精品解析：广东深圳市福田区莲花中学北校区2026-2027学年九年级上学期第一次数学学情自测（9月）

2026-2027学年度九年级九月 数学教学质量检测 说明： 1．本试卷共4页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将准考证号和选择题用2B铅笔涂黑． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如果°C表示零上10度，则零下8度表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“负数是与正数互为相反意义的量”即可得出答案． 【详解】解：因为°C表示零上10度， 所以零下8度表示“”． 故选B 【点睛】本题考查正负数的意义，属于基础题，解题的关键在于理解负数的意义． 2. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义即可得出结论． 【详解】解：选项A、D中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 选项B中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项C中的图形是中心对称图形，符合题意； 故选：C． 3. 我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星距离地面约36000千米．将36000用科学记数法表示应为（　　） A. 3.6×103 B. 3.6×104 C. 36×103 D. 0.36×105 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义来解答即可． 【详解】解：36000＝3.6×104． 故选：B． 【点睛】本题考查较大数的科学记数法，掌握科学记数法是指把一个大于10(或者小于1)的整数记为a×10n的形式(其中 1 ≤| a| ＜ 10)是解题关键． 4. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数，平均数，方差，中位数的定义分别判断，即可得到答案． 【详解】解：A、10出现2次，出现次数最多，故众数是10，该项正确； B、 ，故该项错误； C、方差为，故该项错误； D、中位数为10，故该项错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，正确理解各定义及计算公式是解题的关键． 5. “小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法逐项判定即可． 【详解】A. 由，故A选项符合题意； B. ，故B选项不符合题意； C. ，故C选项不符合题意； D.，故D选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：B． 【点睛】此题考查不等式组的解法，解题关键是将解集表示在数轴上时，有等号即为实心点，无等号则为空心点． 7. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程在实际问题中的应用，解题关键是根据 “数量差为3副” 这一等量关系，用含的代数式表示出两种球拍的购买数量，进而列出方程． 【详解】解：设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则W品牌每副球拍的单价为元，由等量关系如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副，列出方程： ． 8. 如图，O为正方形的对角线的中点，为等边三角形．若 ，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，利用勾股定理求出的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题．掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在正方形中：，， ∴， ∵O为正方形对角线的中点， ∴， ∵为等边三角形, O为的中点， ∴，，则、、在同一直线上， ∴, ∴， 则， 故选：D． 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】先提取原式中的公因式， 即． 又，符合平方差公式，可得 因此． 10. 平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长，再向上平移个单位长，得到点，若点位于第二象限，则的取值范围是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规律可得向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到，再根据第二象限内点的坐标符号可得． 【详解】解；点先向左平移个单位长，再向上平移个单位长得到点， 点位于第二象限， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 11. 如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】由黄金分割的定义可得，，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：∵线段，点与点均为线段的黄金分割点， ∴，， ∴． 12. 如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比. 【详解】∵两个相似三角形的面积比是， ∴这两个相似三角形的相似比是， ∴它们的周长比是. 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比、周长比与相似比之间的关系. 13. 如图，矩形中，点，点分别是，的中点，交对角线于点，交于点．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，中位线定理，相似三角形的判定与性质，连接，由点，点分别是，的中点，则是的中位线，，故有，，证明，，然后通过相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点，点分别是，的中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、绝对值、乘方、算术平方根，再计算加减即可得出结果． 【详解】解： ． 15. 解方程： （1）． （2） 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）对二次三项式因式分解，即可求解． （2）先将方程整理为一般形式，计算判别式后，利用求根公式求解． 【小问1详解】 解： 或， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴， 即，． 16. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为__________，图①中的值为__________，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1）50；34；8；8 （2） （3）150 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图数据可得a的值；用的人数除以a的值可得m的值；最后根据众数和中位数的概念求解即可； （2）根据条形统计图，利用加权平均数公式计算即可； （3）用样本估计总体，可知估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有人，计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； ，即； 出现次数最多，故众数是； 50个数据中，从小到大排列最中间的2个数据第25，26个数据，即8，8， 故中位数是； 【小问2详解】 解：， 答：这组数据的平均数是． 【小问3详解】 解：∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， ∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有（人）， ∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150人． 17. 如图，四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）如图所示即为所求： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由（1）得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． （1）若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 【答案】（1）销售量的每期平均增长率为 （2）每套灯笼的义卖价格应定为元 【解析】 【分析】（1）设销售量的每期平均增长率为x，根据第一期和第三期的销售关系，利用增长后的量增长前的量，列方程求解即可； （2）设每套灯笼的义卖价格为y元，根据利润售价成本销售量，结合条件列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设销售量的每期平均增长率为x， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：销售量的每期平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每套灯笼的义卖价格为y元， 根据题意，得 解得，（不符合题意，舍去） 答：每套灯笼的义卖价格应定为元． 19. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】（1）是 （2）0或3 （3）6，4 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． 【小问2详解】 解：， ∴， ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． 【小问3详解】 解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 20. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 【问题探究】 （1）如图①，已知的三个顶点均在正方形网格的格点上，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可） 【问题解决】 （2）如图②，在四边形中，，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”； 【拓展应用】 （3）如图③，已知是四边形的“相似对角线”，，连接，若的面积为，求的长． 【答案】（1）如图①所示，即为所求； （2）证明：，平分， ， ， ， ， ， ， ∴是四边形的“相似对角线”； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，利用方格纸的特点可找到D点的位置； （2）根据，平分，可得，由三角形内角和定理得到，又由得到，即可证明； （3）先判断出，得出，再求出，进一步即可求得的值． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵四边形是以为“相似对角线”的四边形， ①当时，， ∴， ∴， ∴， ②当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点E作于点Q，则， ∵是四边形的“相似对角线”， ∴与相似． ∵， ，， ∴， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级九月 数学教学质量检测 说明： 1．本试卷共4页，满分100分，考试用时90分钟． 2．答题前请将姓名、考号和班级写在答题卡相应的位置，并将准考证号和选择题用2B铅笔涂黑． 3．考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效． 4．答题卡必须保持清洁，不能折叠．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如果°C表示零上10度，则零下8度表示（ ） A. B. C. D. 2. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星距离地面约36000千米．将36000用科学记数法表示应为（　　） A. 3.6×103 B. 3.6×104 C. 36×103 D. 0.36×105 4. 学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为10，11，9，10，12，下列关于这组数据描述正确的是（ ） A. 众数为10 B. 平均数为10 C. 方差为2 D. 中位数为9 5. “小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是（ 　） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 为落实“每日一节体育课”的倡议，九年级一班拟购置一批羽毛球拍，预算总额设定为1200元．已知W品牌每副球拍的单价比Y品牌便宜20元，如果全部购买W品牌，可比全部购买Y品牌多买3副．设Y品牌每副羽毛球拍的单价为元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，O为正方形的对角线的中点，为等边三角形．若 ，则的长度为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：________． 10. 平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长，再向上平移个单位长，得到点，若点位于第二象限，则的取值范围是______ ． 11. 如图，线段，点与点均为线段的黄金分割点，则________ 12. 如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是___________ ． 13. 如图，矩形中，点，点分别是，的中点，交对角线于点，交于点．则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 解方程： （1）． （2） 16. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为__________，图①中的值为__________，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 17. 如图，四边形是平行四边形，． （1）请利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是菱形． 18. 中秋是我国传统佳节，赏月、挂灯笼是流传千年的中秋民俗．莲花中学学生会开展中秋公益义卖活动，制作中秋主题灯笼文创套装，义卖所得全部捐给乡村学校，用于添置阅读书籍．每套灯笼制作成本40元，义卖标价58元/套．9月份第一期义卖售出256套，第三期义卖售出400套． （1）若每期义卖销售量的平均增长率相同，求销售量的每期平均增长率； （2）为筹集更多公益资金，学生会调整义卖标价．经调研：每套灯笼价格每降低1元，义卖的总套数会在第三期销售量的基础上增加20套．若要使义卖总筹款利润（筹款扣除制作成本）达到4800元，则每套灯笼的义卖价格应定为多少元？ 19. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 20. 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” 【问题探究】 （1）如图①，已知的三个顶点均在正方形网格的格点上，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出1个即可） 【问题解决】 （2）如图②，在四边形中，，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”； 【拓展应用】 （3）如图③，已知是四边形的“相似对角线”，，连接，若的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $