3.1.2 椭圆的简单几何性质(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 1.已知椭圆的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线与直线交于点M，设直线，的斜率分别为，，则的值为( ) A. B. C. D. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线l与C交于A，B两点，若，的面积为，且，则C的离心率为( ) A. B. C. D. 3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P，A，B都在椭圆E上，若，，且，则椭圆E的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点M为E上一点，点关于平分线的对称点N在E上，若，则E的离心率为( ) A. B. C. D. 5.已知E为平行四边形ABCD的边CD的中点，以B，E为焦点的椭圆过点A，D，且，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 6.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为其短轴长的2倍，若该椭圆经过圆的一条直径的两个端点，则该椭圆的标准方程为( ) A. B. C. D. 7.（多选）平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的四个顶点都在椭圆上，则以下结论正确的是( ) A.若点A的坐标为，则菱形ABCD的面积为 B.菱形ABCD的周长可能是10 C.是定值 D.当菱形ABCD的周长取得最大值时，面积也取得最大值 8.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于P，Q两点，则( ) A.若，则 B.若l过右焦点，且，，则椭圆C的离心率为 C.若l过右焦点，且，，则椭圆C的离心率为 D.若，，且椭圆上存在一点B，使得，则 9.若点在椭圆上，则称点为点M的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，，则m的值为___________. 10.已知O是原点，椭圆，直线l过点且与椭圆交于A，B两点，则面积的最大值为__________. 11.已知椭圆的左、右焦点分别为，P是椭圆C上一点（不在坐标轴上），Q是的平分线与x轴的交点，若，则椭圆离心率的取值范围是______. 12.法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为. （1）求椭圆C的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线l与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）； （3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值. 答案以及解析 1.答案：C 解析：因为椭圆C的两个顶点在直线上，所以，，所以椭圆方程为，所以，.设过点P的切线l的方程为，，由，消去y得.因为直线l与椭圆C相切，所以，所以.易得，所以，所以，又，所以，所以.设，因为M在切线上，所以，所以，所以，故选C. 2.答案：D 解析：由椭圆的对称性知，，且四边形是平行四边形.令，则，由椭圆的定义知，即，故，所以，.易知的面积为，解得，又，所以，故.在中，由余弦定理得，即，整理得，所以C的离心率，故选D. 3.答案：B 解析：由题意可设，，，直线，直线. 由可得，则，同理可得.由，可得，，故，解得，故，故E的离心率的取值范围为. 4.答案：C 解析：由题意可作示意图，如图，连接，，设交的平分线于P， 则由椭圆的定义可知. 因为平分，所以，所以. 易知点N，，M三点共线，，，所以，所以. 在中，， 则，得，. 在中，由余弦定理可得， 即，化简可得， 所以其离心率.故选C. 5.答案：D 解析：因为E为平行四边形ABCD的边CD的中点，所以， 所以，所以. 连接AE，由椭圆的定义可知，，. 如图，设，则，故，在中，.在中，. 在平行四边形ABCD中，，所以， 所以，则，整理得，所以椭圆的离心率为，故选D. 6.答案：C 解析：方法一：设椭圆的标准方程为，由题意知，圆M的圆心为，设该椭圆经过圆M的直径AB的两个端点，，，显然直线AB的斜率存在，设直线，即，与椭圆方程联立，得，则，由，得，解得.则，所以，解得，所以该椭圆的标准方程为.故选C. 方法二：设椭圆的标准方程为，由题意知，圆M的圆心为，半径为，设该椭圆经过圆M的直径AB的两个端点，，，则M为直径AB的中点，则，，由题知，由两式作差，得，即，所以，将，，代入，得，则直线AB的方程为，与椭圆方程联立，得，所以，，所以，解得，所以该椭圆的标准方程为.故选C. 方法三：设椭圆的标准方程为，由题意知，圆M的圆心为，设该椭圆经过圆M的直径AB的两个端点，，，由两式作差得，，即，所以.因为，所以.以下同方法二. 7.答案：ACD 解析：思路分析：由题知菱形的中心为原点，对于A，根据椭圆对称性及菱形对角线互相垂直平分，可得点B坐标进而求菱形面积；对于B，C，D选项，先讨论菱形ABCD的顶点是椭圆的四个顶点的情况，再讨论一般情况，由菱形的性质设出两条对角线所在直线方程，与椭圆方程联立，进而化简、求解. 因为菱形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆关于原点对称，所以菱形的中心为原点.对于A，由于点在直线上，所以点B在直线上，结合椭圆的对称性，可知点或，所以，所以菱形ABCD的面积为，A正确. 对于B，当菱形ABCD的顶点是椭圆的四个顶点时，，菱形的周长为；当菱形ABCD的顶点不是椭圆的四个顶点时，不妨设AC所在直线的方程为，则BD所在直线的方程为，由，所以，，所以，同理，用代换k，得，所以，令，则，则，因为，所以，即，菱形的周长为.综上，菱形的周长的取值范围为，由于，故菱形ABCD的周长不可能是10，B错误. 对于C，由B得为定值，C正确. 对于D，由B的分析知，当菱形ABCD的周长取得最大值时，菱形ABCD的顶点为椭圆的顶点，此时菱形的面积，又菱形的面积，所以，由，得，因为，，所以，即.综上，，所以当菱形ABCD的周长取得最大值时，面积也取得最大值，D正确. 8.答案：ABD 解析：若，即，，则，故A正确. 设，则，因为，所以，由椭圆的定义知，解得.又，即点Q为短轴端点，故在中，.在中，，解得，故B正确. 设，则，，.在中，，解得，在中，，则，故C错误. 设，，则，.因为点P，Q，B均在椭圆C上，所以，，.因为，所以，所以.联立所以，显然，所以，，所以，解得，故D正确.故选ABD. 9.答案： 解析：设，，则，，由得，，即，，，，，解得（满足），的值为.故答案为. 10.答案： 解析：由题意可知，直线l与椭圆必相交，且斜率不为0， 设直线，，，联立消去x得，因为直线l所过定点在椭圆内部，所以直线l与椭圆必有两交点， 则，， 可得， 则面积， 令，则， 可得，因为在上单调递增，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为. 11.答案： 解析：若在O同侧，由，得，，因为PQ是的平分线，所以，则，则，得，由，得，又，所以；若在O异侧，由，得，，因为PQ是的平分线，所以，则，则，得，由，得，又，所以.综上，椭圆离心率的取值范围是. 12.答案：（1） （2）2 （3） 解析：（1）由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为，得， 由椭圆过点，得， 解得，于是， 所以椭圆C的蒙日圆方程为. （2）由（1）知，椭圆C的方程为， 设直线l的方程为，由消去y并整理得，，由，得，即，则坐标原点O到直线的距离，，所以的面积. （3）由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为， 设，则， 设，，则，， 如图，当切线PA的斜率存在时，设PA的方程为， 由消去y得， ， 整理得， 即， 则，解得， 于是，即， 当切线PA的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式， 因此切线PA的方程为，同理切线PB的方程为， 将代入切线PA，PB的方程，有，， 从而直线AB的方程为， 当时，由消去y并整理得， 显然，， ，， 则， 又点到直线AB的距离， 于是的面积， 设， 则，， 令，，求导得， 即函数在上单调递增，， 当，即时，由对称性不妨令，直线， 由解得，， ，， 所以面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $