难点 重点 复习导入 1、集中趋势统计量： 平均数、 中位数、 众数. 2、平均数计算方法： 1 n （x1+···+xn） = 3、加权平均数计算方法： 4 4、中位数的定义： 一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫作众数. 5、众数的定义： 一般地，将n个数据按大小顺序排列，若n为奇数，则把处于中间位置的数据叫作这组数据的中位数；若n为偶数，则把处于中间位置的两个数据的平均数叫作这组数据的中位数. 5 6、四分位数的定义： 一般地，用m₅₀表示一组数据的中位数，那么，中位数把这组数据分为两组，用m₂₅和m₇₅分别表示第一组数据和第二组数据的中位数.这样，m₂₅,m₅₀,m₇₅这三个数就把这组数据分为个数相等的四组，这三个数叫作这组数据的四分位.其中, m₂₅, m₅₀, m₇₅分别称为这组数据的第一、第二、第三四分位数(或25%分位数、50%分位数、75%分位数). 7、箱线图：反映数据的位置分布 6 新知引入 知识点1 方差 甲、乙两名业余射击选手参加射击比赛，甲射击8次，乙射击10次，成绩如图所示. 1.观察上图，甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数各是多少？ 7 解：甲射击成绩的平均数： =×（4+5+6+7+7+8+9+10）=7（环）； 中位数为7环； 乙射击成绩的平均数： =×（5+6+6+7+7+7+7+8+8+9）=7（环）； 中位数为7环. 8 2.在评判甲、乙两人的射击水平时，有以下两种观点： 你认为哪种观点更合理些? 观点一 因为甲、乙两人射击成绩的平均数和中位数都是7环，所以他们的射击水平几乎没有区别. 观点二 从射击成绩偏离平均数7环的程度比较，甲的射击成绩比乙的波动大，反映出乙的射击成绩比甲的稳定些. 解：观点二更合理些. 9 一起探究 观察上页图，直观感觉甲射击成绩的波动比乙大.如何构造一个量，来描述一组数据的波动大小呢? （1）请分别计算甲、乙每次的射击成绩与他们平均成绩的偏差，并将结果填入下表：(单位：环) （2）我们知道所有数据与其平均数的偏差之和为0，现有以下两种观点： 观点1：把甲、乙射击成绩的偏差的绝对值分别相加，再进行比较. 观点2：把甲、乙射击成绩的偏差的平方分别相加，再进行比较. 那么，这两种观点各有哪些合理的地方，又需要如何进一步修正呢? 射击序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲成绩的偏差 — — 乙成绩的偏差 -3 +1 -1 0 +2 0 +3 -2 -2 0 -1 +1 0 +1 -1 0 +2 0 11 为了描述一组数据相对于其平均数的离散程度，通常先求各个数据与平均数偏差的平方和，为了消除不同数据个数对结果的影响，再除以数据的个数，就得到一个偏差平方的平均数. 定义 设n个数据x₁，，xₙ的平均数为， 各个数据与平均数偏差的平方分别是 (x1−)2，(x2−)2，，(xn−)2 偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用s²表示， 即 我们称(x1−)2+(x2−)2++(xn−)2 为这组数据的离差平方和. 知识拓展： 反映的是数据的离散程度（或波动程度）. 方差越小， 方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量， 一般地， 方差越大， 该组数据的波动就越大 （离散程度大）, 该组数据的波动就越小 （离散程度小）. ① 方差的作用： 才利用方差来判断它们的波动情况． ② 方差的适用条件： 当两组数据的平均数相等或相近时， 14 下面通过计算方差来看甲、乙射击成绩谁更稳定. 例 张老师乘公交车上班，从家到学校有A，B两条路线可选择.第一周（5个工作日）选择A路线，第二周（5个工作日）选择B路线，每天两趟，记录所用时间如下表： 例题解读 知识点2 利用方差作决策 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A路线所用时间/min 35 52 35 36 54 38 41 34 55 40 B路线所用时间/min 45 49 44 45 47 46 50 48 50 46 根据上表数据绘制的折线统计图，如图所示. （1）从图形看，哪条路线平均用时少，哪条路线用时的波动大? （2）用计算器分别计算选择A，B两条路线所用时间的平均数和方差. （3）如果某天上班可用时间只有40 min，应选择走哪条路线? （4）如果某天上班可用时间为50 min，又应选择走哪条路线? 17 解：（1）从图形看，A路线平均用时少，且用时的波动较大. （2）经计算得：=42 min，s2A=63.2; =47 min，s2B=4.2. （3）当上班可用时间只有40 min时，应选择走A路线，因为在10次记录中，B路线所有用时都超过40 min，而A路线有6次用时不超过40 min. （4）当上班可用时间为50 min时，应选择走B路线. 18 知识拓展 ① 一般地，在平均数相同的情况下，方差越大， 则意味着这组数据的离散程度也越大. ② 在两组数据的平均数相差较大时， 以及在比较单位不同的两组数据时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 19 随堂演练 1.据统计,某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为 5,5,6,6,6,7,7.下列说法错误的是 (　    ) A.该组数据的中位数是6 B.该组数据的众数是6 C.该组数据的平均数是6 D.该组数据的方差是6 D 20 2. 在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是(　　) A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2 B 21 3.甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测试中，他们成绩的平均分是 ＝85， ＝85， ＝85， ＝85，方差是s甲2＝3.8，s乙2＝2.3，s丙2＝6.2，s丁2＝5.2，则成绩最稳定的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 B 22 4．某校要从四名学生中选拔一名参加市“汉字听写”大赛，将多轮选拔赛的成绩数据进行分析得到每名学生的平均成绩（单位：分）及方差如下表所示： 根据表中数据，可以判断同学甲是这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的学生，则m,n的值可以是（ ） A.m=92,n=15 B.m=92,n=8.5 C.m=85,n=10 D.m=90,n=12.5 甲 乙 丙 丁 平均成绩 m 90 91 88 方差 n 12.5 14.5 11 B 23 5.某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛 (100米记录为12.2秒，通常情况下成绩为12.5秒可获冠军)。该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 选手甲的成绩（秒） 12.1 12.4 12.8 12.5 13 12.6 12.4 12.2 选手乙的成绩（秒） 12 11.9 12.8 13 13.2 12.8 11.8 12.5 根据测试成绩，请你运用所学过的统计知识做出判断，派哪一位选手参加比赛更好？为什么？ 解：想获得冠军派甲选手，想破纪录派乙选手，因为甲选手成绩较稳定，乙选手破纪录的可能性大. 24 1.(1)观察下列各组数据并填空： A：1　2　3　4　5　 ＝________，sA2＝________； B：11　12　13　14　15 ＝_______，sB2＝_______； C：10　20　30　40　50 ＝_______，sC2＝_______； D：3　5　7　9　11　 ＝________，sD2＝________； (2)比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？ A与B比较，B组中各数据比A组中对应各数据多10 ， ，方差不变 A与C比较，C组各数据为A组中对应各数据的10倍， A与D比较，D组各数据为A组中对应各数据的2倍多1， ＝2 ＋1 , sD2＝22×sA2 3 2 13 2 30 200 7 8 ，sC2＝102×sA2 拓展提升 25 (3)若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2， 那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数是 ________，方差是________． 26 课堂小结 方差 定义 计算公式 反映一组数据的离散程度（或波动程度） 27 绿卡图书—走向成功的通行证 28 $