23.5数据的分类 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册23.5 数据的分类专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 数据的分类，就是按照一定标准，将一组有序数据划分成若干小组。分类的核心原则：**组内离差平方和最小**。离差平方和是一组数据中每个数据与其平均数差的平方相加的总和；把数据分成若干组后，每一组各自的离差平方和相加，叫做**组内离差平方和**；全部数据的总离差平方和减去组内离差平方和，得到**组间离差平方和**。总离差平方和 = 组内离差平方和 + 组间离差平方和。当组内离差平方和越小，代表每一组内部的数据差异越小，分组越合理；对应的组间离差平方和越大，组与组之间差距越明显。 前面学习的方差、四分位数都是分析一组数据的离散程度，而本节是对多组数据做划分。生活中例子很多：把学生成绩划分为优秀、良好、合格；运动员按测试成绩分组训练。解题基本步骤：先把原始数据从小到大排序；尝试不同分组方案；分别计算各组离差平方和，求和得到组内离差平方和；对比多种方案，选出组内离差平方和最小的分组。易错点：离差平方和不是方差，离差平方和不需要除以数据个数；比较分组优劣，看组内离差平方和，不是组间；分组前必须先排序，打乱顺序计算会直接出错。 ## 二、基础专项练习 1. 数据：3，5，7，9，11，分成两组：方案一{3,5}，{7,9,11}；方案二{3,5,7}，{9,11}。分别计算两种方案的组内离差平方和。 2. 一组数据：2，4，6，8，全部放在同一组，求这组数据的离差平方和。 3. 数据：1，3，5，7，9，11，若分为两组{1,3,5}，{7,9,11}，求组内离差平方和。 4. 两种分组方案，方案A组内离差平方和=6.2，方案B组内离差平方和=4.8。判断哪个分组方案更合理。 ## 三、能力提升练习 1. 6名同学短跑成绩（s）：12.1，12.4，12.7，13.2，13.5，13.8。现有两种分组：①{12.1,12.4,12.7}，{13.2,13.5,13.8}；②{12.1,12.4}，{12.7,13.2,13.5,13.8}。计算两组方案组内离差平方和，选出更合理分组。 2. 已知一组数据总离差平方和为22.5，某分组方案组内离差平方和为10.4，求组间离差平方和。 3. 5名同学实心球成绩：5.0，5.6，6.0，6.8，7.2。两种分组：①{5.0}，{5.6,6.0,6.8,7.2}；②{5.0,5.6,6.0}，{6.8,7.2}，计算组内离差平方和，选出更好方案。 4. 数据4，5，7，8，分成两组，只能在相邻数据之间分割，写出所有可能分割方式。 ## 四、拓展应用题 1. 8名学生数学单元成绩：72，75，78，83，86，89，91，94。教师打算分为两组，用来分层辅导。请写出两种相邻分割方案，计算组内离差平方和，选出最优分组。 2. 某篮球队7名队员立定跳远成绩（m）：2.02，2.08，2.11，2.15，2.19，2.23，2.26。教练想划分成两组，通过计算比较两种分组方案，说明哪一种分组组内差异更小。 ## 五、参考答案与解析 ### 基础题 1. 方案一：第一组{3,5}平均数4，离差平方$(3-4)^2+(5-4)^2=2$；第二组{7,9,11}平均数9，离差平方$(7-9)^2+(9-9)^2+(11-9)^2=8$；组内总和$\(2+8=10\)$。方案二：第一组{3,5,7}平均数5，离差平方$8$；第二组{9,11}平均数10，离差平方$2$；组内总和$\(8+2=10\)$。两种方案组内离差平方和相等。 2. 平均数5，离差平方$(2-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2=20$。 3. 第一组平均数3，离差平方$8$；第二组平均数9，离差平方$8$；组内总和$16$。 4. B组内离差平方和更小，分组更合理。 ### 提升题 1. 方案①：第一组均值12.4，离差平方0.18；第二组均值13.5，离差平方0.18；组内总和0.36。方案②：第一组均值12.25，离差平方0.045；第二组均值13.3，离差平方0.86；组内总和0.905。方案①组内离差平方和更小，分组更合理。 2. 组间离差平方和$=22.5-10.4=12.1$。 3. 方案①：第一组离差平方0；第二组均值6.4，离差平方1.48；总和1.48。方案②：第一组均值5.53，离差平方0.50；第二组均值7，离差平方0.08；总和0.58。