17.4 直角三角形全等的判定 课件 2026-2027学年冀教版 数学八年级上册

该初中数学课件核心内容为直角三角形全等的“HL”判定定理，通过回顾SSS及勾股定理，以“斜边和直角边相等时第三边是否相等”的问题导入，搭建从一般三角形到直角三角形全等判定的学习支架。 其亮点在于以数学思维（推理能力）和数学眼光（几何直观）为核心，通过严谨证明、尺规作图（例1作直角三角形）及角平分线逆定理证明（例2）等实例，采用讲练结合的教学方法，小结清晰梳理知识。助力学生发展推理与应用意识，为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

17.4 直角三角形全等的判定 我们已经知道，三边分别相等的两个三角形全等. 根据勾股定理，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，其第三边一定相等吗？ 这两个直角三角形全等吗？ 其第三边一定相等 已知，如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB = A′B′ ，AC= A′C′.  求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠C=∠C′=90°， ∴BC2=AB2－AC2， B′C′2=A′B′2－A′C′2. ∵AB=A′B′，AC=A′C′， ∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). B C A B′ C′ A′ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 这个定理可以简记为“斜边、直角边”或“HL”. 直角三角形全等的判定定理 A B C A′ B′ C′ 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中， AB=A′B′， BC=B′C′， ∴Rt△ABC ≌ Rt△A′B′C′ (HL). 在使用“HL”时应注意什么? (1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法. (2)注意对应相等. 因为“HL”仅适用直角三角形，书写格式应为“在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中”. 一定要注意直角三角形不是只能用“HL”证明全等，但“HL”只能用于证明直角三角形的全等. 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的是( ) A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3 B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40° C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3 D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40° B A C B' A' C' B 分析：首先作出边BC，由∠C为直角可以作出另一直角边所在的射线，由AB=c可以确定点A. 例1 已知，如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. a c 作法： (1)作线段CB=a. (2)过点C，作MC⊥CB. (3)以B为圆心，c为半径画弧，交CM于点A. (4)连接AB. 则△ABC即为所求. B C M A 例1 已知，如图，线段a，c. 求作：△ABC，使∠C=90°，BC=a，AB=c. a c 例2 已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C， D，且PC=PD. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 分析： 点P在∠AOB的平分线上 OP平分∠AOB ∠COP=∠DOP Rt△OPC≌Rt△OPD A B C D O P 证明：如图，作射线OP. ∵PC⊥OA， PD⊥OB， ∴∠PCO=∠PDO=90°. 在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中， PC=PD(已知)， OP=OP(公共边)， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD( HL). 例2 已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C， D，且PC=PD. 求证：点P在∠AOB的平分线上. A B C D O P ∴∠POA=∠POB. ∴OP是∠AOB的平分线， 即点P在∠AOB的平分线上. 角平分线性质定理的逆定理的证明 1.如图，∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，以下给出的条件适合的是( ) A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD A 2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，DE=DC，若AC=6，则AD+DE等于( ) A.7 B.6 C.5 D.4 A C B D E A H B 4.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且OB=OC，有下列结论， ①∠1=∠2； ②△ADO≌△AEO； ③△BOD≌△COE； ④图中有四组三角形全等. 其中正确的个数有______个. 4 5.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE. 求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD， BC=CB . ∴Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 本节课学习了哪些知识？ 1.判定直角三角形全等的判定定理：HL. 2.尺规作图，已知一直角边和斜边作直角三角形. 3.角平分线性质定理的逆定理的证明. $