17.3.3勾股定理的逆定理 课件 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册17.3.3勾股定理的逆定理专项练习（1212字） 本节课核心知识点： ## 1. 勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长$(a,b,c)$满足$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$，那么这个三角形是直角三角形。 > > 说明：$c$为最长边。 > 几何语言：在$\triangle ABC$中，若$a^2+b^2=c^2$，则$\angle C=90^\circ$，$\triangle ABC$为直角三角形。 勾股定理：直角三角形$\Rightarrow$边长关系$a^2+b^2=c^2$（性质） 勾股定理逆定理：边长关系$a^2+b^2=c^2$$\Rightarrow$直角三角形（判定） ## 2. 勾股数 满足$a^2+b^2=c^2$的三个**正整数**，叫做勾股数。 常见勾股数：$(3,4,5)$；$(5,12,13)$；$(6,8,10)$；$(7,24,25)$；$(8,15,17)$。 性质：一组勾股数同时乘同一个正整数，仍然是勾股数。 ## 3. 解题步骤（判断三角形是不是直角三角形） ① 找出三边，确定**最长边**； ② 计算较短两边平方之和； ③ 计算最长边的平方； ④ 比较两者是否相等：相等就是直角三角形；不相等则不是。 本节考点：利用逆定理判定直角三角形；识别勾股数；结合实际判断垂直；综合勾股定理与逆定理解决几何大题。 高频易错点： ① 不找最长边，随便拿两条边平方相加去对比； ② 勾股数必须是正整数，小数、分数不算勾股数； ③ 混淆勾股定理和逆定理：勾股定理已知直角求边长；逆定理已知边长判断直角； ④ 若$a^2+b^2>c^2$，锐角三角形；若$a^2+b^2<c^2$，钝角三角形。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列长度的三条线段，可以组成直角三角形的是（） A.$(2,3,4)$ B.$(3,4,5)$ C.$(4,5,6)$ D.$(5,6,7)$ 2. 下面各组数，属于勾股数的是（） A.$2,3,\sqrt{13}$ B.$(1.5,2,2.5)$ C.$(6,8,10)$ D.$(4,6,9)$ 3. 三角形三边为$(5,12,13)$，则这个三角形最长边上的角为（） A.$30^\circ$ B.$60^\circ$ C.$90^\circ$ D.$120^\circ$ 4. 三角形三边长$(4,5,6)$，判断三角形类型（） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 5. 关于勾股定理及其逆定理说法正确的是（） A.若$a^2+b^2=c^2$，则三角形一定是直角三角形，$c$为最长边 B.勾股数可以是小数 C.勾股逆定理可以用来求直角三角形边长 D.只要三边满足$a^2+b^2=c^2$，最长边对角是锐角 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 如果三角形三边长$(a,b,c)$满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是____三角形。 7. 勾股数必须是三个________。 8. 用逆定理判断直角三角形，要先找到三边中的________边。 9. 三边$(7,24,25)$，最长边对应的角是________度。 10. 勾股定理用来求边长；勾股定理的逆定理用来________直角三角形。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 判断：三边长分别为$(6,8,10)$的三角形是不是直角三角形。 12. 一个三角形三边为$(5,12,13)$，求证这个三角形是直角三角形，并指出哪个角是直角。 13. 一块四边形土地，$(AB=3)$，$(BC=4)$，$\angle B=90^\circ$，$(CD=12)$，$(AD=13)$。求证：$\triangle ACD$是直角三角形。 14. 辨析题：小敏说：“只要三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$，就一定是直角三角形，其中$a$一定是最长边。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.B；$3^2+4^2=5^2$，符合逆定理。 2.C；(6,8,10)都是正整数，满足平方关系。其余含有小数、无理数，不是勾股数。 3.C；$5^2+12^2=13^2$，最长边13所对的角是90°。 4.B；最长边6，$4^2+5^2=41>6^2=36$，锐角三角形。 5.A；勾股逆定理，$c$必须是最长边。 **填空题** 6.直角；7.正整数；8.最长；9.$90$；10.判定。 **解答题** 11.解： 最长边是10。 $\because 6^2+8^2=36+64=100$，$10^2=100$， $\therefore 6^2+8^2=10^2$。 $\therefore$三边长为(6,8,10)的三角形是直角三角形。 12.证明： 最长边为13。 $\because 5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$， $\therefore 5^2+12^2=13^2$。 $\therefore$这个三角形是直角三角形，边长13所对的角为直角。 13.证明： 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle B=90^\circ$，$(AB=3),(BC=4)$。 由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=3^2+4^2=25$，$\therefore AC=5$。 在$\triangle ACD$中，$AC=5,(CD=12),(AD=13)$。 $AC^2+CD^2=25+144=169$，$AD^2=169$。 $\therefore AC^2+CD^2=AD^2$。 由勾股定理逆定理可知：$\triangle ACD$是直角三角形。 14.解：小敏说法错误。 由勾股定理逆定理：$a^2+b^2=c^2$，**$c$才是最长边**，$c$所对的角为直角。 题目错误认为$a$是最长边。 ## 本节小结 口诀：已知三边判直角，先找最长那条边；短边平方加一起，对比长边平方值；相等就是直角形，不等再分锐钝角。 区分：勾股定理：直角$\rightarrow$边长；逆定理：边长$\rightarrow$直角。 高频丢分：不找最长边直接代入；勾股数误把小数当成；证明题把定理写反。 勾股定理+逆定理经常组合出四边形面积大题，期末考试高频。 下一节：**17.4 直角三角形全等的判定**专项练习，同样1212字吗？ 也可以给本节课堂教学设计。 冀教版（新教材）数学八年级上册 17.3.3勾股定理的逆定理 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 特殊三角形 学习目标 新知●探究 一起探究 如果△ABC的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么∠C是直角吗? 已知:如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且a²+b²=c². 求证:∠C=90°. ∠C是直角　　　 由边的关系a2+b2=c2，推导出∠C为直角很难做到 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 分析：　　　 A' B' C' a b A B C a b c 新知●探究 证明:如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，C'A'=b. 由勾股定理，可得A'B'²=a²+b². ∵ a²+b²=c²， ∴A'B'²=c² ∴ A'B'=c. 在△ABC 和△A'B'C'中， BC=B'C'=a，AC=A'C'=b，AB=A'B'=c， ∴△ABC≌△A'B'C' ∴∠C=∠C'=90°. A' B' C' a b A B C a b c 知识点1 勾股定理的逆定理 1. [石家庄桥西区期中] 下列条件中，不能判断 是直角 三角形的是( ) D A. B. C. D. 举一反三 4 2. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第 三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是 ( ) C A. B. C. D. 举一反三 5 3. 已知在中，， ， ，当___时， . 4 举一反三 6 新知●探究 总结归纳 A B C a b c 符号语言 在△ABC中 勾股定理的逆定理 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 典例●精析 例3 图17.3-9是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标.现测得AB=4 cm，BC=3cm，CD=12 cm，AD=13 cm，∠ABC=90°.根据这些条件，能否知道∠ACD=90°? A B D C 4 3 12 13 分析：　　　 AB=4 cm，BC=3cm，∠ABC=90° 根据勾股定理求得AC=5cm 已知CD=12 cm，AD=13 cm 根据勾股定理的逆定理， 可得，∠ACD=90° 典例●精析 解:在△ABC中，∠ABC=90°， ∴AC²=AB²+BC²(勾股定理). AB=4，BC=3， ∴AC²=3²+4²=5² ∴AC=5. 在△ACD 中，AC=5，CD=12，AD=13，. ∴AC²+CD²=5²+12²=169， AD²=13²=169.: ∴AC²+CD²=AD². ∴∠ACD=90°(勾股定理的逆定理). A B D C 基础巩固题 新知●应用 1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且 (a＋b)(a－b)＝c2，则(　　) A．∠A为直角 　　　　B．∠B为直角 C．∠C为直角 　　　　D．△ABC不是直角三角形 A 2.以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是(　　) A.3,4,6 B.9,12,15 C.5,12,14 D.10,16,25 B 判断一个三角形是不是直角三角形， 1.从边的角度：只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方 2.从角的角度：看有没有一个角是直角或两个角互余。 4. 如图，在方格中作以 为一边的 ，要求点 也在格点上，这样的 能作出___个. 6 举一反三 11 【点拨】 当 是斜边时，则第三个顶点所在的位置有 ,，，四个；当是直角边， 是直 角顶点时， 第三个顶点是；当是直角边， 是直角顶点时，第三个 顶点是 .因而共有6个满足条件的顶点. 举一反三 12 5. [邯郸期中] 如图，在四边形 中， ，，， . （1）求 的度数； 举一反三 13 【解】如图，连接 . ， ， ， . 又， ， ， . . 举一反三 14 （2）求四边形 的面积. 四边形的面积的面积 的面积 . 举一反三 15 解题支架 举一反三 16 知识点2 勾股定理逆定理的应用 6. 某日早晨9：00甲渔船以12海里/时的速 度离开港口向东北方向航行， 乙 渔船以10海里/时的速度离开港口沿 方向航行（如图）.上午11：00两渔船相 距26海里，则乙渔船航行的方向是 _____ _____. 东南 方向 举一反三 17 （第7题） 7. 如图，在一条东西走向河流的一侧有 一村庄，河边原有两个取水点， ， 道路 因为施工需要封闭，该村为方便 村民取水，决定在河边新建一个取水点 ，，在同一条直线上 ，并新修 0.5 一条道路.已知，， ， 新的取水点与原取水点相距，则新建后 比原 来少走____ . 举一反三 18 8. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图， 测得支架， ，两轮中心的距离 ，则点到的距离为_ __ . （第8题） 举一反三 19 （第8题） 【点拨】 过点作于点 . , , , . 的面积 . ,即点到的距离为 . 举一反三 20 （第9题） 9. 如图，在四边形中， ， ， ， ， ，则这个图形的面积为( ) A A. 96 B. 78 C. 108 D. 120 举一反三 21 课堂●小结 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 勾股定理逆定理的应用 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 建模思想，即将实际问题转化为数学问题 谢谢观看 THANKS $