方案②更好。 4. 三种分割：{4}与{5,7,8}；{4,5}与{7,8}；{4,5,7}与{8}。 ### 拓展题 1. 排序：72，75，78，83，86，89，91，94。方案1：{72,75,78}，{83,86,89,91,94}；第一组均值75，离差平方18；第二组均值88.6，离差平方221.2；总和239.2。方案2：{72,75,78,83}，{86,89,91,94}；第一组均值77，离差平方74；第二组均值90，离差平方42；总和116。方案2组内离差平方和更小，分组更优。 2. 排序：2.02，2.08，2.11，2.15，2.19，2.23，2.26。方案一：{2.02,2.08,2.11}，{2.15,2.19,2.23,2.26}，组内离差平方和约0.0097；方案二：{2.02,2.08,2.11,2.15}，{2.19,2.23,2.26}，组内离差平方和约0.0147。方案一更优，组内队员水平差距更小。 ## 六、易错点总结 1. 混淆**离差平方和**与方差：离差平方和不用除以数据个数；方差是离差平方和除以数据个数。题目问组内离差平方和，不要做除法。 2. 分组只能在有序数据相邻两个数之间分割，不能打乱数据随意挑选数据分组，这是本课的重要规则。 3. 总离差平方和公式记忆错误：总离差平方和 = 组内离差平方和 + 组间离差平方和。组内越小，组间越大。 4. 判断分组好坏的标准记反：误以为组内离差平方和越大分组越好。实际要求每组内部数据尽量接近，所以组内离差平方和越小越好。本章是统计的收尾，前面平均数、方差为本节做铺垫，考试常把方差计算和数据分类综合出题，需要熟练计算离差平方和，读懂分组要求，通过计算对比选出最优分类方案。 （全文：1333字） 接下来可以做**第二十三章 数据分析与统计估计 单元综合专项练习**，同样控制1333字，需要吗？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 23.5数据的分类 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十三章 数据分析与统计估计 学习目标 复习回顾 方差的概念及计算方法： 个数据 的平均数为，各个数据与平均数偏差的平方分别是。偏差平方的平均数叫作这组数据的方差，用表示，即 称为这组数据的离差平方和 新知探究 在大数据分析中，对一组数据进行分类是重要的方法之一. 例如，世界上的国家可以按某一指标分为发达国家与发展中国家，全体国民按人均收入分为高收入组、中等收人组与低收人组，初中生某项体能测试成绩分为优秀、合格与不合格，这些本质上都是按照某种原则对数据进行分类. 数据的分类原则 除了利用百分位数对数据进行分类外，还有其他的分类原则吗？ 新知探究 数据的分类原则 二氧化碳是一种温室气体，超量排放已对全球气候形成影响，我国已庄严承诺:力争在 2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和，2019年全球人均二氧化碳排放量为6.6 t，我国人均排放量为7.1 t，世界不同地区人均二氧化碳排放量(单位：t)的数据如下表. 序号 地区 人均二氧化碳排放量/t 1 非洲 1.6 2 南亚和东南亚 2.6 3 拉丁美洲 4.8 4 中东 7.4 5 东亚 8.6 6 欧洲 9.7 7 中亚和俄罗斯 9.9 8 北美 20.8 新知探究 数据的分类原则 观察与思考 观察下图，如果把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两个层次，你认为应该如何划分? 6 8 10 12 0 4 2 14 16 18 20 1.6 2.6 4.8 7.4 8.6 9.7 9.9 20.8 把这8个地区的人均二氧化碳排放量分成两组，则共有___种分组方法． 7 例：如果以中位数8为分界点，可以分为： {1.6,2.6,4.8,7.4}和{8.6,9.7,9.9,20.8}两组。 这样分组是否合理？ 新知探究 数据的分类原则 如果以中位数分组，第二组中的20.8与组内其他数据差异较大，不合理。 怎样使得组内差异较小？ 思考 6 8 10 12 0 4 2 14 16 18 20 1.6 2.6 4.8 7.4 8.6 9.7 9.9 20.8 观察：前7个数差异不大。如果将前7个数分为一组，20.8单独作为一组，可以使得组内差异较小。 称为“组内离差平方和最小”分类原则。 归纳总结 组内离差平方和最小原则 设一组数据为，将这组数据分成两组，前个数据为第一组，即，后个数据为第二组，即 ，两组数据的平均数分别为： 第一组数据平均数 第二组数据平均数 则个数据的平均数为 归纳总结 组内离差平方和最小原则 其中，设 称为组内离差平方和(简称组内差)，反映两个组内数据的离散程度； 称为组间离差平方和(简称组间差)，反映两组数据之间的差异程度. 则有 新知探究 验证组内离差平方和最小原则 将8个数据按从小到大的顺序排列为1.6，2.6，4.8，7.4，8.6，9.7，9.9，20.8，所有可能的分组方案有7种，利用计算机软件计算组内离差平方和，结果如下表: 分组情况 组内差 第一组7个，第二组1个 69.6 第一组6个，第二组2个 114.5 第一组5个，第二组3个 117.5 第一组4个，第二组4个 117.6 第一组3个，第二组5个 122.6 第一组2个，第二组6个 152.8 第一组1个，第二组7个 201.8 最小 计算结果表明，前7个数据分为一组，第8个数据单独一组，此时组内离差平方和最小. 归纳总结 验证组内离差平方和最小原则 一个合理的分组原则是使组内差达到最小，组间差达到最大，但根据，由于总体的离差平方和不变，则只需考虑使组内差达到最小即可. 组内离差平方和越小，说明两组内部的数据越集中，分组越合理. 知识点 数据的分类 1.科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合 作用速率（单位： ）．统计结果为 35,30,23,17,20,25,32,30，若根据组内离差平方和最小的原则 将其分为两组，则需先将数据由____到____排序，再将这8 株植物分成两组，共有___种分法. 小 大 7 返回 举一反三 11 2.现有一组数据:12,15,18,20,22,25，将其分成两组 和 ，则这种分组情况的组内离差平方和为______. 31.25 举一反三 12 【点拨】 第1组数据的平均数为 , 则离差平方和为 .第2组数据 的平均数为 ,则 离差平方和为 .所以这种分组情况的组内离差平 方和为 . 返回 举一反三 13 典例分析 数据分类的应用 例 国家统计局发布的数据显示，2022年全国31个省、自治区、直辖市(不含港澳台地区，简称3不省区市)的人均GDP数据(单位:万元)如下表: 按照组内离差平方和最小的原则，把这 31个省区市的人均GDP分为两个层次. 序号 人均GDP 1 19.03 2 17.99 3 14.44 4 12.68 5 11.92 6 11.85 7 10.19 8 9.65 序号 人均GDP 9 9.21 10 9.07 11 8.60 12 8.29 13 7.37 14 7.36 15 7.36 16 7.09 序号 人均GDP 17 6.98 18 6.88 19 6.86 20 6.78 21 6.66 22 6.21 23 6.17 24 6.07 序号 人均GDP 25 5.84 26 5.70 27 5.53 28 5.23 29 5.22 30 5.11 31 4.50 典例分析 数据分类的应用 分析：将 31个省区市的人均GDP按从小到大的顺序排列后分成两组，共有 30种可能分法，如果分别计算组内差，最后选择组内差最小的分组方案，那么计算量会很大. 7 8 9 10 11 3 4 5 6 16 17 18 19 20 12 13 14 15 4 2 6 8 10 20 12 14 16 18 0 频数 人均GDP/万元 如图，这是31个省区市人均GDP的频数分布直方图. 观察图形，发现前25 个数据分布于4.5~10.5万元的范围内，而后6个数据分布于10.5~19.5万元的范围内. 典例分析 数据分类的应用 因此，先以10.5万元为分界点将数据分为两组，计算组内差，然后每次将第一组的最后一个数据加入第二组(或将第二组的第一个数据加入第一组)，重新计算组内差，最后进行比较. 分组情况 组内差 第一组25个，第二组6个 104.1 第一组24个，第二组7个 110.3 第一组23个，第二组8个 118.7 第一组26个，第二组5个 117.7 第一组27个，第二组4个 126.2 … … 解：将数据由小到大排列，利用统计软件计算组内离差平方和，结果如下表: 经比较，将排序后的前 25 个数据分为一组，后6个数据分为一组，可以使组内离差平方和达到最小，即人均 GDP小于10.5万元的省区市为一个层次，人均 GDP 大于 10.5万元的省区市为另一个层次. 越来越大 最小 归纳总结 数据分类的应用 数据分组的步骤： (1)将数据按从小到大排序； (2)确定所有可能的间隔(个数据有个间隔，对应种两组分法)； (3)计算每种分法的两组平均数、总数据的平均数及组内离差平方和； (4)选择组内离差平方和最小的分法作为最优分组. 分组交流 数据分类的应用 1.在例题中，用中位数7.09万元为分界点将数据分为两组，和利用组内离差平方和最小的原则将数据分为两组，哪种方法更合理?为什么? 2.如果将 31个省区市的人均GDP分为3个层次，应该如何划分? 三个层次分别为低层次（4.50~7.37万元）、中层次（8.29~9.65万元）、高层次（10.19~19.03万元）（按组内离差平方和最小原则）。 中位数只是把样本个数对半分开，没有考虑每组内部数值是否接近.如果数据存在极端值、断层，中位数分割会把差距极大的数值强行放入同一组. 组内离差平方和以 “同组数据相近、组间差距大” 为目标，用数值离散程度量化分组效果，分组后同一层次内人均 GDP 水平更接近，不同层次发展差距更清晰，符合 “划分经济发展层次” 的实际分析需求. 3. 小荣在班上做节水意识调查，收集了班上7名同 学家里上个月的用水量如下表： 用水量/ 7 5 13 6 9 11 5 根据用水量的组内离差平方和最小原则，把这7名同学分为两组. 举一反三 19 【解】 将7个数据由小到大排列为5,5,6,7,9,11,13，不同分组 情况的组内离差平方和如下表， 分组情况 组内差 第一组1个，第二组6个 第一组2个，第二组5个 第一组3个，第二组4个 举一反三 20 分组情况 组内差 第一组4个，第二组3个 第一组5个，第二组2个 第一组6个，第二组1个 续表 举一反三 21 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分 组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的 分法为，，，和，， . 返回 举一反三 4. 2026年1月14日，我国自主研发的深海钻探 与原位监测机器人在南海完成试验作业.机器人具备自主避障、 路径规划能力，可在海底地层立体钻探与原位监测，标志我 国深海勘探技术进入世界先进行列.某校为了培养学生对机器 人的学习兴趣，开展了机器人相关竞赛活动，现从该校八年 级随机抽取6名学生的成绩：86，81，95，89，88，89.根据 组内离差平方和最小的原则，把这6名学生的成绩分成两组 ________和_____________. 举一反三 23 【点拨】 将6个数据由小到大排列可得81，86，88，89，89， 95，将它们分为两组共有5种情况，分别计算组内离差平方 和如下表： 举一反三 24 分组情况 组内差 第一组1个，第二组5个 45.2 第一组2个，第二组4个 43.25 第一组3个，第二组3个 50 第一组4个，第二组2个 56 第一组5个，第二组1个 45.2 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第2个间隔分 组时，组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的 分法为和 . 返回 举一反三 5. 某智慧小区对6个单元楼的月度可回收 物回收量（单位: ）进行统计，数据如下:39，36，33，51， 35，42.物业需根据组内离差平方和最小原则分为三组 （“潜力攻坚组”、“稳步提升组”和“高效回收组”），优化资 源分配，请确定最优分组方案. 举一反三 26 【解】将6个数据由小到大排列为33,,,,, ，不同 分组情况的组内离差平方和如下表： 分组情况 组内差 第一组1个，第二组1个，第三组4个 126 第一组1个，第二组2个，第三组3个 78.5 第一组1个，第二组3个，第三组2个 第一组1个，第二组4个，第三组1个 30 第一组2个，第二组1个，第三组3个 80 举一反三 27 分组情况 组内差 第一组2个，第二组2个，第三组2个 47 第一组2个，第二组3个，第三组1个 20 第一组3个，第二组1个，第三组2个 45 第一组3个，第二组2个，第三组1个 第一组4个，第二组1个，第三组1个 18.75 续表 举一反三 28 观察最后一列组内离差平方和可以发现，第9个间隔组内离 差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为：潜力 攻坚组,,；稳步提升组,；高效回收组 . 返回 举一反三 课堂小结 表达了两个组的组内数据的离散程度 表达了两个组之间的差异 组内离差平方和 组间离差平方和 分组原则：使组内离差平方和最小 谢谢观看 THANKS $