课时作业22椭圆的简单几何性质-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课时作业22椭圆的简单几何性质 一、选择题 1.“”是“直线与椭圆有公共点”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的倍，则的值为（ ） A. B. C. D. 3.已知点在椭圆上，为平面上一点，为坐标原点，则当取最小值时，椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4.如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆，恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点.若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5.设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ） A. B. C. D. 6.以为焦点，且与直线有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 7.(多选题)已知椭圆的离心率，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8.(多选题)如图所示，假设卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则有（ ） A. B. C. D. 二、填空题 9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心为坐标原点，是一个焦点，是一个顶点，若椭圆的长轴长是，且，则椭圆的标准方程为________. 10.已知点是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是________. 11.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________. 12.如图所示，已知椭圆方程为，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形为平行四边形，且，则椭圆的离心率为________. 三、解答题 13.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长与短轴长的和为，焦距为； (2)过点，离心率. 14.已知是椭圆的两个焦点，过点且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是等边三角形，求该椭圆的离心率. 15.已知椭圆过点，为其左顶点，且直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆上任意一点，求面积的最大值. 参考答案 1.A 解析:由，得直线过点.又点在椭圆的内部，故由，知直线与椭圆有公共点，而直线与椭圆有公共点，不止一种情况，所以“”是“直线与椭圆有公共点”的充分不必要条件. 2.B 3.D 解析:由点在椭圆上，可得.因为为平面上一点，则， 所以，当且仅当时取等号，此时. 4.A 5.D 解析:由题可知，两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径.设，由，可得.圆心到椭圆上点的距离，因为，所以当时，，所以两点间的最大距离是. 6.C 解析:设椭圆的方程为，根据题意，可得，则，所以，所以椭圆的离心率为，因为直线与椭圆有公共点，联立方程组整理得. 由，整理得，解得或(舍去)，所以的最小值为，此时离心率取得最大值，离心率，所以椭圆的方程为. 7.AC 解析:当焦点在轴上时，由椭圆方程，可知，则，而，解得. 当焦点在轴上时，由椭圆方程，可知，则，而，解得.故选AC. 8.BC 解析:对于A，由图可知，则，所以A错误. 对于B，由椭圆几何性质可知，即，所以B正确. 对于C，由B可知，，所以.两边同时平方可得，展开得，移项，变形，可得，根据椭圆的性质，可知，，所以，因为，所以，两边同时除以，可得，所以C正确. 对于D，由C可知，D错误.故选BC. 9.或 解析:因为椭圆的长轴长是，，所以点不是长轴的端点，而是短轴的端点，所以，所以，所以，. 所以椭圆的标准方程为或. 10. 解析:设点，则，，所以，所以. 因为点在椭圆上，所以，所以当时，取最小值，最小值为. 11. 解析:因为是圆的一条切线，所以椭圆的右焦点，即. 设点，则，因为，所以，则直线的方程为，它与轴的交点为，所以，故椭圆的方程为. 12. 解析:设椭圆的右顶点为，根据对称性可知，那么.又根据椭圆的对称性可知，点关于轴对称，. 设点的横坐标是，代入椭圆方程得，解得，即.因为，所以，即，可得，即，即. 13.解:(1)设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，由题意可知解得因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为或. (2)当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，由题意，得，因为，所以，从而，所以椭圆的标准方程为. 当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，由题意，得，因为，把代入，得，所以椭圆的标准方程为.综上所述，所求椭圆的标准方程为或. 14.解:(方法一)如图， 不妨设椭圆的焦点在轴上，因为，且为等边三角形，所以在中，.令，则，所以.由椭圆的定义，可知，所以. （方法二）由题意可知，，.在等边三角形中，，所以，所以，即.两边同除以，并整理得.又，解得. 15.解:(1)由题意可知直线的方程为，即.当时，解得，所以. 由椭圆过点，可得，解得，所以椭圆的方程为. (2)如图， 设与直线平行的直线方程为，当直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值. 将代入椭圆方程，化简可得， 所以，即， 解得. 与距离比较远的直线方程为， 利用平行线之间的距离公式得， . 所以面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $