17.2 直角三角形（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册17.2 直角三角形专项练习（1212字） 本节课核心知识点： ## 一、直角三角形的性质 1. **定义**：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。直角三角形两个锐角互余。 几何语言：$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ \Rightarrow \boldsymbol{\angle A+\angle B=90^\circ}$。 2. **直角三角形斜边中线定理**：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 几何语言：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$D$是$AB$中点，则$\boldsymbol{CD=\dfrac12AB}$。 3. **含30°角的直角三角形性质**：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ \Rightarrow BC=\dfrac12AB$。 ## 二、直角三角形的判定 1. 定义判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2. 两角互余判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：$\triangle ABC$中，$\angle A+\angle B=90^\circ \Rightarrow \angle C=90^\circ$，$\triangle ABC$是直角三角形。 ## 三、直角三角形全等判定（HL） 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为**HL**。 > 注意：HL**只适用于直角三角形**；普通三角形不能用。 > 普通全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS）直角三角形同样可以使用。 本节考点：利用两锐角互余求角度；斜边中线性质求线段长；30°直角三角形边长计算；直角三角形判定；HL证明直角三角形全等。 高频易错点： ① 斜边中线定理，**必须是直角三角形+斜边中线**，普通三角形不成立； ② 30°角对应的是**对边直角边等于斜边一半**，不是邻边； ③ HL只能用于直角三角形，书写证明时要先写明两个三角形是直角三角形； ④ 混淆：HL是“斜边+一条直角边”，不是两条直角边；两条直角边相等用SAS。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=35^\circ$，则$\angle B$的度数是（） A.$35^\circ$ B.$55^\circ$ C.$65^\circ$ D.$90^\circ$ 2. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，斜边$\(AB=8\)$，$D$是斜边$AB$中点，则$CD$长为（） A.$2$ B.$4$ C.$6$ D.$8$ 3. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=30^\circ$，斜边$\(AB=10\)$，则$BC$长为（） A.$5$ B.$10$ C.$20$ D.$\(2.5\)$ 4. 下列条件，不能判定一个三角形是直角三角形的是（） A.有一个内角是90° B.两个内角互余 C.三个内角之比为$\(1:2:3\)$ D.三个内角之比为$\(2:3:4\)$ 5. 关于HL判定，说法正确的是（） A.任意两个三角形，斜边和一条边相等就全等 B.仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等则全等 C.两条直角边对应相等，可用HL证明全等 D.HL不属于三角形全等判定方法 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 直角三角形的两个锐角________。 7. 直角三角形斜边的中线等于________的一半。 8. 在直角三角形中，30°角所对的________等于斜边的一半。 9. HL是________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 10. 在三角形中，如果两个角互余，那么这个三角形是________三角形。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 已知：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\angle B=42^\circ$，求$\angle A$的度数。 12. 已知：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，点$D$是斜边$AB$中点，$\(AB=12\)$，求线段$CD$的长。 13. 已知：如图，$\text{Rt}\triangle ABC$和$\text{Rt}\triangle BAD$，$\angle C=\angle D=90^\circ$，$\(AC=BD\)$。求证：$\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD$。 14. 辨析题：小丽说：“只要两个三角形的斜边和一条直角边相等，就可以用HL证明它们全等。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；直角三角形两锐角互余，$\angle B=90^\circ-35^\circ=55^\circ$。 2.B；斜边中线等于斜边一半，$CD=\dfrac12AB=4$。 3.A；30°角对直角边$BC=\dfrac12AB=5$。 4.D；$\(2:3:4\)$，最大角小于90°，是锐角三角形。 5.B；HL只用于直角三角形，斜边+一条直角边对应相等。 **填空题** 6.互余；7.斜边；8.直角边；9.斜边；10.直角。 **解答题** 11.解： $\because \angle C=90^\circ$，直角三角形两锐角互余， $\therefore \angle A=90^\circ-\angle B=90^\circ-42^\circ=48^\circ$。 答：$\angle A=48^\circ$。 12.解： $\because \triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$，$D$是斜边$AB$中点 $\therefore CD=\dfrac12AB$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。 $\because \(AB=12\)$，$\therefore \(CD=6\)$。 答：$\(CD=6\)$。 13.证明： $\because \angle C=\angle D=90^\circ$，$\therefore\triangle ABC$与$\triangle BAD$都是直角三角形。 在$\text{Rt}\triangle ABC$和$\text{Rt}\triangle BAD$中 $\begin{cases}AB=BA(\text{公共斜边})\\\(AC=BD\)\end{cases}$ $\therefore \text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD(\text{HL})$。 14.解：小丽说法错误。 HL判定条件：**两个直角三角形**，斜边与一条直角边**对应相等**。 如果两个不是直角三角形，即使有一条最长边和一条边相等，也不能用HL；同时必须强调“对应相等”。 ## 本节小结 口诀：直角三角形，两锐角互余；斜边中线，等于斜边半；三十度对边，斜边一半长；直角证全等，HL上场。 要点： 性质：用来求角度、线段长度； 判定：证三角形有直角； HL：直角三角形专属全等判定，证明前先标注直角。 高频丢分：忽略斜边中线定理适用前提；30°角找错对边；使用HL时不说明是直角三角形。 下一节：**17.3 勾股定理**专项练习，同样1212字吗？ 也可以提供本节课堂教学设计。 冀教版（新教材）数学八年级上册 17.2 直角三角形 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 特殊三角形 学习目标 新知●探究 在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=? 直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和等于180°，所以∠A+∠B+∠C=180°。 而∠C=90°，所以∠A+∠B=90° 由此，你得出什么结论？ 一起探究 新知●探究 (1)“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么? (2)该逆命题是真命题吗? (1)逆命题：“有两个角互余的三角形是直角三角形”. 真命题 证明 已知：如图，在△ABC中，∠A+∠B=90°, 求证：△ABC是直角三角形。 证明：在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°, 所以∠C=90°. 因此，△ABC是直角三角形. 由此，你得出什么结论？ 直角三角形的判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形 一起探究 B A C (1) A C E F B B A C E F (3) (2) 新知●探究 观察与思考 在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°，如图(1)； 将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF，沿BE画出虚线CE， 如图(2)；将纸展开，如图(3) . 新知●探究 (3)由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE +∠ECF=∠ACB，你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗?线段AE与线段CE呢?你从中得出了什么结论?请将你的结论与大家交流一下. B A C (1) A C B B A C E F (3) (1) ∠ECF与∠B有怎样的数量关系?线段EC与线段EB有怎样的数量关系? ∠ECF=∠B EC=EB E F (2)折痕EF所在直线与线段BC有怎样的位置关系? EF⊥BC ∠ACE=∠A AE=CE 新知●探究 已知:如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的中线. 求证:CD=AB 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证明:延长CD到点E，使DE =DC，连接 EA. 在△ADE 与△BDC中， AD=BD(已知)，∠ADE=∠BDC(对顶角相等)，DE=DC. ∴△ADE≌△BDC(SAS). ∴ AE=BC(全等三角形的对应边相等)，∠EAD=∠B(全等三角形的对应角相等). A C B D E 新知●探究 ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠B=90°(直角三角形的两个锐角互余). ∴ ∠CAB+∠EAD=90°(等量代换)， 即∠EAC=90°. ∴∠EAC=∠BCA. 在△CEA 与△ABC 中， EA=BC，∠EAC=∠BCA，AC=CA. ∴△CEA≌△ABC (SAS). ∴CE=AB(全等三角形的对应边相等). 又∵ CD=CE, ∴CD=AB(等量代换). A C B D E 知识点1 直角三角形的两锐角互余 （第1题） 1. 如图， 为直角三角形， ,,则与 互余的角 有( ) C A. B. C. 和 D. 举一反三 8 2. 如图，在中， , , 于点，则 的度数为____. （第2题） 举一反三 9 3. 图①为中国古代一种强弩图，图②为这种 强弩图的部分组件的示意图，若矩， 欘，则 _____度.宣矩，1欘宣，1矩 22.5 （第3题） 举一反三 10 新知●探究 总结归纳 直角三角形的性质定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 在Rt△ABC中 ∵CD是斜边AB上的中线 ∴CD＝AD＝BD＝AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） A B C D 新知●探究 做一做 证明:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 已知： Rt△ABC中，∠ACB=90 ° ，∠A=30°， 求证：BC= AB. B A C 证明： 作斜边上的中线CD， 则CD=AD=BD= AB ∵ ∠A=30°, ∴ ∠B=60° ∴ △CDB是等边三角形， ∴ BC=BD= AB. D 新知●探究 总结归纳 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. ∵　在Rt△ABC 中， 　　∠C =90°，∠A =30°，　　 ∴　BC = AB．　　 几何语言： C A B 30° 知识点2 两锐角互余的三角形是直角三角形 4. 下列条件：①；② ；③ ；④.其中能确定 是直 角三角形的条件有( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 举一反三 14 知识点3 直角三角形斜边上的中线的性质 （第5题） 5. [沧州期末] 一技术人员用刻度尺 （单位： ）测量某三角形部件的 尺寸.如图所示，已知 ， 点为边的中点，点， 对应的 刻度为1，7，则 ( ) B A. B. C. D. 举一反三 15 （第6题） 6. [秦皇岛期中] 如图，一根木杆 斜靠在 竖直的墙上， ，木杆的顶端 沿墙面下滑至 位置，此时 ，，分别是斜边 ， 上的中线，则 ____. 举一反三 16 【点拨】，分别是斜边， 上 的中线，， ， ， . ， . 求与直角三角形有关的角的度数的 方法： （第6题） 举一反三 1.利用直角三角形的两锐角互余求角的度数. 2.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分 割成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性 质求角的度数. 3.利用“在直角三角形中，若一直角边等于斜 边的一半，则该直角边所对的角为 ”求角 的度数. 4.利用三角形内角和定理求角的度数. 5.利用三角形外角的性质求角的度数. （第6题） 举一反三 知识点4 含 角的直角三角形的性质 （第7题） 7. 如图，是等边三角形，为 的中 点，，垂足为.若，则 的边长为( ) C A. 40 B. 30 C. 20 D. 10 举一反三 19 （第7题） 【点拨】 为等边三角形， .， ， ，又 ， 为 的中点， ， 等边三角形 的边长 为20.故选C. 举一反三 20 8. 如图，已知 ，点在边 上， ，点，在边上，.若，则 的长是___. 3 （第8题） 举一反三 21 （第9题） 9. 如图，在中， ， ，点，分别在边， 上，连接，将沿折叠，点 恰 好落在边上的点处.若 ， ，则 ( ) D A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 举一反三 22 （第10题） 10. 如图，在 中， ，为 边上一动点，连 接，为中点， ，垂足 为，连接，，延长交于 . 设 ，则( ) B A. B. C. D. 举一反三 23 课堂●小结 直角三角形 性质定理 判定定理 如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形 直角三角形的两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 谢谢观看 THANKS $