用勾股定理解决最短路径问题 专项突破 习题课件 2025—2026学年冀教版(2024)数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理解决最短路径问题，涵盖平面（三角形、正方形）和几何体（台阶、圆柱、长方体）两类题型。课堂导入可从蚂蚁爬行、水泵站选址等生活实例切入，通过三角形BP最小值等基础例题搭建平面认知，再过渡到几何体展开，形成从易到难的学习支架。 其亮点在于以几何直观和空间观念为核心，通过对称点法（如水泵站对称点A'）、几何体展开（圆柱葛藤问题展开侧面）等实例，结合古代数学题激发兴趣。方法归纳“展开-连线-构造直角三角形”培养模型意识，助力学生提升问题转化能力，教师可直接使用系统例题与方法指导，提高教学效率。

专项突破　用勾股定理解决最短路径问题  　平面上的最短路径问题 1.如图,在△ABC中,有一点P在线段AC上移动,若AB=AC=10, BC=12,则BP长的最小值为( ) A.10　　　    B.12　　　    C.9.6　　　    D.8  　          C     解析　过A点作AD⊥BC,垂足为D(图略), 因为AB=AC,BC=12,所以BD=CD=6. 在Rt△ABD中,AD2=AB2-BD2=102-62=64, 所以AD=8.当BP⊥AC时,BP最短(△ABC是锐角三角形,BP⊥ AC时P点在边AC上), 由S△ABC= BC·AD= AC·BP,得BP= =9.6.故选C. 2.如图,要在河边l上修建一个水泵站,分别向A村和B村送水,已 知A村、B村到河边的距离分别为2 km和7 km,且A,B两村庄相 距13 km,则铺设水管的最短长度是__________km.     15     解析    如图,作点A关于河边l的对称点A',连接A'B交l于点P,点 P为水泵站的位置,此时所铺设的水管最短.连接AP,过B点作l 的垂线,过A'点作l的平行线,两线交于点C,AA'和BC分别与河 边l交于点M,N,过A点作AE⊥BC于点E,则四边形AA'CE和四边 形AMNE是长方形,∴EN=AM=2 km,EC=AA'=2+2=4(km),A'C= AE,在Rt△ABE中,BE=BN-EN=7-2=5(km),AB=13 km,根据勾股 定理可得AE2=AB2-BE2=132-52=122,所以AE=12 km,在Rt△BA'C 中,BC=BE+EC=5+4=9(km),A'C=AE=12 km,根据勾股定理可 得A'B2=A'C2+BC2=122+92=152,所以A'B=15 km,因为PA=PA', 所以PA+PB=A'P+BP=A'B=15 km.故答案为15. 3.如图,在正方形ABCD中,AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC 上有一点P,使EP+BP的值最小,求EP+BP的最小值. 解析　如图,连接ED与AC交于点P,连接BP,此时EP+BP的值 最小.   易知B,D两点关于直线AC对称, ∴BP=PD,∴EP+BP=EP+PD=ED. 在Rt△ADE中,AE=3,AD=AB=1+3=4, 由勾股定理得ED2=32+42=25=52, ∴ED=5,∴EP+BP的最小值为5.  　几何体上的最短路径问题 4.(2024河南许昌月考)如图,学校实验楼前有一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为24 dm,3 dm,3 dm,点M和点N是这个台阶上两个相对的端点,M点有一只蚂蚁,想到N点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程为 ( ) A.10 dm　　　    B.20 dm　　　    C.30 dm　　　    D.36 dm     C 解析　将台阶面展开,连接MN,如图所示,因为每一级台阶的 长、宽、高分别为24 dm,3 dm,3 dm,所以MN2=242+(3×6)2= 900=302,所以MN=30 dm,故蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短 路程是30 dm.故选C. 方法归纳 求立体图形上不在同一平面内的两点间的最短距离,先把立 体图形展开成平面图形,再确定两点的位置并连线,最后构造 直角三角形,利用勾股定理解决问题. 5.(2025陕西咸阳兴平期中)我国古代有这样一道数学问题: “枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五 周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看 成一个圆柱体,一丈是十尺,该圆柱的高为20尺,底面周长为3 尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处 (点B在点A正上方),则葛藤的最短长度是 ( ) A.15尺　　　    B.20尺 C.25尺　　　    D.30尺     C     解析　圆柱的侧面展开图如图所示,葛藤自点A处缠绕而上到 达点B处的最短路线长为5倍的AC的长,易知CD= ×20=4(尺), AD=3尺,则AC2=AD2+CD2=32+42=25=52,所以AC=5尺,所以葛藤 的最短长度是5×5=25(尺).故选C.   6.(2023四川广安中考)如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm,底面周长为16 cm,在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在杯外壁上,它在离杯上沿1 cm,且与蜂蜜相对的点B处,则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为_____cm. (杯壁厚度不计) 10 解析　如图,将玻璃杯侧面展开(展开图的一半),作B关于直线 EF的对称点B',作B'D⊥AE,交AE的延长线于点D,连接AB'.   由题意得DE= BB'=1 cm,AE=9-4=5(cm), ∴AD=AE+DE=6 cm,∵玻璃杯底面周长为16 cm, ∴B'D= ×16=8(cm), 在Rt△AB'D中,有AB'2=AD2+B'D2=100,∴AB'=10 cm. 由两点之间线段最短可知,蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的 最短路程为AB'=10 cm.故答案为10. 7.如图,长方体盒子的棱长分别为AB=BC=6 cm,AA1=14 cm,假 设昆虫甲从顶点C1开始以1 cm/s的速度在盒子的外部沿棱 C1C向下爬行,同时昆虫乙从顶点A开始以相同的速度在盒外的 侧面上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫 甲? 解析    将长方体盒子的前侧面和右侧面展开如图,昆虫甲从 顶点C1沿C1C向顶点C爬行的同时,昆虫乙从顶点A按路径A→ E→F爬行,两者在点F处相遇,所用时间最短.设昆虫乙捕捉到 昆虫甲需x s. 在Rt△ACF中,AB=BC=6 cm,CC1=14 cm,AF=1·x=x cm,C1F=1·x =x cm,所以CF=(14-x)cm,AC=12 cm, 由勾股定理得AF2=AC2+CF2,即x2=122+(14-x)2,解得x= . 所以昆虫乙至少需要  s才能捕捉到昆虫甲.   END THANKS 感谢您的观看 $$