精品解析：广东省深圳市福田区深圳中学梅香学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

深圳中学梅香学校九年级数学阶段检测卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（ ） A. 线段被点黄金分割 B. 点是线段的黄金分割点 C. 与的比等于黄金比 D. 与的比等于黄金比 6. 某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（ ） A. 每顶帐篷单价为x元 B. 降价后平均每天可出售顶 C. 每顶帐篷单价应降价x元 D. 降价后每顶帐篷利润为元 7. 如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8. 如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 10. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 11. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 12. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像，若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为________． 13. 如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为______． 三、解答题（共7小题） 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 15. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且 （1）求的值； （2）若△ABC的周长为60，求各边的长． 16. 甲、乙两陌生人同乘一趟高铁列车从唐山前往北京．如图，网上购票时，购票系 统向两人都推送了第2车厢第13排的座位，其中座位D 已有人预定，两人只能在A、B、C、F 四个座位选择一个座位，且这四种可能性均相同． （1）求甲选择A座位的概率； （2）用列表法或画树状图法求出甲、乙二人座位相邻的概率． 17. 在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 18. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件：①D是边的中点；②是的角平分线；③点E与点F关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求的长． 19. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解即的做法为例，分别展示． 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个长都是，宽都是的相同矩形，构造成图1形状的大正方形． 材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和2个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决 任务一 材料一中，大正方形面积可以表示为（_____）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于_____，故可得到方程（_____）______， 任务二 材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为（______）_____； 任务三 请通过以上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程方程． 你选择的是______构图法（填写①或②，①为赵爽构图法，②为阿尔•花拉子米构图法），在图中标注出相关线段的长；请在已经画好的图形上进行补充，并根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔•花拉子米构图法中已经画好了一个正方形，需要写出必要的推算过程） 20. 在矩形中，，E为边上一点， （1）如图1，若交于F，求证： （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，若G为边上一点，平分，且，求的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳中学梅香学校九年级数学阶段检测卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误； B、是一元一次方程，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误． 故选：C． 2. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 3. 如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为(　　) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解∶∵AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例定理可得 ，即， 解得：EF=6， 故选：C． 4. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 5. 如图，点把线段分成两条线段和，如果，那么下列说法错误的是（ ） A. 线段被点黄金分割 B. 点是线段的黄金分割点 C. 与的比等于黄金比 D. 与的比等于黄金比 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割、黄金比的定义解答. 【详解】解：∵， ∴线段被点C黄金分割，点C是的黄金分割点，与的比等于黄金比， ∴C不正确，A，B，D正确. 故选：C. 6. 某店销售一批户外帐篷，经调查，每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶；单价每降价10元，每天可多售出4顶．已知该店要想平均每天盈利12160元，可列方程为，则下列表述正确的是（ ） A. 每顶帐篷单价为x元 B. 降价后平均每天可出售顶 C. 每顶帐篷单价应降价x元 D. 降价后每顶帐篷利润为元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据所列方程，找出未知数x的含义是解题的关键．利用总利润=每顶帐篷的销售利润×日销售量，可找出及的意义，进而可找出x的意义，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：∵每顶帐篷利润为200元时，平均每天可售出60顶，单价每降价10元，每天可多售出4顶， ∴所列方程中表示每顶帐篷的利润，表示平均每天售出帐篷的数量， ∴x表示每顶帐篷单价降低的钱数． 故选：C． 7. 如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，矩形的判定，三角形的中位线定理等，根据题意作出图形是解题的关键； 利用三角形的中位线定理推出，，，，进一步可证四边形是平行四边形，再利用平行线的性质和推出，可证平行四边形是矩形． 【详解】如图，在四边形中，，则， E，G分别为，的中点， 是的中位线， ， 同理得，，，， ，， ， 同理可求， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 故选：B． 8. 如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得：，，从而可得，，分别根据相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了比例的性质，由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，然后代入已知值并计算． 【详解】解：因为 ，且 ， 所以 ． 故答案为：． 10. 已知一元二次方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合要求的m数值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程根的判别式的应用． 利用关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：，列出不等式求解集即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴， 解得：， ∴符合题意； 故答案为：（答案不唯一）． 11. 某校篮球队进行篮球训练，某队员投篮的统计结果如下表，根据表中数据可知该队员一次投篮命中的概率大约是_____．（精确到0.01） 投篮次数（单位：次） 10 50 100 150 200 500 1000 2000 命中次数（单位：次） 9 40 70 108 143 361 721 1440 命 中 率 0.90 0.80 0.70 0.72 0.715 0.722 0.721 0.72 【答案】0.72 【解析】 【分析】利用频率估计概率时，要进行大量试验，实验次数越多，用频率估计概率就越精确． 【详解】解：根据上表可知该队员一次投篮命中的概率大约是0.72， 故答案为：0.72． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12. 小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布前形成倒立的实像，若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离，分别为、，则实像的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，证明，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴实像的高度为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明． 13. 如图，点是四边形对角线、的交点，与互补，，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定；先作，即可求出，再根据相似三角形的对应边成比例得，进而得，然后说明，再结合可得答案. 【详解】解：过点O作交于点M， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 三、解答题（共7小题） 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），根据直接开平方法求解即可； 对于（2），根据公式法求解； 对于（3），根据因式分解法求解. 【小问1详解】 解：， 开方，得， ∴或， ∴； 【小问2详解】 解：， 由. ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 整理，得， 因式分解，得， ∴或， ∴. 15. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且 （1）求的值； （2）若△ABC的周长为60，求各边的长． 【答案】（1）；（2）20，16，24 【解析】 【分析】（1）利用已知中的比例式，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案； （2）根据△ABC的周长为60得，，用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案． 【详解】（1）设，则，，， ； （2）∵△ABC的周长为60， ， ， 解得：， ，，， ∴三角形的各边的长分别为20，16，24． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 16. 甲、乙两陌生人同乘一趟高铁列车从唐山前往北京．如图，网上购票时，购票系 统向两人都推送了第2车厢第13排的座位，其中座位D 已有人预定，两人只能在A、B、C、F 四个座位选择一个座位，且这四种可能性均相同． （1）求甲选择A座位的概率； （2）用列表法或画树状图法求出甲、乙二人座位相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙二人座位相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：两人只能在、、、四个座位选择一个座位， 甲选择座位的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙二人座位相邻的结果有4种，即、、、， 甲、乙二人座位相邻的概率． 17. 在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长米，养鸡场的面积是平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去米，在板材上有两处各开了一扇宽为米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽为多少米？ 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）设这个增长率为，根据养鸡场今年养鸡只，预估后年养鸡只，列出一元二次方程，解之取其正值即可； （）设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米，根据养鸡场的面积是平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设这个增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：这个增长率为； 【小问2详解】 设重建后的养鸡场的宽为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，的长为：（米），不合题意； 当时，的长为：（米）米； ∴米， 答：重建后的养鸡场的宽为米． 18. 如图，已知中，D是边上一点，过点D分别作交于点E，作交于点F，连接． （1）下列条件：①D是边的中点；②是的角平分线；③点E与点F关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是菱形，且，求的长． 【答案】（1） 解：选择条件②： 是的角平分线， ， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ∴平行四边形是菱形； 选择条件③： ， ∴四边形是平行四边形， ∵点E与点F关于直线对称， ， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证四边形是平行四边形，，再由条件②证，或由条件③证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，再证，得，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质以及轴对称的性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 19. 项目式学习主题：一元二次方程的几何解法 项目背景 某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．下面分别以解即的做法为例，分别展示． 材料一 赵爽发现结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个长都是，宽都是的相同矩形，构造成图1形状的大正方形． 材料二 阿尔•花拉子米采用的方法是用一个边长为的正方形和2个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个如图3的大正方形． 问题解决 任务一 材料一中，大正方形面积可以表示为（_____）（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于_____，故可得到方程（_____）______， 任务二 材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程化为（______）_____； 任务三 请通过以上述其中一种构造图形的方法来解一元二次方程方程． 你选择的是______构图法（填写①或②，①为赵爽构图法，②为阿尔•花拉子米构图法），在图中标注出相关线段的长；请在已经画好的图形上进行补充，并根据所画图形，求出方程的一个正数解．（注：①赵爽构图法中已经画好了一个矩形，②阿尔•花拉子米构图法中已经画好了一个正方形，需要写出必要的推算过程） 【答案】任务一：，， 任务二： 任务三：选择①， 赵爽构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是55的矩形，用4个相同的矩形构造如下图的大正方形， 解得（舍）. 则正数解是5； 选择②， 阿尔花粒子构图法：解一元二次方程，即， 可以看成是一个长为，宽为x，面积是55的矩形，剪去两个相邻的长，宽都分别3和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，如下图： ， 解得（舍）， 则正数解是5． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于任务一，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积列出方程； 对于任务二，大正方形的面积等于2个长方形的面积加上两个正方形的面积列出方程； 对于任务三，根据以上两个任务解答，再求出解. 【详解】解：任务一：材料一中，大正方形可以表示为；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得到方程； 故答案为：，，； 任务二：材料二中，通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程为； 故答案为：； 任务三：略 20. 在矩形中，，E为边上一点， （1）如图1，若交于F，求证： （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，若G为边上一点，平分，且，求的长 【答案】（1） 证明：矩形， ， ， ， ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用两角对应相等的两个三角形相似推理即可； （2）作于E，交于M，作于N，则有，设，，然后推导，利用相似三角形的性质得到，然后计算解题； （3）作于H，交于F，则，，结合（1）的结论得到，求出长，利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作于E，交于M，作于N， ， ， ∵， ， ，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴，， 解得， ， ， 【小问3详解】 作于H，交于F， 平分，且， ，， ∵，， ∴， ， ， 由（1）可知， ，， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，能作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $