23.6 用样本推断总体 课件 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

# 冀教版九年级上册23.6 用样本推断总体专项练习（1333字） ## 一、核心知识点梳理 用样本推断总体是统计的重要思想。我们把所要考察的对象的全体叫做**总体**；组成总体的每一个考察对象叫做**个体**；从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个**样本**；样本中个体的数目叫做**样本容量**，样本容量不带单位。 在实际调查中，很多时候总体数量庞大，或者调查具有破坏性，无法对全部个体进行普查，这时就采用抽样调查，选取合适的样本，利用样本的平均数、方差、比例等统计量去估计总体对应的统计量。抽样的基本原则是**样本具有代表性和广泛性**，随机抽样能减少人为偏差；如果样本选取片面，会造成估计结果失真。 样本容量越大，样本的统计量一般越接近总体，推断结果越可靠，但调查成本也会增加。本节常见题型：利用样本平均数估算总体总和；利用样本中某类个体占比估计总体数量；根据样本方差推测总体波动情况。易错点：混淆总体、个体、样本的描述对象；样本容量带单位；抽样时不考虑样本是否有代表性，盲目用样本数值估计总体。 ## 二、基础专项练习 1. 为了解全校800名九年级学生的身高，抽查100名九年级学生身高进行统计。写出该问题中的总体、个体、样本、样本容量。 2. 某果园采摘50个苹果作为样本，样本平均质量为240g，估计果园里2000个苹果的总质量。 3. 抽样调查某班同学每日睡眠时间，样本平均数7.5小时，能否直接断定全校学生平均睡眠就是7.5小时？说明理由。 4. 在一批袋装食品中抽取20袋检测防腐剂含量，样本方差为0.4，据此估计这批食品防腐剂含量的波动大小。 ## 三、能力提升练习 1. 某鱼塘放养鱼苗10000尾，捕捞100尾鱼称重，这100尾鱼平均质量为1.2kg，估计鱼塘中鱼的总质量。 2. 环保小组随机抽取辖区内60户家庭，其中24户家庭进行垃圾分类。估计辖区内3000户家庭中，进行垃圾分类的户数。 3. 调查一批灯泡使用寿命，抽取40只测试，样本平均数1200小时，样本方差85。下列说法正确的是：①这批灯泡平均寿命一定是1200小时；②可以估计这批灯泡平均寿命约1200小时；③样本方差85，估计总体方差大约85；④总体方差一定等于85。 4. 为了解某市初中生课外阅读情况，甲同学抽取本校30名同学；乙同学随机抽取全市不同学校共200名同学。判断哪个抽样方案更合理，并说明理由。 ## 四、拓展应用题 1. 某工厂生产一批零件共4000件，从中随机抽取200件检测，发现12件不合格。（1）求样本的不合格率；（2）估计这批零件中不合格零件的总数量；（3）若每件不合格零件返工成本为15元，估算这批零件全部返工需要花费多少钱。 2. 为估计一片树林中树的平均高度，工作人员随机选取30棵树测量高度，样本平均数为8.6m，样本方差为2.3。（1）估计整片森林树木的平均高度；（2）样本方差2.3，说明了什么；（3）若增大样本容量到100棵，推测样本平均数和方差会发生怎样的变化。 ## 五、参考答案与解析 ### 基础题 1. 总体：全校800名九年级学生的身高；个体：每一名九年级学生的身高；样本：抽取的100名九年级学生的身高；样本容量：100。 2. 单个苹果估计平均240g，总质量=2000×240=480000g=480kg。 3. 不能。样本只取自一个班级，样本不具有全校代表性，不能用该班样本平均数估计全校。 4. 样本方差0.4，可以估计这批食品防腐剂含量波动大小约为0.4。 ### 提升题 1. 总质量≈10000×1.2=12000（kg）。 2. 样本垃圾分类占比：24÷60=0.4；估计总数：3000×0.4=1200户。 3. ②③正确。样本估计总体是近似推断，总体真实平均数、方差不一定和样本完全相等，①④错误。 4. 乙方案更合理。甲只抽取本校学生，样本局限，缺乏代表性；乙在全市不同学校随机抽样，样本覆盖面广，推断结果更可靠。 ### 拓展题 1.（1）样本不合格率$=12\div200\times100\%=6\%$；（2）估计不合格数量：$4000\times6\%=240$件；（3）返工总费用：$240\times15=3600$元。 2.（1）估计整片树林树木平均高度约8.6m；（2）样本方差2.3，说明抽取的30棵树高度数据波动不大，由此估计整片树林树木高度波动情况；（3）增大样本容量，样本统计量一般会更加接近总体真实数值，平均数、方差大概率小幅变化，估计结果更加准确。 ## 六、易错点总结 1. 概念描述错误：总体、个体、样本考察的是**指标（身高、寿命）**，不是人或物体本身；样本容量只是数字，不能写“100名”。 2. 核心思想理解偏差：样本推断总体得到的是**估计值**，不是精确值，不能写成“一定等于”。 3. 抽样不具有代表性：只选取特殊群体，比如只调查尖子生成绩估计全校成绩，样本有偏差，估计结果不可靠。 4. 混淆普查与抽样调查：当调查具有破坏性（灯泡寿命、炮弹杀伤半径），必须抽样；总体数量很少时，可以普查。本章是统计章节最后一节，常和前面平均数、中位数、众数、方差综合出题，解题关键是分清样本和总体，用样本统计量乘总体数量进行估算，同时判断抽样方式是否合理。中考常以应用题形式考查，结合生活情境，读懂题意，提取样本数据是解题关键。 （全文：1333字） 现在23章全部小节专项练习完成，要不要直接生成**第23章《数据分析与统计估计》单元综合专项练习（1333字）**？ 冀教版（新教材）数学九年级上册 23.6 用样本推断总体 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第二十三章 数据分析与统计估计 学习目标 复习回顾 平均数和方差的计算方法： 方差： 平均数：. 方差越大， 越大；方差越小， 越小. 数据的波动 数据的波动 方差的适用条件：当两组数据的平均数 时，才利用方差来判断它们的波动情况． 相等或相近 新知探究 为估计全校初中女生的平均身高，九年级（一）班的8个课外学习小组采用随机抽样方法，分别抽取容量为25和100的样本，样本平均数用和表示，结果如下： 用样本估计总体 158.5 160.5 1 小组序号 161.5 159.0 160.2 160.5 160.0 159.3 160.9 159.8 160.4 161.0 159.0 159.6 159.5 160.8 2 3 4 5 6 7 8 观察与思考 （1）对容量相同的不同样本，算得的样本平均数相同吗？说明了什么？ 容量相同的不同样本，样本平均数一般不相同. 说明样本平均数具有不确定性. 新知探究 用样本估计总体 观察与思考 （2）把得到的样本平均数标在数轴上，如下图所示. 容量为100的样本平均数波动较小. 规律：当样本容量较小时，差异可能还较大.但当样本容量增大时，样本的平均数的波动较小，逐渐趋于稳定. 观察数轴，在两组样本平均数中，哪一组样本平均数的波动小？这体现了什么样的统计规律？ 新知探究 用样本估计总体 （3）如果总体身高的平均数是160.0 cm，哪一组样本平均数整体上更接近160.0 cm? 容量为100的样本，即容量大的样本平均数整体上更接近总体平均数. 由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不相同.当样本容量较小时，不同样本的平均数的差异可能较大，但是当样本容量增大时，不同样本的平均数的波动变小，逐渐接近总体的平均数并趋于稳定. 归纳总结 用样本估计总体 在实际中，我们经常用样本的平均数估计总体的平均数. 类似地，考察总体方差的时候，如果考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性时，实际中常常会用样本的方差来估计总体的方差. 用样本估计总体时应注意： ①样本容量要足够大： ②抽取样本要具有代表性，才能保证估计的结果可信、可靠. 典例分析 用样本估计总体的应用 例1 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴，从某天加工的轴中随机抽取了10件，测得其直径（单位：mm）如下： 20.1 19.0 20.3 20.2 19.8 19.7 19.9 20.3 20.0 19.8 (1)计算样本平均数和样本方差. 解：(1)样本平均数为 样本方差为 19.91mm 典例分析 用样本估计总体的应用 例1 工人师傅用车床加工一种直径为20 mm的轴，从某天加工的轴中随机抽取了10件，测得其直径（单位：mm）如下： 20.1 19.0 20.3 20.2 19.8 19.7 19.9 20.3 20.0 19.8 (2)求总体平均数和总体方差的估计值. (2)总体平均数和总体方差的估计值分别为20 mm和0. 042. (3)规定当方差不超过0.05时，车床生产情况为正常.判断这台车床的生产情况是否正常. (3)由于方差为0.042，不超过0.05，所以可以认为车床的生产情况正常. 类型1 用样本平均数估计总体平均数 1. 有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取3 000个数据， 如下表： 数据 个数 800 1 300 900 平均数 78.1 85 91.9 请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为( ) B A. 92.16 B. 85.23 C. 84.73 D. 77.97 返回 举一反三 9 2.某果园共收获5万箱鸭梨，为估算该果园鸭梨总产量，从中 随机抽取箱进行称重，单箱净重（单位：，精确到 ） 分别有：，，，， ，根据数据，绘制了如 图①和图②所示尚不完整的统计图.根据以上信息解答问题：#1 举一反三 10 （1）求的值及 的度数，并补全条形统计图； 【解】由题意得， ， 净重为的鸭梨共有 （箱）. .; 举一反三 11 补全统计图如图所示. 举一反三 12 （2）直接写出这 箱鸭梨的单箱净重的中位数与众数； 中位数为，众数为 . 举一反三 13 （3）计算这 箱鸭梨的单箱净重的平 均数，并估算该果园鸭梨总产量. ， 这箱鸭梨的单箱净重的平均数为 . 估计该果园鸭梨总产量为 . 返回 举一反三 14 典例分析 用样本估计总体的应用 例2 一个苹果园，共有2000 棵树龄相同的苹果树.为了估计今年苹果的总产量，任意选择了6棵苹果树，数出它们挂果的数量(单位:个)分别为: 260 340 280 420 360 380 根据往年的经验，平均每个苹果的质量约为250 g.试估计今年苹果园苹果的总产量. 解：6棵苹果树平均挂果的数量为 ×(260＋340＋280＋420＋360＋380)＝340(个). 0.25×340＝85(kg)，6棵苹果树平均每棵的产量约为85 kg. 由样本平均数估计总体平均数，2000棵苹果树平均每棵产量约为85 kg，总产量的估计值为85×2 000 ＝170000(kg). 类型2 用样本方差估计总体方差 3.某外贸公司要出口一批规 格为 的鸡腿，现有甲、 乙、丙3个厂家提供货源， 乙 它们的价格相同，鸡腿品质也很相近，如图是质检员分别从 3个厂家的产品中抽样调查的20只鸡腿的质量（单位： ）绘 制成的统计图.如果只考虑鸡腿的规格，那么外贸公司应该买 ____厂家的鸡腿（填“甲”或“乙”或 “丙”）. 举一反三 16 【点拨】从三个厂家的统计图 中可以看出：甲厂家鸡腿恰好 是 的只有2只，而乙厂家 和丙厂家都有4只；由题图中数据可得 , , ,从平均数可以看出三个厂家鸡腿的平均 质量相差不大，可得,, , 从方差可 以看出甲厂家和丙厂家的鸡腿质量的波动较大，乙厂家鸡腿 质量的波动较小.故应买乙厂家的鸡腿. 返回 举一反三 17 4.[张家口期中] 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知 识”测试（满分100分），已知七、八年级各有200人,现从两 个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩 （单位:分）进行 统计: 七年级86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 举一反三 18 整理如下: 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 84 90 44.4 八年级 84 87 36.6 根据以上信息,回答下列问题: （1）填空:____,____; 同学说:“这次测试我得了86分， 位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是____年级的学生; 85 87 七 举一反三 19 （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两 个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数; 【解】 （人）. 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约 为220人. 举一反三 20 （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平 较好?请给出一条理由． 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好.理由: 因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的 方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握国家 安全知识的总体水平较好. 返回 举一反三 21 2.当样本容量较大时，样本的统计量就会具有稳定性的规律. 3.比较常用的是用样本平均数估计总体平均数，用样本方差估计总体方差. 1.统计的核心思想是由样本推断总体.由于是样本的统计量去估计总体的统计量，为使结果准确，我们需要尽量使样本具有代表性. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $