第十七章 特殊三角形（复习课件）数学新教材冀教版八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了特殊三角形的核心知识，涵盖等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等内容，通过单元知识图谱将各知识点层级化串联，构建“概念-性质-判定-应用”的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-模型总结”的复习策略，每个考点配套例题与变式训练，如通过等腰直角三角形“斜边中点模型”培养推理意识，结合航海问题训练应用意识。针对训练分层设计，助力学生巩固基础与提升能力，教师可直接用于课堂，提高复习效率。

单元复习课件 第十七章 特殊三角形 冀教版2024·八年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定，掌握勾股定理及其逆定理，能利用反证法解决相关问题. 3.“三线合一”的灵活运用和逆用，分类讨论几何问题，勾股定理在复杂图形和实际问题中的应用，多个知识点结合的综合问题. 2. 等腰三角形三线合一性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线性质. 单元学习目标 特殊三角形 直角三角形 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 等边三角形的性质 等边三角形的判定 直角三角形的性质 直角三角形的判定 勾股定理 勾股定理的逆定理 单元知识图谱 考点一、等腰三角形的概念 1. 等腰三角形  有两边相等的三角形叫做等腰三角形 . 注意： (1)在描述等腰三角形的角和边时，一般要说明是顶角还是底角、是腰还是底边. 如果没有明确说明，那么要考虑所有可能的情况. (2)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角. 考点串讲 考点二、等腰三角形的性质 1. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴． 2. 性质定理 1  等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”) . 3. 性质定理 2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”) . 注意： 1.“等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便. 2.“三线合一”应用的前提必须是等腰三角形，且是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线重合，而同一腰上的高、中线则不一定重合. 考点串讲 4. 有关等腰三角形的性质的一些结论(拓展) (1)等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等. (2)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. (3)等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角平分线)上任意一点到两腰的距离相等. 考点二、等腰三角形的性质 考点串讲 考点三、等边三角形及其性质 1. 等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形是等腰三角形的特例. 2. 等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于60°. 3. 等边三角形的其他性质 (1)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (2)等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等. 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以： (1)任意两边都可以作为腰； (2)任意一个角都可以作为顶角； (3)任意一边上都有“三线合一” . 考点串讲 考点四、等腰三角形判定定理 1. 判定定理 如有两个角相等的三角形是等腰三角形. 在等腰三角形中，两个相等的角所对的边相等. (简称“等角对等边”) 2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同 相同点 都是指同一个三角形中边角之间的对应关系 不同点 “等边对等角”(等腰三角形的性质)：两边相等→这两边所对的角相等. “等角对等边”(等腰三角形的判定)：两角相等→这两角所对的边相等 考点串讲 3. 已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形 已知：如图 ，线段 a 和 h. 求作：等腰三角形 ABC，使 BC=a，高 AD=h. 作法：如图. (1)作线段 BC=a. (2)作 BC 的垂直平分线 MN，交 BC 于点 D. (3)在射线 DM 上截取 DA=h. (4)连接 AB，AC. △ ABC 即为所求 . 依据 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， AB=AC. △ABC为等腰三角形. 考点四、等腰三角形判定定理 考点串讲 考点五、等边三角形的判定定理 1. 判定定理 1 三个角都相等的三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 2.证明等边三角形的思维导图 考点串讲 考点六、直角三角形的定义和性质定理 1. 直角三角形 有一个角等于 90 °的三角形叫做直角三角形 . 直角三角形可以用符号“ ”表示. 2. 直角三角形的性质定理 1 直角三角形的两个锐角互余 . 几何语言： 如图 ，在Rt △ABC中， ， . 考点串讲 考点六、直角三角形的定义和性质定理 3. 直角三角形的性质定理 2  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 几何语言： 如图 ，在 Rt △ ABC 中， ∠ ACB=90° ，AD=BD， CD= AB(或 CD=AD=BD) . 4. 直角三角形的性质定理 3  在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半 .  几何语言： 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90° ， ∠ B=30° ， AC= AB. 考点串讲 考点七、直角三角形判定定理 1. 直角三角形的判定定理  有两个角互余的三角形是直角三角形. 2. 判定直角三角形的方法 (1)证明三角形中的一个角等于 90°(或两条边互相垂直). (2)证明三角形中的两个角互余 . 1. 直角三角形的判定定理与直角三角形的性质定理1互为逆定理. 2. 等腰直角三角形的两个锐角都等于45°. 考点串讲 考点八、勾股定理 1. 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为 a， b，斜边为 c，那么 a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 . 2. 勾股定理的常见变形( a， b 分别为两直角边， c 为斜边) ； ； ；；. 考点串讲 3. 常见的勾股定理证明方法 方法 图形 说明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c2. 又因为大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)2＝a2＋b2，所以a2＋b2＝c2 “青朱出入图” 设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，有 S=a2＋b2，所以 a2＋b2＝c2 毕达哥拉 斯拼图 由图①得大正方形的面积ab， 由图②得大正方形的面积＝， 比较两式易得a2＋b2＝c2 考点八、勾股定理 考点串讲 考点八、勾股定理 3. 勾股定理的应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5) 构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题 . 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)从实际问题中抽象出几何图形. (2)确定要求的线段所在的直角三角形. (3)找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系并列出等式. (4)求得结果. 考点串讲 考点九、勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理   如果三角形的三边 a， b， c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形 . 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤  (1)“找”：找出三角形三边中的最长边 . (2)“算”：计算较短两边的平方和与最长边的平方 . (3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则不是 . 勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中” “直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形. 考点串讲 考点十、直角三角形全等的判定 1. 判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (可以简写为“HL”) . 几何语言  如图， 在 Rt △ ABC 和 Rt △ A′B′C ′ 中， ， Rt △ ABC Rt △ A′B′C ′(HL). 1. 应用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时三角形符号前一定要加上“Rt” . 2. 判定两个直角三角形全等的特殊方法(HL)，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用. 考点串讲 考点十一、反证法 1. 反证法 在证明时，先假设原命题结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，从而得出假设是错误的，原命题结论是正确的. 这种证明命题的方法叫作反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤 否定结论 假设命题的结论不成立 从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基 本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果 推出矛盾 肯定结论 由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的 考点串讲 题型一、“等边对等角” 例1.如图，在中，， ，则 的度 数为( ) C A. B. C. D. 解：根据等边对等角可得 题型剖析 变式1.如图，在中， ， . （1）图中共有___个等腰三角形. 3 （2）求 的度数. 解：（1）3；（2）设 . ， . ， . 是 的一个外角， . ， . . ，∴++=， ∴=36，∴=108. 题型一、“等边对等角” 题型剖析 题型二、等腰三角形三线合一 例2.如图，在中，，于点 . （1）若，则 ___. （2）若 ，则 _____. 3 解：（1）等腰三角形三线合一，所以垂直平分，，. （2）是的角平分线， 题型剖析 变式2.如图，在中， ，是中线，是 上一点.若，则 ( ) C A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 题型二、等腰三角形三线合一 解：根据等腰三角形三线合一的性质，可得垂直平分，则 题型剖析 题型三、等边三角形性质 例3.如图，直线，等边三角形的顶点在直线上， ， 则 的度数为_____. 解：因为为等边三角形，所以， 两直线平行，同位角相等，再利用三角形内角和定理，可得 题型剖析 题型三、等边三角形性质 变式3.如图，在等边三角形中，是的平分线，为 上一 点，以为边在下方作等边三角形，连接 . 求证： . 解： 是等边三角形， ， . 是等边三角形，， . . 在和中， . . 题型剖析 题型四、等腰三角形的判定 例4.如图，在中， ，， 平分 ，则图中等腰三角形的个数是( ) D A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：根据题意，可得，，所以图中等腰三角形为，共三个 题型剖析 变式4.如图，在中，的垂直平分线交于点 ，交于点， .若，则 的长是___. 4 题型四、等腰三角形的判定 解：因为，所以为等腰三角形，，又因为垂直平分，所以，所以 题型剖析 题型五、等边三角形的判定 例5.将含 角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知 ，点，表示的刻度分别为， ，则线段 的长 为______. 解：因为，根据平行线性质，，根据题意可知，所以为等边三角形，. 题型剖析 变式5.如图，在中， ，过点作 ，若 ，求证： 是等边三角形. 证明： ， . ， . . 是等边三角形. 题型五、等边三角形的判定 题型剖析 例6.如图，在 中， ，，点在的 延长线上， ，，则 ( ) C A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 题型六、直角三角形的性质 解：作，因为，所以，又因为，所以为等腰三角形，等腰三角形三线合一， 题型剖析 变式6.如图，点在 的平分线上， ，， 垂足为，交于点 .若，则 ___. 8 题型六、直角三角形的性质 解：根据题意可得，所以，作，可得， 题型剖析 题型七、勾股定理 例7.如图，在中， ,,, 交于点 .求： （1） 的长. 解： ,, ， 在中， . （2） 的面积. 解： . （3） 的长. 解： , . 题型剖析 变式7.如图，在中， ，，， 动点从点出发沿射线以 的速度运动，设运动的时间为 . （1）边的长为___ . 4 【解法提示】在中， ， ， ， 由勾股定理，得 . 题型七、勾股定理 题型剖析 （2）当为直角三角形时， 的值为_ _________. 或 解：由题意知， . ①当 时，点与点重合， ， ；②当 时，如图， ， . 在 中， ， 在中， ， 因此，解得 . 综上所述，当为直角三角形时，的值为2或 . 题型七、勾股定理 题型剖析 题型七、勾股定理的应用 例7.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜 靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为 ，梯子顶端到地面的距离为 .若保 持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯 子顶端到地面的距离为，则小巷的宽 为( ) D A. B. C. D. 解：根据勾股定理，， 所以，CD=2+0.7=2.7. 题型剖析 变式7.如图，在长方形中， ，，将沿所 在直线翻折，使点落在点处.如果 交于点，那么 的长为_ _. 题型七、勾股定理的应用 解：根据勾股定理，， 易得， 设，， 解得 题型剖析 题型八、勾股定理的逆定理 例8.如图， ，,， ， ，则 _____. 解：因为，所以， 又因为， 所以为直角三角形，， 题型剖析 变式8.如图，这是用三块正方形纸片以顶点相连的方式 设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积 分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取） 按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最 大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( ) B A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 题型八、勾股定理的逆定理 解：根据题意可得，两块小纸片面积之和为大纸片面积，，故选 题型剖析 题型九、直角三角形全等的判定 例9.如图，已知，垂足是的中点， .求证： . 证明： ， . 是 的中点， . 在和 中， . 题型剖析 变式9.如图，点，分别在射线， 上，点在的内部， 且，， ，垂足分别为，，且 . （1）求证：平分 . 解：证明：， ， ， . 在和中， . . 点在 的平分线上. 平分 . 题型九、直角三角形全等的判定 题型剖析 （2）如果，，求 的长. 解：设 . ， . . 由（1）知， , 在和中， . . . ，，解得 . . 题型九、直角三角形全等的判定 题型剖析 题型十、等腰三角形常见模型 模型1 等腰直角三角形+斜边的中点→连接直角顶点和斜边中点 如图，在等腰直角三角形中， 为斜边的中点，则连接 ， .常结合已知条件证 或 得出相关结论. 题型剖析 例10.如图，在中， ，，为 的 中点，，分别是，上的点，且 .求证： 为等腰直角三角形. 证明：连接 . ， ，为 的中点， ，且平分 . . 在和 中， . ， . ， ，即 . 为等腰直角三角形. 题型十、等腰三角形常见模型 题型剖析 变式10.如图1，在中， , , 于点 ,点 在 上，射线,分别交,两边于, 两点. （1）当点与点 重合时，如图2所示，直接写出： ①与 之间的数量关系：_________. ②与 之间的数量关系：_________________. 题型十、等腰三角形常见模型 题型剖析 （2）当点在线段 上时（不与端点重合），如图1所示，则（1） 中②的结论还成立吗？若成立，请证明这个结论；若不成立，请举反 例说明. 题型十、等腰三角形常见模型 题型剖析 解：②的结论成立. 证明：过点作,交于点 , ， . ，， ， ， . . ， . 在和 中， . . 在中， ， . . 题型十、等腰三角形常见模型 题型剖析 模型2 等腰直角三角形+8字模型有两直角，常用截长补短构造全等 如图，已知等腰直角三角形 ， ， ,若 ，则有 .常通过在上取点 ，使得 . 题型十、等腰三角形常见模型 题型剖析 例11.如图，为等腰直角三角形， ，， 是 上一点.若于点,连接.求证： . 证明：在上截取,连接 . 易证 , , . ， . . . 题型十、等腰三角形常见模型 题型剖析 题型十、等腰三角形常见模型 变式11.如图，为等腰直角三角形， ，,是 上一点.若 .求证： . 证明：过点作交于点，得等腰直角三角形 , 易证 . . , 即 . 题型剖析 1.在中， ，斜边的长为，则 的长为 ( ) D A. B. C. D. 解：直角三角形中30°对边等于斜边的一半，所以 针对训练 A. 1,2,3 B. 1,, C. ,2, D. 4,5,6 2.在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是( ) B 解：根据勾股定理的逆定理，，故选B项 针对训练 3.在和中， ，则下列条件中不能判定 的是( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 解：两个三角形已经是直角三角形， 选项可用证明全等， 选项可用证明全等， 选项可用证明全等 针对训练 4.用反证法证明“若实数，满足，则， 中至少有一个是0” 时，应先假设( ) C A. ，中至多有一个是0 B. ， 中至少有两个是0 C. ，都不是0 D. ， 都等于0 解：反证法应先假设原命题结论不成立，所以应假设都不是 针对训练 5.如图,,,垂足分别为，,， 相交于点.如果 ,那么图中全等的直角三角形 的对数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：图中全等的直角三角形有 针对训练 6.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的 高为，底面周长为 ，在容器内壁离容器 底部的点 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容 器外壁，且离容器上沿的点 处，则蚂蚁吃到饭 粒需爬行的最短路径是( ) A A. B. C. D. 解：将圆柱侧面展开得矩形，再利用勾股定理可得最短路径大小为 针对训练 7.如图，在平面直角坐标系中，的斜边 在第一象限，过 点作轴于点.若，，为的中点，则 ____. 2.5 解：根据勾股定理，可得，又因为是斜边上的中线，所以 针对训练 8.如图，等边三角形的边长为12，为边上一动点，为 延 长线上一动点，交于点，为的中点.若，则 ____. 16 解：根据题意可得与都是的直角三角形，所以， 所以， . 针对训练 9.如图,在中,, ,交于点. 若,求 的长. 解： , . , , . , . , . . 针对训练 10.如图，灯塔在海岛的北偏东 方向上，某天上午8点，一条船 从海岛 出发，以15海里/时的速度由西向东航行，10时整到达处， 此时，测得灯塔在处的北偏东方向上. 解：根据题意，得 ， ， （海里）. . . 海里. 答：处到灯塔 的距离为30海里. （1）求处到灯塔 的距离. 针对训练 （2）已知在以灯塔 为中心，周围16海里范围内均有暗礁.若该船继续 由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由. 解：有触礁的危险.理由如下： 过点作于点 . ， 海里， 海里. ， 若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险. 针对训练 ✅ 知识构建：特殊三角形 等腰三角形→等边三角形→直角三角形 ✅ 思想方法： 分类讨论、数形结合、几何模型 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! $