17.3.1勾股定理 课件 2026-2027学年冀教版数学八年级上册

# 冀教版八年级上册17.3.1勾股定理专项练习（1212字） 本节课核心知识点： ## 勾股定理 **内容**：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，直角边$a\(a、b\)b$，斜边$c$。 几何语言：$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$。 > 说明：$c$一定是直角所对的边（斜边）；$a\(a、b\)b$为两条直角边。 ## 变形公式 $a^2=c^2-b^2$；$b^2=c^2-a^2$ $a=\sqrt{c^2-b^2}$；$b=\sqrt{c^2-a^2}$；$\(c=\)\sqrt{a^2+b^2}$ ## 常用勾股数（整数组，熟记） $\(3,4,5\)$；$\(6,8,10\)$；$\(5,12,13\)$；$\(7,24,25\)$；$\(8,15,17\)$ 特点：勾股数的倍数仍然是勾股数。 本节考点：已知直角三角形两边求第三边；勾股定理简单计算；判断斜边；利用勾股定理求面积；简单实际问题。 高频易错点： ① 勾股定理**只适用于直角三角形**，锐角\(a、b\)钝角三角形不能使用； ② 分不清斜边和直角边，盲目套公式；题目没有说明哪条是斜边时，**需要分类讨论**； ③ 计算时忘记先平方，直接把边长相加； ④ 勾股数必须是正整数，小数\(a、b\)分数不算勾股数。 ## 一\(a、b\)选择题（每题4分，共20分） 1. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(a=3,b=4\)$，则斜边$c$等于（） A.$5$ B.$6$ C.$7$ D.$8$ 2. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，斜边$\(\(c=\)13\)$，直角边$\(a=5\)$，则$b$为（） A.$6$ B.$8$ C.$12$ D.$14$ 3. 下列各组数中，是勾股数的是（） A.$\(2,3,4\)$ B.$\(5,12,13\)$ C.$\(1.5,2,2.5\)$ D.$\(4,6,7\)$ 4. 已知直角三角形两边长为3和4，则第三边长为（） A.$5$ B.$\sqrt{7}$ C.$5$或$\sqrt{7}$ D.$7$ 5. 关于勾股定理说法正确的是（） A.任意三角形都满足$a^2+b^2=c^2$ B.直角三角形中，斜边平方等于两直角边平方和 C.直角三角形中，直角边平方和等于另一直角边平方 D.在$\triangle ABC$中，$a^2+b^2=c^2$，则$\angle B=90^\circ$ ## 二\(a、b\)填空题（每题4分，共20分） 6. 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于________的平方。 7. $\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，若$\(\(a=6\),b=8\)$，则$\(c=\)$________。 8. 一组勾股数$\(3,4,5\)$同时扩大2倍得到________。 9. 在$\text{Rt}\triangle ABC$，$\angle C=90^\circ$，$\(c=\)10$，$\(a=6\)$，则$b^2=$________。 10. 勾股定理适用的三角形是________三角形。 ## 三\(a、b\)解答题（每题15分，共60分） 11. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，$\(a=5\)$，$\(b=12\)$，求斜边$c$的长。 12. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$，斜边$\(c=\)17$，直角边$\(a=8\)$，求另一条直角边$b$。 13. 如图，一个直角三角形，两直角边分别为$5\mathrm{cm}$和$12\mathrm{cm}$，求这个三角形的斜边长。 14. 辨析题：小刚说：“在三角形中，如果两条边长的平方相加等于第三条边长的平方，那么这个三角形一定是直角三角形，所以勾股定理对所有三角形都成立。”判断对错并说明理由。 ## 参考答案与解析 **选择题** 1.A；$c^2=3^2+4^2=25$，$\(c=\)5$。 2.C；$b^2=c^2-a^2=13^2-5^2=144$，$\(b=12\)$。 3.B；勾股数要求是正整数，满足$a^2+b^2=c^2$。 4.C；①4是斜边：第三边$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt7$；②3\(a、b\)4是直角边：斜边5。分类讨论。 5.B；勾股定理只对直角三角形成立，斜边平方=两直角边平方和。 **填空题** 6.斜边；7.$10$；8.$\(6,8,10\)$；9.$64$；10.直角。 **解答题** 11.解： $\because \angle C=90^\circ$，由勾股定理： $c^2=a^2+b^2=5^2+12^2=25+144=169$ $\therefore \(\(c=\)13\)$。 答：斜边$\(\(c=\)13\)$。 12.解： $\because \angle C=90^\circ$，由勾股定理变形： $b^2=c^2-a^2=17^2-8^2=289-64=225$ $\therefore \(b=15\)$。 答：直角边$\(b=15\)$。 13.解： 设两直角边$\(a=5\)\mathrm{cm}$，$\(b=12\)\mathrm{cm}$，斜边$c$。 由勾股定理：$c^2=a^2+b^2=5^2+12^2=169$，$\(\(c=\)13\)\mathrm{cm}$。 答：斜边长$13\mathrm{cm}$。 14.解：小刚说法错误。 勾股定理：**已知是直角三角形**，可得两直角边平方和等于斜边平方。 “两边平方和等于第三边平方，推出直角三角形”是**勾股定理的逆定理**。 勾股定理只适用于直角三角形，不能适用于所有三角形，概念不能混淆。 ## 本节小结 口诀：直角三角形，勾股定理行；直角边平方相加，等于斜边平方。 做题要点：先找直角，分清斜边；已知两边求第三边，不确定斜边一定要分类讨论。 高频易错：勾股定理和逆定理混淆；忘记平方直接加减；忽略适用条件。 勾股定理是几何计算核心，经常和面积\(a、b\)折叠\(a、b\)实际应用题结合，大题必考。 下一节：**17.3.2勾股定理的逆定理**专项练习，同样1212字吗？ 也可以给本节课堂教学设计。 冀教版（新教材）数学八年级上册 17.3.1勾股定理 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/2 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十七章 特殊三角形 学习目标 新知●探究 一起探究 问题1.如图(1)，每个小方格都是边长为1的小正方形，在所围成的△ABC中，∠ACB=90°，那么，图中以AC，BC，AB为边的三个正方形的面积分别是多少?这三个正方形的面积之间具有怎样的关系? 以AC为边的正方形面积为９； 以BC为边的正方形面积为16； 以AB为边的正方形面积为25； 易知，SAC＋SBC＝SAB 新知●探究 一起探究 问题2.图(2)是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示意图，∠ACB=90°，那么，分别以AC，BC，AB为边的三个正方形(红色框标出)的面积之间有怎样的关系? 由图可知，SAC＋SBC＝SAB． 新知●探究 一起探究 问题3.如图(3)，∠ACB=90°，三个正方形的边长分别是AC， BC，AB.请依据问题1和问题2中得出的结论，猜想Rt△ABC 三边之间的关系，并表示出来. SAC＋SBC＝SAB SAC＋SBC＝SAB AC2+BC2=AB2 AC2+BC2=AB2 猜想：AC2+BC2=AB2 b2+a2=c2 a2+b2=c2 新知●探究 观察与思考 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的伟大成就.如图17.3-2所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，请根据图形的特征，寻找获得a²+b²=c²的思路，并完成推导过程。 a b c b-a 赵爽弦图 证明： ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， ∴c²=4×½ab+（b-a）² ∴c²=2ab+b²+a²-2ab ∴a²+b²=c² 面积法 新知●探究 我国古代数学名著《周髀算经》把直角三角形较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫作“弦”. 勾三股四弦五 勾²+股²=弦² 知识点1 勾股定理 1. 在中， ， ，则 ( ) C A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 【点拨】 在中，且 ，为 的斜边， 根据勾股定理得 ， .故选C. 举一反三 7 （第2题） 2. [唐山期末] 如图是由边长都是1的小正方 形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格 点，其中，， 是网格中的三个格点，点 为线段的中点，连接，则 ( ) B A. 2 B. C. 3 D. 举一反三 8 （第2题） 【点拨】 ，, ， 点为线段 的 中点， 是斜边 上的中线， .故选B. 举一反三 9 新知●探究 总结归纳 勾股定理: 如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c². 揭示了直角三角形三边长的平方关系. 知二推一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 c a b 新知●探究 做一做 观察图(1)和(2)中的两个大正方形，说明a²+b²=c². ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4×ab+c2=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 面积法 典例●精析 在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边. （1）如果a=9，b=12，求c. （2）如果a=8，c=17，求b. （3）如果a:b=3:4，且c=10，则a、b分别为多少？ （3）解：设a=3x,b=4x 在Rt△ABC中，∠C=90° 由勾股定理得： c2=a2+b2 102=(3x)2+(4x)2 100=9x2+16x2 25x2=100 x2=4 ∵x>0 ∴x=2 ∴a=3x=3×2=6 b=4x=4×2=8 方程的思想 c==15 c==15 例 3. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中 阴影部分的面积是( ) C （第3题） A. 169 B. 144 C. 25 D. 16 举一反三 13 （第4题） 4. 已知直角三角形的三边，， 满足，分别以，， 为边作三个正方 形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内， 如图，设三个正方形无重叠部分的面积为 ，重 叠部分的面积为 ，则( ) C A. B. C. D. ， 大小无法确定 举一反三 14 （第5题） 5. [邯郸期末] 如图，在 中， ，， ， ，则 的长度为___. 8 举一反三 15 （第5题） 【点拨】在中， ， ，，是 的外角， ， . 举一反三 16 6. 如图,在中，于 ， ，，，求 的长. 【解】，. 在 中， ， 在 中， . 举一反三 17 知识点2 勾股定理的验证 7. 勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙.下面四幅 图中，不能证明勾股定理的是( ) C A. B. C. D. 举一反三 18 【点拨】A.由等面积法得 ，整理得 ， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B.由等面积法得 ，整理得 ，即能证明勾 股定理，故本选项不符合题意；C.由等面积法得 ，不能证明勾股定理，故本选项符 举一反三 19 合题意；D.由等面积法得 ，整理得 ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选C. 举一反三 用拼图法证明勾股定理的思路： （1）将图形进行割补拼接形成特殊图形，注意割补拼 接时图形之间没有重叠、没有空隙； （2）根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式； （3）利用等式性质验证结论成立，即拼出图形 写出表示 图形面积的式子 找出等量关系 恒等变形 推导结论. . . 举一反三 21 （第8题） 8. 我国古代称直角三角形为“勾股 形”.如图，数学家刘徽（约公元225年-公元295 年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的 直角三角形.若， ，则此勾股形的 面积为____. 30 举一反三 22 【点拨】如图，设阴影部分的直角三角形的 另一直角边长为，则 ， ， .由勾股定理得 . ，， , ，解得 ， 的面积 举一反三 23 （第9题） 9. 如图，在 中， ，， ，将边 沿翻折，使点落在上的点 处； 再将边沿翻折，使点落在 的延 长线上的点处，两条折痕与斜边 分 别交于点，，则线段 的长为( ) B A. B. C. D. 举一反三 24 课堂●小结 勾股定理 内容 在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 谢谢观看 THANKS $