17.3.2勾股定理的应用（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册17.3.2勾股定理的应用专项练习（1212字） 本节课核心知识点： 勾股定理：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，则$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$。 勾股定理常用来解决现实生活与几何中的长度计算问题，常见模型： 1. **梯子下滑模型**：梯子长度不变（斜边不变），墙与地面垂直构成直角三角形，梯子底端移动距离用两次勾股定理求解。 2. **折叠模型**：折叠前后对应边相等、对应角相等，常在直角三角形中设未知数，利用勾股定理列方程求解线段长度（方程思想）。 3. **航海/方位模型**：南北方向与东西方向互相垂直，构造直角三角形，求两点之间直线距离。 4. **最短路径（立体展开）**：圆柱、长方体表面最短路径，将立体图形侧面展开成平面长方形，两点之间线段最短，再用勾股定理算距离。 5. **芦苇水池模型**：经典古代数学问题，构建直角三角形，设水深为未知数，利用勾股定理列方程。 解题通用步骤： ① 读懂题意，找到直角； ② 标出已知线段，设未知线段长为$x$； ③ 在直角三角形中根据勾股定理列出方程； ④ 解方程，舍去负数解； ⑤ 写出答案。 本节考点：梯子问题、折叠求边长、立体图形最短路径、方位距离计算；勾股定理方程思想的运用；实际问题转化为直角三角形模型。 高频易错点： ① 立体图形求最短路径，忘记展开侧面，直接用空间线段计算； ② 折叠问题找错相等线段； ③ 设未知数后，斜边表达式写错； ④ 实际问题不判断直角，直接套用勾股定理； ⑤ 结果单位遗漏。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一架梯子长10m，底端离墙6m，则梯子顶端距离地面高度为（） A.5m B.6m C.8m D.9m 2. 圆柱侧面展开是长方形，求圆柱表面两点最短路线，依据是（） A.垂线段最短 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.勾股定理 3. 直角三角形纸片折叠，使顶点落在对边上，折叠前后一定相等的是（） A.角度，边 B.只有角度 C.只有边 D.周长 4. 一艘船先向东航行8km，再向北航行6km，则船距离出发点直线距离为（） A.10km B.12km C.14km D.16km 5. 矩形纸片折叠问题，求线段长度最常用的方法是（） A.等边对等角 B.勾股定理列方程 C.等角对等边 D.三线合一 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 解决立体图形表面最短路径问题，需要把立体图形________为平面图形。 7. 梯子下滑问题中，梯子的长度始终是直角三角形的________。 8. 折叠变换前后，对应线段长度________。 9. 勾股定理应用于实际问题，前提是图形中存在________三角形。 10. 求线段未知长度时，可以设未知数，利用勾股定理建立________求解。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 一架长25m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距离墙7m，求梯子顶端离地高度。 12. 有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，水池中央有一根芦苇，高出水面1尺。把芦苇拉向岸边，顶端刚好碰到岸边水面。求水深。 13. 一个圆柱，底面周长为12cm，高8cm。一只蚂蚁从圆柱底面一点，沿侧面爬到上底面正对的点，求蚂蚁爬行最短路径长。 14. 辨析题：小红说：“求长方体表面上两点之间最短距离，直接连接空间两点，用勾股定理计算空间线段长度就可以。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.C；$\sqrt{10^2-6^2}=8$。 2.B；先展开平面，依据两点之间线段最短，再用勾股定理算长度。 3.A；折叠属于轴对称变换，对应边、对应角相等。 4.A；东西与南北垂直，$\sqrt{8^2+6^2}=10$。 5.B；折叠题大多未知数藏在直角三角形内，依靠勾股定理列方程求解。 **填空题** 6.展开；7.斜边；8.相等；9.直角；10.方程。 **解答题** 11.解： 墙与地面互相垂直，构成直角三角形，梯子为斜边。 设梯子顶端离地高$h$ m。 由勾股定理：$h^2+7^2=25^2$ $h^2=625-49=576$，$\(h=24\)$。 答：梯子顶端离地高度24m。 12.解： 设水深$x$尺，则芦苇长$\((x+1)\)$尺，水池中心到岸边水平距离5尺。 由勾股定理：$x^2+5^2=\((x+1)\)^2$ $x^2+25=x^2+2x+1$，解得$\(x=12\)$。 答：水深12尺。 13.解： 将圆柱侧面展开为长方形，长=底面周长12cm，宽=高8cm。 两点在展开图中水平距离为底面周长一半6cm，竖直距离8cm。 最短路径$=\sqrt{6^2+8^2}=10\mathrm{cm}$。 答：最短路径长10cm。 14.解：小红说法错误。 蚂蚁只能沿着立体**表面爬行**，不能穿透几何体内部。所以不能直接算空间内两点连线。 正确做法：把立体表面展开成平面图形，依据两点之间线段最短，在平面内用勾股定理计算。 ## 本节小结 口诀：实际问题转模型，找到直角最重要；折叠设元列方程，立体展开求最短。 做题思路：看到梯子、芦苇、折叠、蚂蚁爬行，优先考虑勾股定理应用题；折叠题重点找相等线段，设未知数；立体最短路径一定要展开。 高频丢分：立体不展开；找错直角边；解方程时计算失误；忘记舍去负根。 下一节：**17.4 直角三角形全等的判定**专项练习，同样1212字吗？ 也可以给本节课堂教学设计。 > 备注：冀教版课本17.3分为勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用；17.4是直角三角形全等判定（HL，前面17.2简单提过，本节会深入证明+大题训练）。 要不要我继续写17.4直角三角形全等的判定？ 冀教版（新教材）数学八年级上册 17.3.2勾股定理的应用 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 特殊三角形 学习目标 典例●精析 例1 如图，为了测得湖边上点A和点C间的距离，一观测者在点B处设立了一根标杆，使∠ACB=90°，并测得AB=200m，BC=160m.根据测量结果，求点A和点C之间的距离. 实际问题 转化 数学问题 直角三角形 利用 勾股定理 构建 解决 构建直角三角形 AB=200m BC=160m AC=?m 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来 典例●精析 解:在△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AC²+BC²=AB²(勾股定理) ∵AB=200 m，BC=160 m， ∴AC ===120(m). 答:点A和点C间的距离是120m. 新知●探究 做一做 图17.3-6是某厂房屋顶的三角架的示意图.已知AB=AC=17 m， AD⊥BC，垂足为D，AD=8m，求BC的长. ∟ A B C D 等腰三角形 三线合一 求BC 求BD Rt△ABD 分析： AB=17m AD=8m AD⊥BC 新知●探究 解：在Rt△ABD中， ∵AB=17 m，AD=8 m， ∴BD2=AB2-AD2=172-82=225， ∴BD=15 m， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴BC=2BD=30 m. ∟ A B C D 典例●精析 例2 如图17.3-7，在长为50mm、宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示，求孔中心A和B间的距离 C A B 26 15 18 10 实际问题 转化 数学问题 直角三角形 利用 勾股定理 构建 解决 构建直角三角形ABC 典例●精析 解:∵△ABC是直角三角形， ∴AB²=AC²+BC². ∵AC=50-15-26=9(mm)， BC=40-18-10=12(mm)， ∴AB===15(mm). 答:孔中心A和B间的距离是15mm. C A B 26 15 18 10 知识点1 传统数学文化中的应用 （第1题） 1. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引 葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数 学史上的“葭生池中”问题.如图, ， ，，则 ( ) C A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 举一反三 8 （第2题） 2. “赵爽弦图”源于我国古代著作 《勾股圆方图注》，如图①，连 接四条线段得到如图②的新的图 案.若图①中的直角三角形的较长 直角边长为4，斜边长为 ，则 图②中阴影部分的面积为____. 12 举一反三 9 知识点2 实际生活中的应用 （第3题） 3. [连云港中考] 如图，长为 的梯子 靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离 为，则梯子顶端的高度为____ . 2.4 举一反三 10 4. 如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点 旋转到 的位置，已知的长为 .若栏杆的旋转角 ，则栏杆端升高的高度为_____ . （第4题） 举一反三 11 新知●探究 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 1、在解决实际问题时， 首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型， 再运用勾股定理解决实际问题。 总结归纳 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 基础巩固题 新知●应用 1 .如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 B 构建直角三角形 5. 如图，某人到岛上去探宝，从 处登 陆后先往东走，又往北走 ， 遇到障碍后又往西走 ，再继续向 北走 ,然后往东一拐，仅走 就找到了宝藏，则登陆点 与宝 藏埋藏点之间的距离是____ . 6.5 举一反三 14 （第6题） 6. 如图，有一个三级台阶，它的 每一级的长，宽，高分别为 ，，，和 是这 个三级台阶上两个相对的端点， 点处有一只蚂蚁，想到点 处去 吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点 的最短路程为____ . 30 举一反三 15 （第7题） 7. 如图是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水 杯，水杯底面直径为，高度为 ，吸 管长为 （底端在杯子底上），露在水杯外 面的吸管长度为，则 的最小值为____. 12 举一反三 16 8. 爱护森林人人有责， 如图是某森林小队为该地区森林鸟类 安装的木屋示意图，木屋为轴对称图 形，木屋的相关数据如图所示，求屋 顶到地面 的距离. 举一反三 17 【解】 木屋为轴对称图形， 是等 腰三角形.过点作，垂足为 , 则 . 由题意得 ， . ， . 屋顶到地面 的距离为 . 举一反三 18 （第9题） 9. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”. 现在我们来看一茅屋的屋顶剖面图， 如图，它呈等腰三角形，如果屋檐 ，横梁 ，那 么从横梁上的任意一点 要支一根 C A. B. C. D. 木头顶住屋顶 处，这根木头的长度可能是( ) 举一反三 19 （第10题） 10. 如图，一架梯子 斜靠在左墙时，梯子 顶端距地面，保持梯子底端 不动， 将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距地面 ， 梯子底端到右墙脚的距离比到左墙脚 的 距离多，则梯子的长度为____ . 2.5 举一反三 20 课堂●小结 应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 1、在解决实际问题时， 首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型， 再运用勾股定理解决实际问题。 谢谢观看 THANKS $