17.5 反证法（课件）--2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册17.5 反证法专项练习（1212字） 本节课核心知识点： ## 一、反证法定义 反证法是一种间接证明的方法。先假设命题的**结论不成立**，然后从这个假设出发，经过推导得出与已知条件、公理、定理、定义相矛盾的结果，由此说明假设错误，从而证明原命题的结论成立。 ## 二、反证法证明三步骤 1. **反设**：假设命题结论不成立（写出结论的反面）； 2. **归谬**：从假设出发推理，推出矛盾； 3. **结论**：矛盾说明假设错误，原命题正确。 ## 三、常见词语的否定（考试高频） - 是 $\leftrightarrow$ 不是 - 等于 $\leftrightarrow$ 不等于 - 大于 $\leftrightarrow$ 不大于（小于或等于） - 小于 $\leftrightarrow$ 不小于（大于或等于） - 至少有一个 $\leftrightarrow$ 一个也没有 - 至多有一个 $\leftrightarrow$ 至少有两个 - 都是 $\leftrightarrow$ 不都是 ## 四、什么时候适合用反证法 1. 命题带有“至少、至多、唯一、不可能”等字眼； 2. 直接证明比较困难； 3. 证明否定型命题。 本节考点：写出命题结论的反面；判断反证法第一步假设；用反证法简单几何证明；识别反证法推理中的矛盾。 高频易错点： ① 反设错误，不会写结论的反面，例如“至少一个”反面写成“至多一个”； ② 推理时不从假设出发，而是直接用原命题条件证明； ③ 分不清矛盾类型：矛盾可以是和已知条件、定义、公理、定理冲突； ④ 反证法不是举反例，举反例用来推翻命题，反证法是证明命题成立。 ## 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 用反证法证明“在同一个三角形中，至少有两个锐角”，第一步假设是（） A. 三角形中没有锐角 B. 三角形中至多有两个锐角 C. 三角形中至多有一个锐角 D. 三角形中有三个锐角 2. 用反证法证明“若$(a>b)$，则$a^2>b^2$”不适合，反证法第一步假设结论不成立是（） A.$(a<b)$ B.$a^2\le b^2$ C.$(a=b)$ D.$a^2<b^2$ 3. 命题“三角形的内角中最多有一个直角”，结论的反面是（） A.没有直角 B.有两个直角 C.至少有两个直角 D.三个都是直角 4. 下列说法关于反证法正确的是（） A.反证法是直接证明 B.反证法第一步是否定已知条件 C.反证法推出矛盾，说明假设错误 D.反证法和举反例一样 5. 用反证法证明“在一个三角形中，不能有两个钝角”，第一步假设（） A.三角形中有一个钝角 B.三角形中有两个钝角 C.三角形没有钝角 D.三角形有三个钝角 ## 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 反证法第一步：假设命题的________不成立。 7. “至少有一个”的反面是“________”。 8. “至多一个”的反面是“________”。 9. 反证法在推理后，推出________，说明假设不成立。 10. 反证法属于________证明方法（直接/间接）。 ## 三、解答题（每题15分，共60分） 11. 用反证法证明：在一个三角形中，不可能有两个直角。 12. 用反证法证明：同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。 13. 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角。 14. 辨析题：小明说：“反证法就是举一个反例，只要找到一个反例就可以证明原命题是对的。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.C；“至少两个锐角”反面：至多一个锐角。 2.B；$a^2>b^2$反面：$a^2\le b^2$。 3.C；“最多一个直角”反面：至少两个直角。 4.C；A错，间接证明；B错，否定结论不是条件；D错，二者完全不同。 5.B；原命题“不能有两个钝角”，反面：有两个钝角。 **填空题** 6.结论；7.一个也没有；8.至少有两个；9.矛盾；10.间接。 **解答题** 11.证明： 假设$\triangle ABC$中有两个直角，不妨设$\angle A=90^\circ$，$\angle B=90^\circ$。 $\therefore \angle A+\angle B=180^\circ$。 $\because \angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$， $\therefore \angle C=0^\circ$，这与三角形内角是大于0°的角矛盾。 $\therefore$假设不成立。 即在一个三角形中，不可能有两个直角。 12.证明： 假设这两条直线不平行，则它们相交。 设两条直线$(a,b)$都垂直直线$c$，$(a,b)$交于一点$P$。 过点$P$有两条直线同时垂直于直线$c$，与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。 $\therefore$假设不成立，原命题成立，两条直线平行。 13.证明： 假设等腰三角形底角不是锐角，则底角是直角或钝角。 等腰三角形两个底角相等。 若底角为直角，则两底角之和$=180^\circ$，三角形内角和超过180°； 若底角为钝角，两底角之和大于180°，同样和三角形内角和定理矛盾。 $\therefore$假设不成立。等腰三角形底角一定是锐角。 14.解：小明说法错误。 举反例：找到一个例子，让命题条件成立、结论不成立，用来**推翻命题**，证明命题是假命题。 反证法：先假设结论错误，推导得出矛盾，**证明原命题是真命题**。二者目的、原理完全不一样。 ## 本节小结 口诀：反证法分三步走，先把结论反面构； 顺着假设推矛盾，假设错误原命题就够； 关键词反面记牢：至少变全无，至多变两个。 做题要点：反设只否定结论，不动已知条件；看清关键词写反面；最后一定要写“假设不成立，原命题成立”。 高频丢分：反面写错；把反设写成否定条件；混淆反证法和举反例。 第17章结束，下一章：**18.1平方根**专项练习，同样1212字吗？ 也可以给本节配套课堂教学设计。 冀教版（新教材）数学八年级上册 17.5 反证法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 特殊三角形 学习目标 新知●探究 一起探究 我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.那么怎样证明它呢? 已知:如图，△ABC. 求证:在△ABC中，如果它含有直角，那么它只能有一个直角. C A B 这道题你能不能直接从条件出发证明？ 若当直接从条件出发证明一个命题比较困难时，有什么其他更好的办法来证明呢？ 我们可以先假设命题不成立 再从这个假设出发进行证明 新知●探究 证明:假设△ABC中有两个(或三个)直角，不妨设∠A=∠B=90°. ∴∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C >180°. 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 因此，三角形有两个(或三个)直角的假设是不成立的. 所以，如果三角形中含有直角，那么它只能有一个直角. C A B 第一步，假设原来命题结论不正确； 从这个假设和其他已知条件出发，经过推论论证，得出矛盾的结果. 由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 新知●探究 总结归纳 反证法的概念： 先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的定义、基本事实、定理、推理、已知条件相矛盾的结果.因此，假设是错误的，原结论是正确的. 这种证明命题的方法叫做反证法 知识点 反证法 1. [石家庄新华区期中] 用反证法证明命题“三角形中必有一 个内角小于或等于 ”时，首先应假设这个三角形中( ) C A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 举一反三 5 2. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相 平行”，用反证法证明时，最终推出与之矛盾的是( ) B A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D. 垂直的定义 举一反三 6 3. 如图，在中，，点为 内一点，连 接,,，.求证： .用反证法证明 时应先假设_________. 举一反三 7 新知●探究 反证法的步骤： 总结归纳 第一步，假设命题的结论不成立. 第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过 推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的 定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 例1 用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 已知:如图，直线AB//CD，直线EF分别与直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角.求证:∠1=∠2. 1 2 F C G E D B A H 典例●精析 (1)假设命题不成立; (2)导出矛盾; (3)肯定结论. ★反证法基本步骤： 典例●精析 假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN =∠1. ∵∠EGN=∠1，∴ MN∥CD(基本事实). 又∵AB∥CD(已知)， ∴过点G，有两条不同的直线AB和MN都与直 线CD平行. 这与“经过已知直线外一点，有且 只有一条直线和已知直线平行”相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此，∠1=∠2. 证明： 1 2 F C G E D B A H M N 假设命题结论不成立. 推理论证，得出矛盾. 假设不成立，原命题结论成立. 典例●精析 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 已知:如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°AB=A'B',AC=A'C'. 求证:△ABC≌△A'B'C'. A B C A' B' C' (1)假设命题不成立; (2)导出矛盾; (3)肯定结论. ★反证法基本步骤： 典例●精析 证明:假设△ABC与△A'B'C'不全等，即BC≠B'C'，不妨设BC< B'C'.在B'C'上截取C'D=CB，连接 A'D. 在△ABC和△A'DC'中， AC=A'C'，∠C=∠C',CB=C'D, ∴△ABC ≌△A'DC'(SAS). ∴.AB=A'D(全等三角形的对应边相等) .:AB=A'B'(已知)， ∴A'B'=A'D(等量代换). ∴∠B'=∠A'DB'(等边对等角). ∴∠A'DB'<90°(三角形的内角和定理)， 即 ∠C'<∠A'DB'<90°(三角形的外角大于和它不相邻的内角). 这与∠C’=90°相矛盾. 因此，BC≠B'C'的假设不成立，即△ABC与△A'B'C'不全等的假设不成立. 所以，△ABC≌△A'B'C'. A B C A' B' C' D 新知●探究 做一做 请用反证法证明: (1)如果a·b=0，那么a，b中至少有 一个等于0. (2)两条直线相交，有且只有一个交点. (1)证明：假设a0且b， 从而ab. 这与已知条件“ab=0”矛盾，故假设不成立. 因此，如果ab=0，那么a=0或b=0.。 (1)假设命题不成立; (2)导出矛盾; (3)肯定结论. ★反证法基本步骤： 新知●探究 做一做 请用反证法证明: (2)两条直线相交，有且只有一个交点. 证明:假设a，b相交时不止一个交点P， 设其他交点中有一个为P'， 则点P和点P'在直线a上又在直线 b上， 那么经过P和P'的直线就有两条， 这与“两点确定一条直线”相矛盾， 因此假设不成立， 所以两条直线相交只有一个交点. a b P 用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知矛盾，也可以是与某个定义、公理、定理矛盾. 已知：直线a，b， 求证:直线a，b相交时只有一个交点P. 4. 用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补. 【解】已知:如图,,,都被 所截. 求证: . 证明:假设 . , . , ,这与平角为 相矛盾. 假设 不成立,即 . 举一反三 15 5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程 可以归纳为以下三个步骤： ① ，这与三角形的 内角和为 相矛盾，所以 不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，， 中有两个直角，不妨 设 . 正确的顺序应为__________.（填序号） ③ ① ② 举一反三 16 6. 设，，是不全相等的任意整数，若 ， ，.求证：，， 中至少有一个大于 零.（用反证法） 举一反三 17 【证明】假设，， . ，， , . ，， , ，， , 这与，， 是不全相等的任意整数相矛盾. ，， 中至少有一个大于零. 举一反三 18 解题支架 举一反三 19 7. [保定期末] 如图，在中，，是 的平 分线，是边上的中线.用反证法证明：点与点 不重合. 举一反三 20 【证明】假设点与点重合.如图,延长到 ， 使，连接 . 是边上的中线， . 又 , . , . 是 的平分线, 举一反三 21 . . .这与 相矛盾. 点与点 重合是错误的. 点与点 不重合. 举一反三 本题是“否定”型命题，从正面证明过 程繁琐，所以采用反证法来证明，一般地，题 目中含有“不可能”“都不”“不是”“不能”等词语， 通常用反证法证明. . . . . . . 举一反三 23 课堂●小结 反证法 否定问题结论 推演过程中引出矛盾 肯定结论 与题设相矛盾 与假设相矛盾 与定义、公理、定理、公式相矛盾 自相矛盾 谢谢观看 THANKS $