精品解析：　广东深圳市龙华区深圳外国语学校龙华学校2026-2027学年九年级上学期数学九月启航调研

2026-2027年第一学期九年级数学九月启航调研 一、选择题：本大题共8小题，共24分． 1. 小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（　　） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分． 【详解】因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有一个共同的性质，这条性质是对角线互相平分． 故选A． 【点睛】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质．用到的知识点：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角． 2. 我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，连接、，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，根据菱形，对角线是角平分线且，互相垂直平分和的值即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，平分， ∵， ∴， 故选D． 3. 下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘积的值进行判断． 根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可． 【详解】解：由题可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：，，，， 可得：，， ， 选项的4条线段是成比例线段； 根据题意可得：，， ， 选项的4条线段不是成比例线段； 故选：． 4. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题关键． 5. 已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 6. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得且． 7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 8. 如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到时最短，勾股定理求出的长，等积法求出的最小值，进行判断即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点P为斜边上一动点， ∴当时最短， 由勾股定理，得：， 当时，则：，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长不可能为． 二、填空题：本大题共5小题，共15分． 9. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，，代入即可求得的值． 【详解】解：由题意，设，， ． 10. 若方程的两个根是和，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再对所求式子进行变形代入计算． 先根据一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根之和与两根之积，然后将所求式子变形为，最后代入计算． 【详解】解：由题意可得：， ， 将代入上式，得到： ． 故答案为：． 11. 如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再利用等面积法列式运算即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，矩形中，，根据尺规作图痕迹，计算的大小为_______． 【答案】##58度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，由矩形的性质可得，求出，再由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由作图可得，平分， ∴， 由作图可得，直线垂直平分线段， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 【答案】． 【解析】 【分析】由图可得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小，根据正方形的性质及勾股定理即可求得结果． 【详解】解：由题意得当点E与点E重合时，即AE＝DF时线段DH长度最小． 所以线段DH长度的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大． 三、计算题：本大题共5小题，共18分． 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可. 【小问1详解】 解：原方程变形为， 两边开平方，得 ，． 【小问2详解】 解：原方程变形为，即． 两边开平方，得． ，． 【小问3详解】 解：， ∴，，． ∴， ， 即，． 【小问4详解】 解：原方程变形为， 因式分解得， 即， 或． ，． 15. 已知，，是的三边长，且． （1）的值为__________． （2）若的周长为90，求各边的长． 【答案】（1） （2），，． 【解析】 【分析】（1）利用连等比例关系得到各边之间比值，转化为同分母分式合并计算； （2）依据比例分配，用周长除以份数总和得到每份对应长度，再分别求出三边． 【小问1详解】 解：， ，， ，， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ，，． 四、解答题：本大题共5小题，共43分． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识﹒ （1）计算出，据此即可证明一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，代入，得到，即可求出﹒ 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵一元二次方程两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴﹒ 17. 如图，在中，，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积； （3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1） 证明：∵，D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）； （3） 如图所示，射线就是所求的射线 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定与性质． （1）先根据斜边上的中线性质得到，则可证明，然后根据菱形的定义可判断四边形为菱形； （2）先利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，再根据三角形面积公式计算出，则利用D是的中点得到，接着根据菱形的性质得到，然后计算即可； （3）过D点作的垂线即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 略 18. 根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆，售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 （1）任务1：根据素材，求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）任务2：根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为万元 【解析】 【分析】（1）设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为,根据某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，月份的销售量达到万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆，根据使平均每周的销售利润为万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为, 根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设下调后每辆汽车的售价为万元．则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意得： ， 解得：，， 此次销售尽量让利于顾客， ， 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 19. 我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则________，________； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 20. 操作与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）如图1，若点P落在矩形的边上，当点E与点B重合时， ； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在上，点F在上时． ①求证：四边形为菱形； ②当时，求菱形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点F与点D重合，点E在上，射线与射线交于点M．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①证明：如图， 由折叠可知，，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴四边形为菱形； ②菱形边长为； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到等角，进而求解； （2）①由折叠知，，由平行线的性质可知，于是，进而推出，得证四边形为菱形； ②设，，勾股定理求得，得菱形边长为； （3）如图中，连接．可证，于是，设，则，中，运用勾股定理，，解得，． 【详解】解：（１）如图，当点E与点B重合时， ； 故答案为：； （2）①略 ②时，设，则 则， 解得， ∴ 所以菱形边长为； （3）如图中，连接． ∵，，， ∴， ∴，设，则， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添设辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年第一学期九年级数学九月启航调研 一、选择题：本大题共8小题，共24分． 1. 小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（　　） A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 平分一组对角 2. 我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，连接、，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 下列各组线段，能成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为（ ） A. B. C. D. 5. 已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. 且 D. 7. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（ ） A. 5 B. C. D. 6 二、填空题：本大题共5小题，共15分． 9. 已知，则_________． 10. 若方程的两个根是和，则的值为___________． 11. 如图，菱形中，，，直线交两对边于点，，则的长为____ 12. 如图，矩形中，，根据尺规作图痕迹，计算的大小为_______． 13. 如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是__________． 三、计算题：本大题共5小题，共18分． 14. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 已知，，是的三边长，且． （1）的值为__________． （2）若的周长为90，求各边的长． 四、解答题：本大题共5小题，共43分． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 17. 如图，在中，，是的中点，，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积； （3）利用圆规和无刻度直尺在图中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 18. 根据以下素材，完成下列任务． 背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． 素材 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆，售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 （1）任务1：根据素材，求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）任务2：根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 19. 我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则________，________； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 20. 操作与实践 在矩形中，，，现将纸片折叠，点A的对应点记为点P，折痕为（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． 【初步思考】 （1）如图1，若点P落在矩形的边上，当点E与点B重合时， ； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在上，点F在上时． ①求证：四边形为菱形； ②当时，求菱形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，若点F与点D重合，点E在上，射线与射线交于点M．在折叠过程中，是否存在使得线段与线段的长度相等的情况？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $